Лекции по биофизике. Лекции по биофизике учебнометодическое пособие

• Название: Лекции по биофизике учебнометодическое пособие
• Анкор: Лекции по биофизике.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 1.98 Mb.
• Имя файла: Лекции по биофизике.pdf
• Тип: Лекции; #1098
• страница: 4 из 18

Молекулярность и порядок реакции
Молекулярность реакции определяется числом молекул, участвующих в ее элементарном акте. Реакция может быть мономолекулярной: А В; бимолекулярной: А+В С или 2А В; тримолекулярной: А+2В С.
Реакции с молекулярностью выше трех встречаются крайне редко, так как вероятность одновременного столкновения четырех и более молекул крайне мала. Реакции, протекающие с участием 4 и более молекул, как правило, включают несколько последовательных стадий.
Порядок реакции определяется суммой показателей степеней, в которых концентрации реагирующих веществ входят в левую часть кинетического уравнения. В большинстве случаев порядок реакции совпадает с молекулярностью. Расхождение возможно в том случае, если одно из реагирующих веществ находится в избытке. В этом случае изменение концентрации одного из реагентов не влияет на скорость реакции, и ее порядок оказывается меньше молекулярности. Как следствие, возможна реакция нулевого порядка.

26
Кинетика реакции нулевого порядка
В живых системах нередко встречается ситуация, когда запасы реагирующего вещества в клетке постоянно пополняются и скорость реакции фактически не зависит от концентрации реагента А. Такая реакция, будучи по сути мономолекулярной, подчиняется закономерности нулевого порядка и не зависит от концентрации:
0
da
k
dt
После взятия определенного интеграла в пределах от 0 до t и от а о
до а получаем:
t
k
a
a
0 0
Графически это уравнение прямой линии с тангенсом угла наклона t.
Скорость реакции остается постоянной на всем ее протяжении, пока не прекратиться поступление реагирующего вещества в систему.
Кинетика прямой реакции первого порядка
Реакция первого порядка: А В с коэффициентом скорости k
1
подчиняется следующему кинетическому уравнению:
1
x
lim
da
k a
dt
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, после интегрирования которого, мы получаем:
1 1
lna
k t C
или
1 1
k t
a C e
Константу интегрирования С
1
можно определить как начальную концентрацию реагента А
о при t=0, задав граничные условия аналогично предыдущему случаю и тогда:
1 0
k t
a a e
Кинетика обратимой реакции первого порядка
В биологических системах большая часть реакций является обратимыми, то есть одновременно протекают в обоих направлениях: А В.
Кинетика такой реакции рассматривается как две одновременно протекающие реакции – прямую и обратную с константами скоростей k
1
и k
-
1
Кинетическое уравнение выглядит следующим образом:
b
k
a
k
dt
da
1 1

27
Кроме начальных условий t=0, a=a
0
, b=0, мы можем наложить ограничение замкнутости системы, следовательно: a+b=a о
в любой момент времени.
Тогда кинетическое уравнение будет выглядеть следующим образом:
0 1
1 1
)
(
a
k
a
k
k
dt
da
Дифференциальные уравнения такого типа решаются в два этапа.
Сначала находим решение однородного уравнения:
0 1
1
da ( k k ) a
dt
t
k
k
e
C
a
)
(
1 1
1
Частное решение неоднородного уравнения с постоянной правой частью находим в виде константы а = С и тогда
0
da
dt
,
)
(
1 1
0 1
k
k
a
k
C
a
Константу интегрирования можно определить из начальных условий t=0, a=a
0
, тогда общее решение дифференциального уравнения запишется следующим образом:
C
t
k
k
e
C
a
)
(
1 1
1
В результате вычислений подставляя значения С:
)t
k
(k
e
k
k
k
k
a
k
a
-
1 1
1 1
1 1
0 1
Учитывая, что b=a
0
-a, получим:
)t
k
(k
-e
k
k
a
k
b
1 1
1 1
0 1
1
Кинетика реакции второго порядка
Реакция 2-го порядка имеет вид:
2
k
A B
C
, и с учетом того, что при t = 0, исходные концентрации равны a
0
и b
0
, в любой момент времени на основании эквимолярного взаимодействия a и b:
2 0
0
dx
k ( a
x )( b
x )
dt

28
Проведя разделение, переменных получим:
dt
k
x
b
x
a
dx
2 0
0
)
)(
(
Используя тождество:
)
1 1
(
1
)
)(
(
1 0
0 0
0 0
0
x
a
x
b
b
a
x
b
x
a
, получим стандартное дифференциальное уравнение:
2 0
0 0
0 1
1 1
(
) k dt
a
x
a
b
b
x
Его решение:
)
(
)
(
ln
1 0
0 0
0 0
0 2
x
b
a
x
a
b
b
a
dt
k
При избытке одного из веществ это выражение превращается в уравнение 1-го порядка.
Сложные реакции
В биологических процессах химические и биохимические реакции часто образуют сложные каскады, включающие целый ряд элементарных актов реакций, протекающих последовательно или одновременно. Кинетика таких многокомпонентных (многостадийных) процессов основывается на уже знакомых закономерностях.
Несколько последовательно протекающих элементарных реакций образуют линейные цепи реакций:
1 1
x
k
k
A
B
C
, каждая стадия характеризуется своей константой скорости (k
1
и k
1
x
, соответственно).
Рассмотрение данного примера так же начнем с установления граничных условий: в момент времени t = 0 a = a
0
, b = c = 0; в любой момент времени a + b + c = a
0
Кинетическое описание данной цепи реакций можно представить в виде системы уравнений:
1 1
1 1
x
x
da
k a
dt
db
k a k b
dt
dc
k b
dt
Первая формула представляет собой уравнение скорости реакции первого порядка, решение которого имеет вид

29
t
k
e
a
a
1 0
Тогда, с учетом b=a
0
–a–c
t
k
e
a
k
a
k
c
k
dt
dc
x
x
x
1 0
1 0
1 1
Общее решение этого уравнения складывается из решения однородного уравнения с правой частью, равной нулю, и частного решения неоднородного уравнения:
0 1
1 0
1 1
1 0
1 1
1
a
e
e
c
t
k
k
k
a
k
k
k
a
k
x
x
x
t
k
x
Используя заданные граничные условия, можно получить формулу и для кинетики вещества В:
)
(
1 1
1 1
0 1
t
k
k
k
a
k
e
e
b
t
k
x
x
В первую фазу процесса происходит накопление вещества В, а во вторую – вещества С.
Если скорость первой реакции существенно выше, чем второй, в системе образуется избыток вещества В и вторая реакция начинает подчинятся кинетическому уравнению нулевого порядка. Тогда накопление вещества С в системе перестанет зависеть от скорости первой реакции и будет подчиняться уравнению:
0
c k t
В результате скорость линейной цепи реакций полностью определяется ее второй стадией, которую в этом случае называют лимитирующей стадией
процесса.
Если цепь последовательных реакций замыкается, то есть конечный продукт цепи является субстратом для ее первой стадии, такую реакцию называют циклической.
Циклические реакции нередко встречаются в биохимических системах, играя важную роль в процессах метаболизма, широко известен цикл Кребса.
Скорость цикла всегда определяется скоростью лимитирующей (то есть самой медленной) стадии.
Разветвленные (параллельные) цепи реакций

30 1
1
k
A
k
B
протекают на условиях
0
,
,
0 0
с
в
a
a
t
В результате, необходимо решить систему уравнений:
a
k
k
dt
da
)
(
1 1
a
k
dt
db
1
a
k
dt
dc
1
Решая эти уравнения, получим:
t
k
k
e
a
a
)
(
1 1
0
)t
k
(k
-e
k
k
a
k
b
1 1
1 1
0 1
1
и
)t
k
(k
-e
k
k
a
k
c
1 1
1 1
0 1
1
Нетрудно увидеть, что b/с=k
1
/k
-1
., т.е. соотношение образующегося вещества при параллельных реакциях пропорционально отношениям констант скоростей реакций.
Зависимость скорости реакции от температуры
До сих пор мы рассматривали зависимость скорости от констант реагентов, однако очевидно, что большое влияние на скорость реакции оказывает изменение температуры.
Вант-Гоффу принадлежит утверждение, что скорость химической реакции ( ) при увеличении температуры на 10 С увеличивается в 2-4 раза.
Т
T
Q

10 10
Позднее установили, что для: химической реакции Q
10
=2-4, физической реакции Q
10
=1,1-1,2, ферментативной реакции Q
10

1,7.
Вант-Гофф установил, что константа равновесия К подчиняется уравнению:

31 2
0
ln
RT
H
dT
K
d
Аррениус подставил в это уравнение вместо К константу скорости k.
Хотя этот переход строго математически не доказан, но на практике он всегда оказывается верен:
2
ln
RT
E
dT
K
d
A
., где:
Е
А – энергия активации реакции, то есть та энергия, которой молекулы должны обладать, чтобы преодолеть силы отталкивания.
Решая это уравнение, получим: LnK=LnA-E
A
/RT, где:
LnA – константа интегрирования,
Графически это уравнение, называют диаграмма Аррениуса, из которой легко определить Е
А
реакции как тангенс угла α наклона (Рис. 1)
Рис. 1. Диаграмма
Аррениуса
По оси х – величина обратная температуре 1/Т; по оси у – LnK реакции
Энергия активации реакции определяется так же с помощью Q
10
:
E
A
=0,46 T
1
T
2
lgQ
10
.
В уравнении Аррениуса:
A
E
RT
E
n
e
n
– множитель Больцмана, который отражает долю молекул, обладающих энергией Е Е
А
, где:
(n
E
) относительно всех молекул (n).
Тогда константа интегрирования A складывается из двух составляющих:
Z-вероятность столкновения молекул, р-вероятность столкновения активными центрами – стерический коэффициент.
Для малых молекул он стремится к единице, а для макромолекул:
1.
Таким образом, в окончательном виде уравнение Аррениуса:

32
A
E
RT
k
p z e
.
Кинетика ферментативного катализа
Катализатор – вещество, увеличивающее скорость реакции, но не участвующее в образовании конечных продуктов.
Ферменты – биологические катализаторы, высокомолекулярные белки.
Математическая модель ферментативного катализа была разработана
Л. Михаэлисом и М. Ментен в 1913 году и представляет собой решение системы уравнений:
2
1
2
1
1
1
2
1
1
dS
k es
k ( es );( 1 )
dt
de
k es
k ( es ) k ( es );( 2 )
dt
dP
dS
k ( es )
;( 3 )
dt
dt
d( es )
k es
k ( es ) k ( es );( 4 )
dt
Опять же будем исходить из условия закрытости системы:
1) Весь продукт реакции образуется из субстрата: P+S=const;
2) Существует начальная концентрация фермента: e
0
=const=e+(es).
Из первого условия следует:
,
dt
dS
dt
dP
а из второго:
dt
es
d
dt
de
)
(
.
Подставим e+(es)=e
0
=const в уравнение (4), получим:
)
(
)
(
)]
(
[
)
(
1 1
0 2
es
k
es
k
es
e
S
k
dt
es
d
или:
2 0
2
1
1
d( es )
k e S
( es )[ k S
k
k ]
dt
В начальный момент времени t 0,( es ) 0 и при t
,( es )
0 , следовательно, функция es (от t) имеет экстремум – максимальное значение, где ее производная равна нулю:

33 0
d( es )
dt
Это область стационарного состояния, когда скорость реакции максимальна, а концентрация [S] не лимитирует течение процесса, то есть
S=S
0
+P>e
0
При этом условии стационарности можно записать, что:
S
k
k
k
S
e
k
es
2 1
1 0
2
)
(
, или:
S
K
S
e
S
k
k
k
S
e
es
m
0 2
1 1
0
)
(
, где
1 2
1
m
k
k
K
k
– концентрация субстрата, при котором (es)=e
0
/2, то есть
половина энергии задействовано и:
m ax
2 1
.
Для стационарного состояния:
S
K
S
e
k
es
k
dt
dP
dt
dS
m
0 1
1
)
(
Совмещая 3-е уравнение системы с полученным выражением:
Так как
1 0
m
dS
k e S
,
dt
K
S
k
1
e
0
-это произведение отражает максимальную скорость реакции, когда
S находится в большом избытке, и тогда реакция подчиняется уравнению 1- го порядка:
S
K
S
m
m ax
.
Линейные преобразования уравнения Михаэлиса-Ментен
Линеанизацию уравнения Михаэлиса-Ментена можно производить тремя способами:
1.
Способ Ленгмюра: max
,V
V
S
V
K
S
m
, tg = 1/V
2.
Способ Эди-Хофети:

34
S
K
V
m
, tg = –K
m
3.
Способ Лайнувера-Бэрка (Рис. 2, (1))
VS
K
V
m
1 1
, tg = K
m
/V
Рис. 2. Графическое отражение зависимости скорости ферментативной реакции (V) от концентрации субстрата (S) в прямых (правый рисунок) и обратных (левый рисунок) координатах.
Сплошная линия (1) -исходная кривая; пунктирная (2)-конкурентное
ингибирование; штрих-пунктирная (3)-неконкурентное ингибирование.
Ингибирование ферментов
Существует много веществ, ингибирующих протекание ферментативных реакций, как обратимо, так и необратимо:
Конкурентное ингибирование (Рис. 2) - это когда ингибитор I занимает
активный центр фермента, образуя EI, и не дает образовывать ES.
Так как это случай разветвлѐнной цепи реакции:
)
(ei
i
e
K
i
.
Из выше изложенного можно записать, что
( )
m
K
e
s
es
или
)
(es
s
e
K
m
,
но в нашем случае e=e
0
-(es)-(ei)

35 и тогда
0
( )
1
( )
m
K
e
ei
s
es
es
Из закона действующих масс:
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
m ax
0
s
i
K
K
es
ei
i
es
s
ei
K
K
es
e
i
m
i
m
,
тогда, подставляя: max
1
m
m
i
K
K
i
s
K
s
,
можно преобразовать по Лайнуверу-Бэрку: max max
1 1
1 1
m
i
K
i
K
s
Неконкурентное ингибирование(Рис. 2).
Это более редкий случай, когда у фермента, кроме активного центра, существует ещѐ и регуляторный (аллостерический) центр, с которым и взаимодействует ингибитор.
Как и в предыдущем случае
)
(ei
i
e
K
i
, а при
)
(
0
ei
e
e
)
(
)
(
0
ei
i
ei
e
K
i