конспект механика жидкости и газа. Конспект+лекций. Курс лекций по опд гидравлика тема Предмет и методология гидравлики Курс "Гидравлика" включает в себя несколько самостоятельных дисциплин, которые объединяет такое понятие, как гидравлические и пневматические системы.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
, , z , z , , y , y , , x , x p p p p Это доказывает второе свойство гидростатического давления. Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве. Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатического давления может быть записано в виде ) , , ( z y x Различают абсолютное, избыточное, атмосферное давление и вакуум. Для наглядного пояснения смысла этих понятий обратимся к рисунку рис. Избыточным давлением называется разность абсолютного давления (р абс ) и атмосферного давления (р а) а абс избр Другими словами – избыточное давление это избыток абсолютного давления над атмосферным давлением Его называют также манометрическим, поскольку манометры (манометр – прибор для измерения давления) показывают величину избыточного давления. Вакуумом называется разность атмосферного давления и абсолютного абс а вак р Вакуум – это недостаток абсолютного давления до атмосферного давления. Связь давления с силой F , действующей на какую-то площадь S выражается зависимостью S F p = (6) Рис. 5. Соотношение избыточного и абсолютного давлений Единицей измерения давления в системе СИ является м. Она называется Паскалем и обозначается Па В технике до сих пор широко используется единица измерения давления, которая в России называется технической атмосферой и обозначается сокращенно ат, аза рубежом – баром [bar]: 1 кГ/см 2 ат = 1 bar = 9.81 10 Па ≈ 10 Па ≈ МПа. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости. В разных точках поверхности жидкого объема давление может быть разным. Поэтому, общим выражением для него является функциональная зависимость f р = Выведем дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять эта функция. Обратимся к рис. 6. При точке Ас координатами) выделим жидкий объём в виде прямоугольного параллелепипеда. Действие на него окружающей жидкости заменим поверхностными силами. Обозначим через и ) ( x x F ∆ + равнодействующие сил, действующих на грани параллельные координатной плоскости yoz и через G – равнодействующую массовых сил, действующих на выделенный жидкий объём. Поскольку жидкий объём находится в равновесии, то можем записать, что сумма проекций всех сил, приложенных к выделенному объему, на ось ox равна нулю 0 ) ( = + − ∆ + x x x x G F F , где проекция равнодействующей массовых сил на ось x , Н. Перенесем слагаемое x G в правую часть и разделим каждый член уравнения на массу выделенного объема ∆ ∆ ∆ ρ y Получим z y x z y x z y x G F F x x x Запишем это уравнение в эквивалентной форме Рис. 6. 12 z y x x z y z y G F F x x x Будем уменьшать размеры жидкого объема, стягивая его сначала к линии АВ, а затем к точке А. В пределе получим ∆ ∆ ∆ ρ ρ = ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ + → → → → z y x G x x z y F x z y F x x 0 ∆z ∆y ∆x 0 ∆z ∆y 0 ∆z ∆y 0 ∆x lim lim lim lim или X x p p A B x ρ = ∆ − → ∆ 0 lim , где, и – гидростатическое давление в точках В и А X – проекция единичной массовой силы на ось x . Последнее соотношение можно записать в виде X x p p z y x z y x x ρ = ∆ − ∆ + → ) , , ( ) , , ( 0 ∆x lim или X x Приравнивая нулю сумму проекций на оси oy и ox сил, действующих на выделенный объём, получим (после соответствующих предельных переходов) еще два аналогичных уравнения. В результате, получаем систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости X x p ρ = δ δ , Y y p ρ = δ δ , Z z Эта система была получена Эйлером в 1755 г. Запишем её в другой форме. Умножим первое уравнение на dx , второе на dy , третье на dz и сложим. Получим ) ( dz Z dy Y dx X dz z p dy y p dx x p + + ρ = δ δ + δ δ + δ δ Поскольку давление p зависит только от координат точки z y x , толевая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал гидростатического давления dp . Следовательно, можно записать ) ( Zdz Ydy Xdx dp + + ρ = (7) Итак, имеем дифференциальное уравнение, которое характеризует изменение гидростатического давления в окрестности любой точки пространства, занятого покоящейся жидкостью. В случае, когда 0 = dp (то есть давление одинаково, уравнение принимает вид Данное уравнение описывает геометрическое место точек, в которых гидростатическое давление одинаково. Это геометрическое место точек называют поверхностью равного давления. Поверхность равного давления, совпадающая с поверхностью жидкой среды, называется свободной поверхностью жидкости. Основное уравнение гидростатики Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила – сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики. Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 7) и на ее свободную поверхность действует давление 0 p . Найдем гидростатическое давление p в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h . Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h . Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общего объема жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешними направлено по нормали внутрь объема, те. вверх. Рис. 7. Схема для вывода основного уравнения гидростатики p 0 dS M p h Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось 0 0 = ρ − − dS h g dS p Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом dS h . Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем h g p p ρ + = 0 (8) Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин давления на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности 0 p Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля. Если полученное уравнение для расчета гидростатического давления разделить на g ρ , то имеем const g p Z = ρ + (9) Это соотношение также называется основным уравнением гидростатики, поскольку имеет тот же смысл, что и предыдущее уравнение. Оно выражает закон сохранения потенциальной энергии жидкости. Первое слагаемое выражает удельную потенциальную энергию положения, второе – удельную потенциальную энергию давления. Основное уравнение гидростатики можно также вывести из ранее полученного дифференциального уравнения ( ) ( dz Z dy Y dx X dp + + ρ = ). Проделаем этот вывод На практике чаще всего приходится иметь дело с равновесием жидкости при действии на нее только одного вида массовых сил – силы тяжести. В этом случае проекции единичных массовых сил на оси координат будут равны Подставив эти значения проекций единичных массовых сил в дифференциальное уравнение равновесия жидкости, имеем dz g dz Проинтегрировав это уравнение, получим const z g p + ρ − = Для определения константы (const) необходимо подставить в него известные значения p ив точках какой-либо горизонтальной плоскости. Обычно известны эти параметры в точках свободной поверхности жидкости обозначим их 0 p , 0 z ). Подставив их в предыдущее уравнение и выразив const в явном виде, имеем: 0 0 z g p Заменив значение const в формуле для p ее выражением, после некоторых преобразований получим ) ( 0 0 z z g Обозначив через z z глубину погружения рассматриваемой точки под свободную поверхность, получим формулу для расчета давления в каждой точке жидкости находящейся в поле действия сил тяжести (основное уравнение гидростатики h g Сила давления жидкости на плоскую стенку При решении практических задач по определению давления на плоские стенки необходимо знать величину силы и место ее приложения. Для их определения выведем расчетные формулы. Пусть стенка наклонена к горизонту под углом α и контур ее имеет произвольную форму (рис. 8). Обозначим через S площадь стенки. Ось Ох проведем на линии пересечения стенки и свободной поверхности жидкости, а ось Оу – в плоскости стенки. Согласно закону Паскаля, сила внешнего давления равна S p F 0 Эта сила приложена в центре тяжести стенки, поскольку давление родина- ково во всех ее точках. Сила давления F , обусловленная весомостью жидкости, определяется интегралом где p – разность абсолютных давлений на глубине h и на поверхности жидкости ( абс абс p p 0 − , действующая на элементарную площадку Здесь учтено, что элементарные силы dS p в случае плоской стенки параллельны друг другу. В соответствии с основным уравнением гидростатики для давления p можем написать α ρ = ρ = sin y g h g и для силы F – ∫ α ρ = S dS y g F sin Рис. 8. Интеграл, входящий в это выражение, представляет собой статический момент площади стенки относительно оси ox : т ц dS y где т ц – координата центра тяжести стенки. Следовательно S y т ц, или S h т ц) Из этого выражения видно, что сила давления, обусловленная весомостью жидкости, равна произведению гидростатического давления в центре тяжести стенки на площадь стенки. Найдем выражения для координат центра давления. Для этого составим уравнения моментов относительно осей ox и oy . Имеем , sin sin , sin д ц x S S д ц dS y x g x dS p x F J g dS y g y dS p где ∫ = S x dS y J 2 – момент инерции площади стенки относительно оси ox ; ∫ = S xy dS y x J – центробежный момент инерции площади стенки. Учитывая, что S y т ц, из уравнений моментов получаем , S y J x S y J y т ц xy д ц т ц д ц = = Для координаты д ц можно дать другое, более употребительное выражение. В теоретической механике доказывается следующая теорема момент инерции системы относительно данной оси равен ее моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести системы, увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими осями. Применяя эту теорему к площади стенки, находим т ц с где c J – момент инерции площади стенки относительно оси с – с (см. рис. 8), проходящей через центр тяжести площади стенки и параллельной оси ox . С учетом этого соотношения получаем окончательное выражение для д цв следующем виде S y J y т ц т ц д ц + = Поскольку α = sin д ц д ц h y и т ц т ц тот ц т ц д ц 2 sin α + = (12) Из этого выражения видно, что центр давления силы F расположен всегда ниже центра тяжести площади стенки. Этот вывод является естественным следствием увеличения давления р с увеличением глубины. Чаще всего контур стенки имеет форму прямоугольника. Поэтому полезно запомнить формулу для момента инерции площади такой стенки относительно оси с – с 12 3 bH J c = (13) В этой формуле b и H – ширина и высота стенки. Часто встречаются случаи, когда стенка имеет прямоугольную форму и две стороны ее контура расположены горизонтально. В этих случаях задача определения силы давления и точки ее приложения проще всего решается путем построения эпюры давления р. На рис. 9 изображена эпюра давления на плоскую стенку для наиболее общего случая, когда она наклонена к горизонту и погружена под свободную поверхность жидкости. Поскольку две стороны контура стенки расположены горизонтально, то вид эпюры давления в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, не изменяется. Благодаря этому решение задачи существенно упрощается. Из выражения ∫ = S dS p F , видно, что величина силы F численно равна объему эпюры давления. Используя эту связь, можно по виду эпюры давления сразу написать формулу для силы F . По виду эпюры давления легко находится и местоположение центра давления, поскольку сила F должна проходить через центр тяжести объема эпюры давления. Применяя эти положения к случаю, изображенному на рис. 9, получаем выражения для сил Рис. 9. b l h g F 1 1 ρ = , b l h h g F ) ( 2 1 1 и для удаления их точек приложения от нижней стороны контура стенки 3 1 , 2 1 2 1 l l l Искомая сила F равна сумме 2 1 F F + , а удаление ее точки приложения от нижней стороны контура стенки находим из уравнения моментов F l F l д ц 1 1 2 1 Выразив расстояние до центра давления в явном виде, получаем 2 1 2 3 1 1 2 1 l F F F F l д ц + + = (14) Сила давления жидкости на цилиндрические стенки Задачу по определению силы давления покоящейся жидкости наци- линдрические стенки можно свести к рассмотренной выше задаче давления на плоские стенки. Схема решения при этом выглядит следующим образом. 1. Выделяется жидкий объем, ограниченный фрагментом цилиндрической или сферической стенкой и плоскими поверхностями. На рис. 10 представлены примеры таких объемов. Темным фоном выделены объемы жидкости, ограниченные плоскими и криволинейными стенками (более светлый фон – жидкость. 2. Определяются силы n F F F ..., , , 2 1 действующие на выделенный жидкий объем по плоским поверхностям (см. рис. 10) (методика расчета этих сил рассмотрена выше. 3. Определяется сила веса жидкого объема W g G ρ = 4. Определяется искомая сила давления жидкости на цилиндрическую стенку из условия равновесия выделенного объема жидкости. В векторной форме - 19 0 2 1 = − + + + + F G F F F n или 2 Рис. 10 При расчетах это соотношение заменяют двумя скалярными , 2 г г г г в в в в − + + + = где г ив проекции силы F соответственно на горизонтальную плоскость и на вертикальную. После определения г ив находится величина силы по формуле 2 в г (15) и угол α наклона ее к горизонту из соотношения г в F F tg = α (16) В качестве примера определим силу давления жидкости на цилиндрическую поверхность АВ, представляющую собой четвертую часть боковой поверхн- сти кругового цилиндра, расположенного горизонтально (рис. 11). Рис. 11. Протяженность цилиндрической стенки в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, равна b. Выделим жидкий объем. На рис. 11 он обозначен темным фоном. Определяем силы 1 F и 2 F . Используя формулу для расчета силы гидростатического давления S h т ц, получаем для нашего случая , ) 2 1 ( 2 Вес жидкого объема G находим как произведение объема (разность площадей квадрата со стороной и четверти круга радиуса R умноженного на длину цилиндрической поверхности b) на g ρ : ) 4 1 ( 2 Далее определяем г в , F и α из соотношений , ) ( , , 1 2 2 2 2 1 2 в г − = α − + = − = = Вертикальную составляющую силы F в ряде случаев можно определять, используя закон Архимеда, по формуле в, где W – объем жидкости, вытесненный телом. Для случая, показанного на рис. 11, объем W равен произведению площади BACDB на b. Легко проверить, что результаты определения в двумя указанными способами совпадают. Относительный покой жидкости При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны повремени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем. Рассмотрим два примера такого относительного покоя. В первом примере определим поверхности уровняв жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением а (рис. 12). Рис. 12. Движение цистерны с ускорением К каждой частице жидкости массы m в этом случае приложены ее веси сила инерции F u , равная по величине ma. Равнодействующая 21 2 2 ) ( ) ( ma этих сил направлена к вертикали под углом α , тангенс которого равен g a Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом (плоскость b – b). Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровняв жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α . Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис. 12, пунктир. В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей. В этом случае (рис. 13) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы сила тяжести G = mg и центробежная сила F |