Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
Векторное произведение в координатах. Для ортов базиса (ijk)Система координат 0xyzимеем [i,i]=[j,j]=[k,k]=0 [ij]=k, [jk]=-i,[i,k]=j [j*i]=-k, [k,j]=-i, [k,i]=-j Рассмотрим 2 вектора. a=axi+ayj+azk и bbxi+byj+bzk [a,b]=axbx[ii]+axby[ij]+axby[i,k]+aybx[j,i]+ayby[j,j]+aybz[j,k]+azbx[k,i]+azby[k, j]+azbz[k,k]=i(aybz-azby)-j(azbx-axbz)+k(axby-aybx)= | i. j k. | =| ax ay az| | bx by bz| Площадь треугольника Пусть даны 3 точки лежащие в одной плоскости. A(xa ya za). AB=(xb-xa)j+(yb+ya)j+(zb-za)k B(xb yb zb). AC=(xc-xa)i+(yc+ya)j+(zc-za)k C(xc yc zc) S∆ABC=1/2[AB×AC] Смешанное произведение 3 векторов. Смешанным произведением abc называется векторное произведение вектора aи b, скалярно умноженное на c, обозначается abc. По определению abc=[a,×b]*c C=axi+cyj+czk d=a*b, d*c=hвысота abc=V пар-ма (a,b,c) правая. Свойства 1) Смешанное произведение в координатах 2) Если два вектора поменять местами, то смешанное произведение изменить знак на противоположный. 3) Циклическая перестановка сомножителей знак не меняет. 4) Если среди вектора сомножество есть компланарный, то произведение векторов =0. 5) Если вектора сомножетелей компланарны, то смешанное произведение обращается в ноль, параллепипедпревращается в плоскость v=0. Лекция №15 Аналитическая геометрия на плоскости Рассмотрим плоскость и введенную на ней систему координат Оxy. Это система двух взаимно перпендикулярных осей Ox (орт 𝑖)Oy (орт 𝑗) и общего начала О. Вектора на плоскости имеют 2 координат 𝑎 (a x ,a y ) M (x,y) Все формулы векторной алгебры для трехмерного пространства справедливы и для плоскости с учетом того, что проекция вектора на ось Оz=0, а третья координата т. М, т.е. z=0 (аппликата). Пусть в системе Оxy задана линия. М – текущая точка лини, а (x,y) – текущие координаты. Если абсциссех т. М придавать различные значения, то значения ординаты y надо вычислять исходя из того, что т. М находится на заданной линии. Таким образом, если т. М лежит на заданной линии между ее координатами существует зависимость. Если эта зависимость выражается уравнением связывающее x и y, то это уравнение линии. Уравнение линии – это уравнение, связывающее текущие координаты этой лини Пример: дано уравнение y=f(x) (1) Задав ряд значений x получим значения y из формулы (1). Таким образом, уравнение (1) определяет на плоскости множество точек, координаты которых связаны этим уравнение. Это множество точек образует линию в системе (Оxy), которые называют графиком этого уравнения. Прямая линия Нормальное уравнение прямой т. М – текущая точка прямой (x,y) 𝑖 – радиус-вектор = x𝑖+y𝑗 Пусть 𝑂𝐾=p𝑛, 𝑛 = cos 𝛼 𝑖 + sin 𝛼 𝑗, 𝑛 = 1, где 𝑛 – единичный вектор нормальной прямой 𝛼 = 𝑛, 𝑖 , p = 𝑂𝐾 – длина вектора 𝑂𝐾, 𝑂𝐾 ⊥ прямой Пусть вектор 𝑁 = A𝑖 + B𝑗 – постоянный вектор, а р – постоянный скаляр 𝑁 𝑁 = 𝑁 0 – единичный вектор, где 𝑁 = 𝐴 2 + 𝐵 2 𝑃 𝑁 = 𝑝 Прямая обладает тем свойством, что проекция и радиус-вектор ее текущей точки М (x,y) на нормаль 𝑛 = 𝑝. Учтем пр 𝑛 𝑟 = 𝑟 ∗ 𝑛 по свойству скалярного произведения Получим: 𝑟𝑛 = p (2) – нормальное уравнение прямой в векторной формуле Переписав векторное уравнение через координаты получим 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 sin 𝛼 = 𝑝 (3) Общее уравнение прямой Решением 𝑟𝑁 = P (4), где 𝑁 и P ввели ранее. Разделив обе части (4) на 𝑁 получим 𝑟 𝑁 𝑁 = 𝑃 𝑁 (5) Если считать 𝑟 – радиус-вектором текущей точки М с координатами (x,y ) прямой, а 𝑁 0 = 𝑁 𝑁 – единичным вектором нормали прямой, т.е. уравнение (4) приведено к нормальному виду (2) является уравнением некоторой прямой. Уравнение (4) в координатной форме имеет вид: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝑃, 𝑃 > 0 (6) Оно приводится к нормальному виду (3) делением обеих частей на 𝐴 2 + 𝐵 2 = 𝑁 Рассмотрим уравнение более общего вида: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (7), где A,B,C –действительные постоянный числа. Его легко привести к виду (6) оно является уравнением прямой на плоскости. Таким образом, всякая прямая на плоскости имеет свое уравнение первой степени относительно координат (х, у) и наоборот, всякое уравнение 1ой степени относительно координат (х,у) является уравнением прямой линии. Уравнение (7) называют общим уравнение прямой, а уравнение (3) нормальным уравнением прямой. Имеет место следующее правило: Чтобы (7) привести к уравнению вида (3) надо обе части уравнения (7) умножить на множитель μ = ± 1 𝐴 2 +𝐵 2 (8), при этом знак μ выбирается противоположным знаку в точке С Общее уравнение в скалярной форме прямой имеет вид: 𝑟𝑁 + С = 0 (9), где 𝑁 с координатами (А,В). Т.к. общее уравнение прямой приводится к нормальному уравнению 𝑁 𝑛,т.к𝑛 ⊥ прямой, то 𝑁 ⊥ прямой. Это означает, что коэффициенты А и В в уравнении (7) есть координаты вектора этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору Пусть дана точка А и 𝑎 (a x ,a y ) 𝑥−𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 −𝑥 𝐴 = 𝑦−𝑦 𝐴 𝑦 𝐵 −𝑦 𝐴 11 ′ − уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Проведем прямую || 𝑎. Возьмем на прямой т. М (х,у). 𝑟 𝐴 = x 𝐴 𝑖 + y 𝐴 𝑗 – радиус-вектор т. А 𝑟 = x𝑖 + y𝑗 – радиус-вектор т.М Из рисунка видно 𝑟 − 𝑟 𝐴 = 𝐴𝑀 || 𝑎 𝑟 − 𝑟 𝐴 = 𝑎 (10), где - некоторый скаляр. (10) – это искомое уравнение в векторной форме В координатной форме можно записать: 𝑥 − 𝑥 𝐴 = 𝑎 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝐴 = 𝑎 𝑦 Исключая параметр найдем 𝑥−𝑥 𝐴 𝑎 𝑥 = 𝑦−𝑦 𝐴 𝑎 𝑦 (11) – искомое уравнение (ур-ние прямой, проходящей через 2 точки) Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом Из (11) легко найти 𝑦 − 𝑦 𝐴 = 𝑎 𝑦 𝑎 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑎 (12) 𝑎 0 = 𝑎 𝑎 = cos 𝛼 𝑖 + sin 𝛼 𝑗, тогда 𝑎 = 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑥 = 𝑎 cos 𝑎 𝑦 = 𝑎 sin 𝑎 𝑦 𝑎 𝑥 = 𝑡𝑔 = 𝑘 – угловой коэффициент прямой = (𝑎, 𝑖 )(см. рис. 1) Уравнение (12) примет вид (13) 𝑦 − 𝑦 𝐴 = 𝑘 𝑥 − 𝑥 𝑎 13 Уравнение прямой в отрезках 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1 Уравнение (13) называют уравнением прямой проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. Если выбрать т.А (0, b), то получим уравнение 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, где b – начальная функция Условие параллельности и перпендикулярности прямых Пусть даны 2 прямые 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝐴 1 𝑥 + 𝐵 1 𝑦 + 𝐶 1 = 0 𝑁 первой (А,В) 𝑁 1 второй ( A 1 , B 1 ) Если 𝑁 || 𝑁 1 , то прямые параллельны и наоборот. При этом 𝐴 𝐴 1 = 𝑩 𝐵 1 (14) – условие параллельности Если 𝑁 || 𝑁 1 , то и прямые перпендикулярны и 𝑁 ∗ 𝑁 1 = 0 𝐴𝐴 1 + 𝐵𝐵 1 = 0 (14 ′ ) Угол между двумя прямыми Пусть даны две прямые 𝑦 = 𝑘 1 + 𝑏 1 (15) 𝑦 = 𝑘 2 + 𝑏 2 (16) Из рисунка 6 видно, что 2 = 1 + 𝜃 𝜃 = 2 − 1 𝑡𝑔𝜃 = 𝑡𝑔 2 − 1 = 𝑡𝑔 2 − 𝑡𝑔 1 1 + 𝑡𝑔 2 ∗ 𝑡𝑔 1 = 𝑘 2 − 𝑘 1 1 + 𝑘 2 ∗ 𝑘 1 (17) Из (17) видно, что если прямые параллельны, то 𝑘 1 = 𝑘 2 (18) и 𝑡𝑔𝜃 = 0 𝜃 = 0 или 𝜋 Если прямые взаимно перпендикулярны ( ), то 𝜃 = 𝜋 2 , 𝑡𝑔𝜃 = ∞, 1 + 𝑘 1 𝑘 2 = 0 𝑘 2 = − 1 𝑘 (19) Лекция №16: Расстояние от точки до прямой Пусть на плоскости OXY дана прямая линия. Проведѐм через начало координат прямую, которую назовѐм нормалью. Y M d O X P- длина нормали d-пересечение с данной прямой, установим в + направлении от 0 до d. Пусть α- угол (xy) полярный нормали ∟(OXOd), P=(Od). Тогда уравнение имеет вид: x*cosα + y*sinα=P Рассмотрим другую прямую с точкой M, обозначающая расстояние от точки М до данной прямой. Отклонение δ от данной прямой- + значение d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой. -значение d, если точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной прямой. Для точки М, лежащей на данной прямой, отклонение δ равно нулю. (Xm ;Ym) – точки, лежащие вне прямой. Отклонение δ точки М вычисляется по формуле: δ = Xm* cosα + Ym*sinα P Таким образом, чтобы найти δ от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения прямой подставить координаты М (Xm ;Ym) вместо (x;y). Чтобы найти d, нужно вместо δ взять его модуль d = │δ│ Если дано общее уравнение прямой, то чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены умножить на нормирующий множитель µ, где знак выбирается противоположно знаку С. µ= ±1/√ (А^2 + В^2) После этого можно находить расстояние от точки М до данной прямой. Исследование общего уравнения прямой Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 называют полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. В противном случае называют неполным. Рассмотрим всевозможные варианты неполного общего уравнения: 1) А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 By + C =0 — неполное уравнение прямой в системе координат OXY прямую параллельную OX, так как при любых значениях Х yпринимает одно и то же значение. В этом случае неполное общее уравнение прямой определѐнное геометрическое место точек, ординаты которых равны одному и тому же числу –C/B 2) При А = 0 и С = 0, В ≠ 0 у = 0 определяет ось абсцисс OX 3) А ≠ 0, В = 0, С ≠ 0 Ax + C = 0 — уравнение параллельное оси ординат OY 4) А ≠ 0, В = 0, С = 0 Ax = 0, x = 0 — уравнение оси OY 5) A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 Ax + By = 0 — неполное общее уравнение, которое задаѐт прямую через начало координат, удовлетворенное этому уравнению. Уравнение кривых 2-го порядка Общее уравнение кривой 2-го порядка имеет вид: Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 A*C> 0, то уравнение принимает эллиптический вид. Эллиптическое уравнение- есть уравнение обычного эллипса, либо мнимого эллипса (уравнение не определяет ни одного геометрического образа). А*С < 0, то уравнение принимает гиперболический вид, который выражает либо простую гиперболу, либо вынужденную ( две пересекающиеся прямые). А*С = 0, то уравнение вида 2-го порядка не будет центральным и является параболическим видом, который выражает либо простую параболу, либо совпадающую прямых, либо не выражают ни одного геометрического образа. Эллипс Эллипс— геометрическое место точек М плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2, называются фокусами постоянного или большего расстояний между фокусами. Обозначим эту постоянную величину 2А, а расстояние между фокусами 2С, М – произвольная точка эллипса. ТогдаMF1 + MF2 = 2A, A = const> C. Введѐм систему координат OXYи через фокусы проведѐм ось абсциссOX, а через середину F1F2 проведѐм перпендикулярно ему ось ординат OY. F1 (-C ; 0); F2 (C ; 0); M (x ; y). MF1 = √(x + c)^2 + y MF2 = √(x – c)^2 + y Уравнение эллипса принимает вид: √(x + c)^2 + y = √(x – c)^2 + y Один из радикалов перенесѐм вправо и возведѐм всѐ в квадрат. В итоге получится уравнение эллипса примет вид: x^2/a^2 + y^2/(a^2 + c^2) = 1, 2C> 2A Так как по условию a + c= b, то x^2/a^2 + y^2/b^2 Это каноническое уравнение эллипса, где а – длина большой полуоси; b – длина малой полуоси. Директриссы и Эксцентриссицет (ε) . Форма эллипса определяет характер ε, обоз. буквой с и равна отношению расстояния между фокусами к длине большой полуоси. ε = 2с/2а = с/а <1, так как с <а Для текущей точки эллипса выполним r1 = a + εx1, r2 = a–εx2 Приэтом при выводе уравнения эллипса найдѐм эту формулу. Директриссойназывают две прямые, которые выбраны в системе координат и имеют уравнение: Расстояние от секущей точки n —L1 = x + a/c ;L2 = x – a/c. Тогда имеем уравнение: r1/d1 = r2/d2 = c. ЛЕКЦИЯ №17 ГИПЕРБОЛА Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояния которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим фокусы F1 и F2, а расстояние между ними – 2с. Разность расстояния от этой гиперболы до двух фокусов обозначим 2с=const. Выберем систему координат как в случае с эллипсом. Обозначим через М текущую точку гиперболы. r1 и r2 – расстояния между М и фокусами 2с>2a, c>a По определению: r1-r2=2a r1= 2 2 ) ( у с х r2= 2 2 ) ( у с х 2 2 ) ( у с х - 2 2 ) ( у с х =2a Преобразуем так же как и для эллипса: 2 2 ) ( у с х = 2 2 ) ( у с х - 2а х 2 +2сх+с 2 +у 2 =х 2 -2сх+с 2 =у 2 +4а 2 2 ) ( у с х +4а 2 4сх-4а 2 =4а 2 2 ) ( у с х с 2 х 2 -2а 2 сх+а 4 =а 2 (х 2 -2сх+с 2 +у 2 ) (с 2 -а 2 )х 2 -а 2 у 2 =а 2 (с 2 -а 2 ) 1 2 2 2 2 2 а с у а х Обозначим: b 2 =c 2 -a 2 >0 1 2 2 2 2 b у а х - каноническое уравнение гиперболы Исследуем форму гиперболы по её уравнению: 1)х и у входят в уравнение только в чётной степени Ох и Оу являются осями симметрии, а начало координат в точке О – центр симметрии. 2) Точки пересечения с осью абсцисс имеют у=0 и х= а – этокоординаты вершин гиперболы (-а;0) и (а;0) При этом 2а – длина действительной оси Рассмотрим пересечение с осью ординат х=0 и –у=b 2 , чего быть не может. С осью ординат не пересекается 2b – длина мнимой оси. Из канонического уравнения имеем: 2 2 a x b а у , y R x , т.е. график гиперболы состоит из двух бесконечных ветвей. Асимптотой кривой называется прямая линия, расстояние до которой от точки прямой стремится к нулю по мере удаления этой точки от начала координат вдоль кривой. Если х стремится к бесконечности, то а можно пренебречь. Для гиперболы асимптотой является прямая, с уравнением x a b у В силу симметрии, достаточно показать это для одной асимптоты. x a b a x a b x 2 2 lim - ордината асимптоты Расстояние от точки гиперболы до прямой есть величина бесконечно малая, значит прямая является асимптотой. Элементы гиперболы: Точки пересечения с осью Ох, есть вершины гиперболы, а расстояния между ними равно 2а. Расстояние от точки гиперболы до фокусов – фокальные радиус-векторы. е а с >1 – эксцентриситет гиперболы Директрисы гиперболы – это две прямые, с уравнениями с а х По определению, cx y c x y c x r r 4 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 a cx r r r r a cx r r a ex r a r r ex a r cx r r 2 4 2 4 , 2 , 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 Расстояние d от точки М до директрисы есть: e d r е т e r e a ex c a x d 2 2 2 2 , e d r е т e r e a ex c a x d 1 1 1 1 , const c a e Лекция №18 Парабола- геометрическое место точек на плоскости , равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой параболы, и данной точки называемой фокусом параболы. Рис.1 Введем систему Oxy. Через фокус проведем прямую перпендикулярную биссектрисе. За начало координат примем точку равноудаленную от фокуса и от точки пересечения оси с абсцисой. За ось Oy примем прямую проведенную через О. Расстояние от фокуса до директрисы дано и равно Р, тогда фокус имеет координаты F( 𝑃 2 ; 0) и директриса имеет уравнение x= −𝑃 2 . М текущая точка параболы. По определению параболы MF=MB при этом MB=x+ 𝑃 2 ; MF= (𝑥 − 𝑃 2 ) 2 + 𝑦 2 x+ 𝑃 2 = (𝑥 − 𝑃 2 ) 2 + 𝑦 2 𝑦 2 = 2𝑥𝑃 –каноничное уравнение параболы Свойства параболы: 1. Всегда проходит через начало координат О(0;0), которая является вершиной. 2. y-четное → x≥0 3. В силу четности y, ось Ox есть ось симметрии. |