конспект механика жидкости и газа. Конспект+лекций. Курс лекций по опд гидравлика тема Предмет и методология гидравлики Курс "Гидравлика" включает в себя несколько самостоятельных дисциплин, которые объединяет такое понятие, как гидравлические и пневматические системы.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
u = m w 2 r, где r – расстояние от оси вращения, a w – угловая скорость вращения сосуда. Рис. 13. Вращение сосуда с жидкостью Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим g r w g m r w m G F tg u 2 2 = = = α С другой стороны dr dz tg = α , где z – координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем dr dz g r откуда dr g r w dz 2 = , или после интегрирования const g r w z + = 2 В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = const, поэтому окончательно будем иметь h g r w z + = 2 2 2 , те. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения для z будем иметь 0 cos cos 2 0 2 2 = α α − ρ − + − dS p dS g Z g r w После сокращений получим g Z g r w h p p ρ − + + = 2 2 2 Это значит, что давление возрастает пропорционально квадратам радиуса и угловой скорости w, а уменьшается пропорционально высоте Z. Закон Архимеда и его приложение Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела. погр выт V g F ρ = (17) Для однородного по плотности тела, плавающего на поверхности, справедливо соотношение т погр V V (18) где V , погр V – объем плавающего тела и его погруженной части, м т, ρ – плотность тела и жидкости, кг/м 3 . (Пример) Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением в общих чертах лишь гидравлической сущности этой теории применительно к надводным судам. Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется остойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна ниже ватерлинии называют объемным водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (те. центр давления) – центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести Си центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой О – О, представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис. 14a). В центре тяжести приложена равнодействующая сил тяжести G, а в центре водоизмещения – равнодействующая давления R. Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α , часть судна oab вышла из жидкости, а часть okl, наоборот, погрузилось в нее. При этом положение центра тяжести судна Сне меняется, а центр водоизмещения d сместится соси симметрии и займет новое положение (см. рис. 14b). Равнодействующая давления жидкости R (всегда направлена вертикально) пересечет ось симметрии О - О в точке m. Полученная точка m называется метацентром, а отрезок С = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки Си отрицательным – в противном случае. Рис. 14. Поперечный профиль судна Теперь рассмотрим условия равновесия судна 1) если h > 0, то судно (после снятия действия внешних сил) возвращается в первоначальное положение 2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия. 3) если h < 0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна. Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна. Тема 3. Основы кинематики и динамики капельных жидкостей Основные понятия о движении жидкости Жидкость может обтекать твердые тела протекать в пространстве ограниченном твердыми стенками (трубы, каналы протекать в пространстве, занятом жидкостью или газом (струи. В гидравлике наибольшее внимание уделяется изучению движения жидкости в трубах, каналах и естественных руслах. Движущаяся в них жидкость называется потоком жидкости (или просто потоком. Поверхность в пределах потока, нормальная к направлению скорости жидкости, называется живым сечением потока (или просто сечением потока. Потоки могут быть открытыми (безнапорными) и закрытыми (напорными установившимися и неустановившимися равномерными и неравномерными. Закрытые (или напорные) потоки ограничены по всему периметру твердыми стенками. Открытые потоки по части периметра соприкасаются с газообразной средой. Установившимся называется потоку которого характеристики остаются неизменными во времени. Например, если открыть кран водопровода и не трогать его, то будем наблюдать установившийся поток. Если будем закрывать кран, то поток станет неустановившимся. Равномерным называется установившийся потоку которого скорости движения частиц не изменяются вдоль траектории. Пример установившийся поток в длинной трубе одного сечения. Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной (рис. 15). Рис. 15. Линия тока Трубка тока – трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой (рис. 16). Совокупность движущихся струек называется потоком жидкости. Рис. 16. Элементарная струйка Потоки по характеру движения могут быть разделены натри группы напорные, безнапорные и струи. Напорные потоки должны быть ограничены со всех сторон жесткими стенками. Например, течение в трубопроводах с повышенным или пониженным давлением. Безнапорное потоки с одной из сторон ограничены воздушной средой со свободной поверхностью (реки, каналы, лотки. Струи со всех сторон имеют свободную поверхность в виде жидкости или газа. Примером струи является вытекающая из отверстия или брандспойта жидкость. Гидравлические параметры потока Гидравлические параметры потока - это величины, характеризующие поток в данном сечении. Их можно объединить в следующие группы 1) геометрические) кинематические 3) динамические 4) энергетические. Выясним их вид и смысл применительно к установившимся потокам, поскольку основные уравнения гидравлики, которые мы будем рассматривать вдаль- нейшем, применимы только для установившихся потоков. Геометрические параметры потока. К этой группе параметров относятся площадь сечения потока w , смоченный периметр сечения χ , гидравлический радиус R : χ = w R . (19) Смоченным периметром называется та часть периметра сечения потока, по которой он соприкасается с ограничивающими его стенками. Для круглых труб 4 / 4 2 d Для естественных русел рек средней глубиной h и шириной В 2 h B h hB R ≈ + = (20) Кинематические параметры потока Кинематические параметры это параметры движения тел, без учета действующих на них сил. Для потоков такими параметрами являются расход жидкости Q и средняя скорость V . Расход – объем жидкости протекающий сквозь сечение потока веди- ницу времени. Средняя скорость – фиктивная, одинаковая во всех точках сечения скорость движения жидкости, при которой получается расход, равный фактическому расходу потока. Средняя скорость и расход связаны между собой соотношением w V Q = (21) Понятие средней скорости используется в гидравлике для упрощения при расчетах. На самом деле, – скорости в разных элементах сечения потока различны. При течении жидкости в трубе (риса, мы имеем следующую картину. У стенки трубы жидкость покоится – скорость ее равна нулю. В центре же трубы – она максимальна. Эти скорости (разные по сечению) называются местными скоростями и обозначаются буквой u Если по концам векторов местных скоростей провести в плоскости чертежа линию, то получим так называемую эпюру местных скоростей. В открытых потоках (рис. 17b) распределение местных скоростей несколько иное. На дне потока местная скорость равна нулю. Максимальная местная скорость располагается вблизи поверхности. На поверхности потока выделяют поверхностную скорость, которая примерно на 25% больше средней скорости течения V . Рис. 17. Эпюра местных скоростей при движении жидкости в трубе (a) ив открытых потоках (b) Выразим расход и среднюю скорость через местную скорость. Для этого выделим в сечении потока элементарную площадку dw . В единицу времени через эту площадку протекает жидкость, объем которой равен dw u (ввиду малости dw , местные скорости в ее пределах можно считать одинаковыми. Расход потока представляет сумму таких элементарных объемов ∫ = w dw u Q , поскольку w Q V = , то w dw u V w ∫ = . (22) На рисунке (см. рис. 17) среднюю скорость можно изобразить как скорость одинаковую по всему сечению, и образующую прямоугольную эпюру Динамические параметры потока. Важным динамическим параметром потока является количество движения жидкости К, протекающей через сечение в единицу времени. Получим выражение для К, считая поток установившимся. Для этого снова обратимся к вышерасположенному рисунку. Количество движения в механике – это произведение массы тела на скорость. В нашем случае масса жидкости, протекающей сквозь элемент сечения в единицу времени, равна u dw m ρ = , а её количество движения dw u u Следовательно, через все сечение количество движения жидкости будет равно сумме элементарных количеств движения, или ∫ ρ = w dw u K 2 Как уже отмечалось ранее, в гидравлике принято параметры потока выражать через среднюю скорость. Ориентируясь на среднюю скорость, получаем для количества движения величину Фактическое количество движения неравно количеству движения рассчитанного по средней скорости. Используя поправочный коэффициент ββββ , можно представить выражение для в виде w V K K V 2 ρ β = β = . Из этого равенства можно получить формулу для определения поправочного коэффициента, так как w V dw u w 2 то w V dw u w 2 Убедимся, что 1 ≥ β . Имеем 2 ) 2 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∆ + ∆ ± = = ∆ + ∆ ± = ∆ ± = w w w w w dw u dw u V w V dw u u V V dw u V dw Но 0 = ∆ ∫ w dw u , поскольку расход, рассчитанный поместным скоростям равен расходу по средней скорости. Следовательно 2 2 2 ∫ ∫ ∆ + = w w dw u w V dw u 28 Поскольку 0 2 ≥ ∫ w dw u , то w V dw u w 2 и значит 1 ≥ β . Величина тем больше превосходит единицу, чем больше эпюра скоростей отличается от равномерной. Энергетические параметры потока Энергетическими параметрами потока являются 1) Удельная (отнесенная к единице веса) механическая энергия жидкости в данном сечении H ; 2) Ее слагаемые – удельная кинетическая энергия к и удельная потенциальная энергия п . Получим выражения этих параметров через среднюю скорость потока и давление. Кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости, определяется формулой к 2 2 2 2 Однако, к ) ( неравна фактической кинетической энергии, так как вместо местных скоростей мы используем среднюю фиктивную скорость. Фактическая кинетическая энергия равна ∫ ∫ ρ = ρ = w к dw u u dw u E 3 2 2 Фактическую кинетическую энергию можно определить и через среднюю скорость, если ввести поправочный коэффициент α : к к Из равенства кинетических энергий определенных по u и V получим формулу для определения поправочного коэффициента α : w V dw u w 3 Как и этот коэффициент больше единицы. В гидравлике можно встретить различные названия поправочного коэффициента α : коэффициент кинетической энергии корректив скорости коэффициент Кориолиса. Мы будем использовать наиболее распространенное название - коэффициент Ко- риолиса. После деления величины к навес жидкости, протекающей сквозь сечение в единицу времени, получаем выражение для к : к 2 α = (23) Потенциальная энергия жидкости п Е , протекающей через сечение потока в единицу времени представляет собой сумму потенциальной энергии давления д Е и потенциальной энергии положения пол Е . Для их определения рассмотрим поток в трубе оборудованной пьезометрической трубкой (рис. 18) (пьезометрическая трубка – прозрачная трубка, присоединяемая кот- верстию в стенке канала или трубопровода для измерения давления жидкости. Рис. 18. Схема к расчету потенциальной энергии напорных потоков Потенциальная энергия положения выражает возможность совершения жидкостью работы при ее снижении до условного уровня О – О, который называется плоскостью сравнения. По аналогии с потенциальной энергией тела поднятого на высоту h , которая равна h g потенциальная энергия положения жидкости протекающей через сечение в единицу времени будет равна z g w V z g m Е пол ρ = = , а потенциальная энергия давления – h g w V h g Q h Ед ; так как h g или g p то p w V Е д = Общее выражение для потенциальной энергии жидкости будет иметь вид ) ( p z g w V Е Е Е д пол п + ρ = + = После деления величины потенциальной энергии жидкости навес жидкости, протекающей через сечение в единицу времени g w V ρ , получаем выражение для удельной потенциальной энергии g p п) Поскольку к п H H H + = , то g V g p z H 2 2 α + ρ + = (25) В гидравлике параметр Н называется напором потока в данном сечении, п – пьезометрическим напором, Н к – скоростным напором. Напор Н представляет собой механическую энергию жидкости, отнесенную к единице веса. Поскольку единицей измерения механической энергии является Ньютон.метр, а веса Ньютон, то единицей измерения напора является метр. Основные уравнения гидравлики Уравнение расхода Уравнение расхода выражает закон сохранения массы применительно к потокам жидкости, удовлетворяющим двум условиям 1) Поток является установившимся) На рассматриваемом участке поток не обменивается жидкостью с окружающей средой (не имеет ответвлений. Установим вид этого уравнения. Для этого представим себе контрольную поверхность, состоящую из сечения 1 – 1, боковой поверхности потока и сечения 2 – 2 (рис. 19). В единицу времени в объем 1 – 2, ограниченный контрольной поверхностью, втекает жидкость, масса которой равна 1 через боковую поверхность потока жидкость согласно исходному условию не протекает. В любой фиксированной точке установившегося потока плотность жидкости не изменяется стечением времени. Поэтому и масса жидкости в неизменном объеме 1 – 2 также должна оставаться неизменной. Но, согласно закону сохранения массы (При любых процессах, происходящих в изолированной системе, которая не обменивается с внешней средой ни энергией, ни веществом, масса этой системы не изменяется, это возможно только в том случае, если в единицу времени через сечение 2 – 2 из объема 1 – 2 вытекает жидкость, масса которой равна 1 Поскольку через сечение 2 – 2 в единицу времени протекает жидкость, масса которой 2 2 Q ρ , то получается, что должно выполняться равенство 2 1 В установившихся потоках давление в разных сечениях различается не столь сильно, чтобы это могло привести к заметному изменению плотности жидкости (жидкость мало изменяет плотность при изменении давления. Поэтому, на практике допустимо принимать 2 1 ρ = ρ . Тогда уравнение сохранения массы принимает вид const Q Q = = 2 Рис. 19. Это уравнение в гидравлике называют уравнением расхода. Так как Q = wV, то его можно записать в другой форме, в виде const w V w V = = 2 2 1 или 2 2 1 w w V V = (26) Как видно из этого уравнения, которое называют уравнением неразрывности потока, средняя скорость изменяется вдоль потока обратно пропорционально изменению площади сечения. Уравнение Бернулли Уравнение Бернулли выражает закон сохранения и превращения энергии применительно к потокам жидкости, удовлетворяющим следующим условиям) поток установившийся, 2) на рассматриваемом участке поток не обменивается с окружающей средой жидкостью (не имеет ответвлений) и механической энергией (нет турбины или насоса, 3) из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести. Установим вид этого уравнения. Для этого обратимся к рисунку (рис. 20). Имеется участок трубопровода ограниченный сечениями 1 – 1 и 2 – 2. В сечении 1 – 1 давление и средняя скорость V 1 . Как было установлено ранее удельная механическая энергия жидкости, проходящей через это сечение в единицу времени, равна g V g p z H 2 2 1 1 1 В процессе протекания жидкости через пространство между сечениями, часть ее механической энергии необратимо превращается в тепловую энергию (из-за трения о стенки трубы и трения между частицами, движущимися с различными скоростями. Вследствие этого, удельная энергия жидкости, проходящей в единицу времени через сечение 2 – 2 Н, будет меньше, чем Н, навели- чину потерь напора h w , и выражаться зависимостью g V g p z H 2 2 2 2 2 Согласно закона сохранения и превращения энергии (Энергия любой замкнутой системы при всех процессах, происходящих в системе, сохраняется. При этом энергия может только превращаться из одной формы в другую и перераспределяться между частями системы) можем записать Рис. 20 32 w h H H + = 2 или w h g V g p z g V g p z + α + ρ + = α + ρ + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , (27) где 2 1 , z z – удельная потенциальная энергия соответствующего сечениям давление в центре сечении 1 – 1 и 2 – 2, Па ρ – плотность жидкости, кг/м |