лекция №1. Лекция-1-ЛИЛХ-ЗО. Лекция 1. Матрицы. Определители. Обратная матрица. Слу. Основные определения. Матрицей размера m
 Скачать 71.79 Kb.
|
|
Лекция №1. Матрицы. Определители. Обратная матрица. СЛУ. §1. Основные определения. МАТРИЦЕЙ размера m.n называется прямоугольная таблица чисел  , содержащая m строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы аik имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца. Краткая форма записи матрицы: А = (аik)m,n Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка n, если она состоит из n строк, и n столбцов. Матрица размера 1 .n называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ, а матрица размера m.1 - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ. НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю. ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:  .ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрицаn-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а в се остальные элементы – нули:  .Матрицы А = (аik)m,n и В = (вik)m,n называются РАВНЫМИ, если аik = вik i = 1,…,m k = 1,…,n. §2. Линейные операции над матрицами. СУММОЙ матриц А = (аik)m,n и В = (вik)m,n называются матрица А + В = (аik + вik)m,n. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (аik)m,n на число называется матрица А = (аik)m,n. Для любых матриц одинакового размера и любых чисел и выполняются свойства: 1) А + В = В +А 2) А + (В + С) = (А + В) + С 3) А + 0 = А 4) (А) = ()А 5) (А + В) = А + В 6) ( + )А = А + А ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица АТ, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А. ПРИМЕР 1. Даны матрицы  и  Построить матрицу С = 2А – 3В + АТ. РЕШЕНИЕ.  - + = .§3. Умножение матриц. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (аik)m,р на матрицу В = (вik)р,n называется матрица Dразмера m.n с элементами  Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементовi-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В. ПРИМЕР 2. Найти произведение матриц  и  .РЕШЕНИЕ.   .§4. Определители второго и более высоких порядков. Пусть  - квадратная матрица 2-го порядка. Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число (А) =  . Пример 1. Вычислить определитель матрицы  .Решение. (А) =  .Пусть  - матрица 3-го порядка. Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число (А) =   Правило Саррюса (треугольника)   Минором элемента aik называется определитель Мik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца. Алгебраическим дополнением элемента aik называется число  . Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:(А) =  Пример 2. Вычислить определитель  = = ==  .Определителем n-го порядка называется число  .§5. Свойства определителей. 1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. (АТ) = (А). Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк. 2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак. 3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. 5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю. 6. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. 7. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равно 0. 8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали . §6. Обратная матрица. Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А, если А.А-1 = А-1.А = Е. ТЕОРЕМА. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невыраженной, т.е. чтобы (А) 0. Алгоритм построения обратной матрицы. Вычислить определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу  .Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу  .По формуле (2) составить обратную матрицу  .По формуле (1) проверить вычисления.   , (1)  . (2)§7. Системы линейных уравнений (СЛУ). Матричный метод решения. Запишем заданную систему в матричном виде:  Если матрица  невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу  . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу  слева:  Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:  где  - определитель матрицы системы,  - определитель матрицы системы, где вместо  -го столбца стоит столбец правых частей.Метод Гаусса. Метод Гаусса - Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. |