Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
1.Векторы называются равными, если они имеют равные модули, коллинеарны и направлены в одну сторону. (Если вектора направлены в противоположные стороны при равных модулях и наличии коллинеарности, то они противоположны). Определение: 2.Векторы называются коллинеарными, если они располагаются на одной прямой или на параллельных прямых, то есть если существует прямая, которой они параллельны. Определение: 3.Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или если существует плоскость, которой они параллельны. Если компланарны векторы имеют общее начало, то они лежат в одной плоскости Определение: 4. Нуль-вектор (О-вектор), имеющий длину равную нулю и неопределенное направление. Действия над векторами Произведением вектора на число называется вектор определяемый следующими условиями: вектор коллинеарен вектору векторы и одинаково направлены, если и противоположны, если Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов: Пусть ненулевой вектор, тогда для любого коллинеарного ему вектора существует единственное число удовлетворяющее равенству Действительно, если векторы одинаково направлены и если они противоположно направлены. Сложение и вычитание векторов Сумму двух коллинеарных векторов, имеющих одинаковое направление называется такой вектор, который имеет такое же направление и длина которого равна сумме их длин. Если вектор направлен противоположно, то за их сумму принимается вектор имеющий направление большого по модулю вектора, а длина равна разности их длин. Сложение двух неколлинеарных векторов по правилу параллелограмма. Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и ( рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов. Если количество векторов больше двух, то это правило применяется для каждого вектора, сначала складывается первый к второму, затем к этой сумме прибавляется третий вектор. Правило треугольника:Пусть есть произвольные векторы и . Надо от конца вектора отложить вектор , равный вектору . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец совпадет с концом вектора , будет суммой + Правило многоугольника. Если векторы расположить так, чтобы начало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, то суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало самого первого вектора с концом последнего. Свойства операции сложения 1. - коммутативность. 2. - ассоциативность. 3. (a + b +... + c)n = an + bn +... + cn–дистрибутивность. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор .Линейная комбинация векторов образуется из них с помощью операций умножения на число и сложения, следовательно, она также является вектором. По определению n-мерный вектор разлагается по системе векторов , если можно подобрать такие числа , что векторы и равны, т. е. Числа называются коэффициентами разложения. Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую (равную нулю) линейную комбинацию, т.е. , причем хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля. В противном случае система векторов называется линейно независимой. Очевидно, что если нуль-вектор входит в систему векторов, то система всегда линейно – зависима, т.к. нуль-вектор можно представить в виде линейной комбинацией векторов с нулевым коэффициентом. Определение: Линейной независимой системы векторов можно получить как отрицание линейной зависимости, т.е. если вектор системы нельзя представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, то системы векторов называется линейной независимой. Линейной комбинация этой системы равна нулю, тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейных комбинаций равны нулю. Доказательство: Система векторовназывается линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору: .(12) Пусть , тогда Линейная зависимость векторов на плоскости. Теорема 1. Всякие три вектора , и на плоскости линейно зависимы. Доказательство 1.Среди данных векторов имеется пара и . Тогда т.е. вектор есть линейная комбинация векторов и . 2.Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О (рис.30). Покажем, что вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору , а другой - вектору . Для этого через конец М вектора проведем прямые, параллельные векторам и , до их пересечения в точках В и С c прямыми, на которых соответственно расположены векторы и . Имеем очевидное равенство Так как векторы и коллинеарны соответственно векторам и , то и Поэтому , т.е. является линейной комбинацией векторов и . Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Предположим теперь, что имеются три некомпланарных вектора А, В и С. Всякий вектор можно представить как диагональ параллелепипеда, три ребра которого параллельны векторам А, В и С. Таким образом всякий вектор может быть выражен через три некомпланарных вектора в виде (рис. 83): Отсюда следует, что между всякими четырьмя векторами существует соотношение вида Если три первых вектора компланарны, то надо считать лишь d = 0. В общем случае, если существует система линейных векторовn( ) А любой n+1 вектор в виде линейных n-векторов системы n+1= , то любые n+1 вектор линейно зависимы и пространство называется n-мерное. Лекция 12 Линейная зависимость вектора на плоскости. На прошлой лекции мы получили, что на прямой линии один вектор линейно не зависим, а два вектора линейно зависимы. Р/м три вектора: a, b, c. Теорема 1. Любые три вектора a, b, c на плоскости линейно зависимы. Доказательство: 1) Среди данных векторов имеется пара коллинеарных a || b, тогда a = ß*b или a = ß*b + 0*c, то есть вектор a – линейная комбинация векторов b и c, значит, три вектора линейно зависимы. 2) Среди данных векторов нет коллинеарных. Допустим, что вектора имеют общее начало в точке О. Покажем, что вектор a можно представить в виде суммы векторов, один из которых коллинеарен вектору b, а второй коллинеарен вектору c. Для этого через точку М (конец вектора a) проведем прямые, параллельные векторам b и c до их пересечения в точке B и C с прямыми, на которых расположены векторы b, c. Имеем очевидное равенство: OM(век)=OB(век) + OC(век), так как вектор OB коллинеарен вектору b, то OB(век) = ß1*b , OC(век) коллинеарен вектору с, то OС(век) = ß2*с. Получим, а(век)= ß1*b+ ß2*с, т.е. вектор a – линейная комбинация векторов b и с. Значит три вектора линейно зависимы. Любые два неколлинеарных вектора линейно не зависимы. Разложим вектор по трем некомпланарным векторам в пространстве. Любые три некомпланарных вектора линейно независимы, т.к. если в пространстве a, b, c (некомпланарные) линейно зависимы, то а(век)= ß1*b+ ß2*с, следовательно три вектора компланарны. Теорема 2 .Пусть даны четыре некомпланарных вектора a, b, c, d. Приведем все четыре вектора к общему началу О и построим параллелепипед с ребрами коллинеарными векторам a, b, c и диагонали d. Ребра ƛa || a, ßb || b, Ɣc || c. Из рисунка видно, что (OA+OB) + OC=OD. ƛa + ßb + Ɣc = d. Разложим три вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. ƛa + ßb + Ɣc +ðd = 0. 3 некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы, а 4 вектора зависимы. В общем случае, если существует система n-линейно независимых векторов, а любой (n+1) вектор можно представить в виде линейной комбинации n-векторов системы, то любые (n+1) векторы линейно зависимы и пространство n-мерное. Проектирование вектора на ось. Ось (ориентированная) – прямая, на которой закреплена точка , называемая началом отсчета, выбранные единица длины и направление отсчета , и которая характеризуется единичным вектором – ортом оси. На рисунке i – орт оси, | i | =1. Спроецируем вектора а на ось с ортом i. 1) Назовем вектор – проекцией вектора а вектора а1, начало которого служит проекцией начала вектора а , а концом – проекция конца а на ось с ортом i. 2) Назовем проекцию вектора а на ось с ортом i – скаляр, равный модулю вектора а1, если а1 ↑↑ i, и равный отрицательному модулю вектора а1, если а1 ↑↓ i. При это если а1 перпендикулярен i, то модуль вектора а1 равен нулю. Прi a (проекция вектора а на ось с ортом i) Примечание: угол наклона вектора к оси – угол наклона между вектором и положительным направлением оси. Вектор должен быть отложен от точки, лежащей на это оси. Теорема 1. (свойства проекции) 1) Прi a = | а | * cos( a, i), где ( a, i) =ƛ Из рисунка видно, что если угол альфа – острый, то а1 ↑↑ i, то из треугольника ABC: AC = AB *cos ƛ. Если угол альфа – тупой, то а1 ↑↓ i, то AC=-AB *cos ƛ. 2) Проекция суммы вектором равна сумме их проекций. Доказательство: Пусть даны 2 невзаимно перпендикулярных вектора вектору i. Тогда имеем 3 случая: 1 - а1 ↑↑ i , b1 ↑↑ i 2 - а1 ↑↑ i , b1 ↑↓ i 3 - а1 ↑↓ i , b1 ↑↓ i Отметим, что для трех и более векторов результат аналогичен. Рассмотри первый случай: Прi a = AB, Прi b = BC, Прi c = AC AC = AB + BC, т.е. прi (a + b) = прi a + прi b Рассмотрим второй случай: Прi a = AB, Прi b = BC, Прi c = AC AC = AB – BC следовательно прi (a + b) = прi a + прi b Рассмотрим третий случай: Прi a = -BA, Прi b = -CB, Прi c = -AC = прi (a + b) AC = AB + CB -AC = -AB – CB прi (a + b) = прi a + прi b Теорема 3: Прi (ƛa) = ƛ прi a x > 0, a ↑↑ƛa 1) Прi (ƛa) =AC при a ↑↑ i 2) Прi (ƛa) = - AC при a ↑↓ i AC = ƛ*AB, т.е. Прi (ƛa) = ƛ прi a 3) -AC = ƛ*(-AB), т.е. Прi (ƛa) = ƛ прi a Аналогично и для ƛ < 0. Лекция 13 Прямоугольные координаты вектора в пространстве. Система координат в пространстве называется системой 3 взаимно перпендикулярных осейОx,Оy,Оz, с ортами 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 и общим началом О. Разложим произвольный вектор а по векторам 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 , а =а х 𝑖 +а х 𝑗 +а х 𝑘 (1) и построим параллелепипед на направляющих 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 , диагональю которого служит а . рис.1 Параллелепипед будет прямоугольным т.к 𝑖 ﬩𝑗 ﬩𝑘 М-конец а , а =ОМ На осях Ох,Оу,Оzотложим точки А ,В ,С-вершины параллелепипеда. Очевидно что треугольники ОМА, ОМВ, ОМС прямоугольные, поэтому векторы ОА , ОВ , ОС , есть векторы проекции а на оси Оx,Оy,Оz соответственно, т.е на орты 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . Следовательно а =ОА + ОВ + ОС =пр i а 𝑖 +пр j а 𝑗 +пр k а 𝑘 (2). Из уравнения (1) и (2) мы заключаем а х= пр i а, а у= пр j а, а z= пр k а. Определение: координатами вектора а в системе координат Охуz называют его проекции на осьОx,Оy,Оz или коэффициенты в разложении вектора а по ортам базиса 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . Длинна вектора. Из рис.1 видно что ОМ 2 =ОА 2 +ОВ 2 +ОС 2 . ОМ=ǀ а ǀ, ОА=а х, ОВ=а у, ОС= а z, следовательно имеем: . ǀ а ǀ 2 =а х 2 + а у 2 +а z 2 , следовательно а=ǀ а ǀ=√а х 2 + а у 2 +а z 2 Направляющие косинусы векторов. Пусть дан вектор а , углы, которые он образует с осями координат обозначим так: ɑ( а ^𝑖 ),ɓ(а ^𝑗 ), ɤ(а ^𝑘 ). Косинусы углов ɑ, ɓ, ɤ называются направляющими косинусами а . По первому свойству проекции вектора имеем: а х= ǀ а ǀ × cosɑ, а у= ǀ а ǀ × cosɓ, а z= ǀ а ǀ × cos ɤ. Рассмотрим сумму их квадратов: а х 2 + а у 2 +а z 2 =ǀ а ǀ 2 (cos 2 ɑ + cos 2 ɓ + cos 2 ɤ) =˃ cos 2 ɑ + cos 2 ɓ + cos 2 ɤ=1. Координаты единичного вектора. Пусть ǀа ǀ=1,тогда а х= cosɑ, а у= cosɓ, а z= cos ɤ. Координатами единичного вектора являются его направляющие косинусы. Координаты точки в пространстве. Пусть в пространстве введена прямоугольная(Декартова) система координат Охуz см.рис.1. Каждой точке пространства М можно соотнести ОМ = а =𝑟 М. 𝑟 М – радиус-вектор точки М проведенный из начала координат О. Координатами точки М в пространстве называют координаты ее радиус- вектора. Выразим координаты вектора через координаты начала и конца, пусть дан АВ , при этом А(x 1 , y 1, z 1 ),В(x 2 ,y 2 ,z 2 ).Найдем координаты вектора а =АВ . При этом А (а х, а у, а z, ) через координаты его начала и конца. Рассмотрим рис.2 Из рисунка видно что АВ =𝑟 В - 𝑟 А А С О В рис.2 Три вектора в пространстве линейно независимы. Расписываем последнее равенство и в силу его линейной независимости получим: а х= х 2 – х 1, а у= у 2 – у 1, а z= z 2 –z 1 .Найдем длину отрезка АВ, если известны А(x 1 , y 1, z 1 ) и В(x 2 ,y 2 ,z 2 ). а =АВ ,АВ=ǀа ǀ=√а х 2 + а у 2 +а z 2 =√(х 2 – х 1 ) 2 +(у 2 – у 1 ) 2 +(z 2 –z 1 ) 2 Деление отрезка в данном отношении. Рассмотрим рис.2 Пусть дан отрезок АВ, где А (x 1 , y 1, z 1 ) и В(x 2 ,y 2 ,z 2 ) и дана точка С(x,y,z) ,которая делит отрезок АВ в заданном отношении АС СВ =ƛ, ƛ- заданное число. Требуется найти координаты точки С, О- начало координат, 𝑟 А , 𝑟 В , 𝑟 С – радиус-векторы А,В,С соответственно, при этом имеем АС =𝑟 С - 𝑟 А , ВС =𝑟 С - 𝑟 В ,пусть АС со направлен с СВ , тогда АС СВ = ǀАСǀ ǀСВǀ = ƛ, АС =ƛ ВС или𝑟 С - 𝑟 А =ƛ( 𝑟 С - 𝑟 В ) => 1+ƛ 𝑟 С = 𝑟 А + ƛ𝑟 В , 𝑟 С= 𝑟 А + ƛ𝑟 В 1+ƛ . Учитывая что 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 линейно независимы находим: х= x1+ƛx2 1+ƛ , у= у1+ƛу2 1+ƛ , z= z1+ƛz2 1+ƛ В частности, если С делит АВ пополам =>ƛ=1: х= x1+x2 2 , у= у1+у2 2 ,z= z1+z2 2 Если ƛ<0, то точка С лежит вне отрезка. Если ƛ =0 ,то С уходит в бесконечность. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов а и 𝑏 называется число(скаляр) равное произведению длин векторов сомножителей на косинус угла между ними. Итак а ⨯ 𝑏 = ǀа ǀ ⨯ ǀ𝑏 ǀ⨯ cos(а ^𝑏 ). Свойства скалярного произведения: 1.Так как ǀа ǀ⨯ cosɑ = пр b а ,𝑏 ⨯ cosɑ = пр a 𝑏 ,то а ⨯ 𝑏 = ǀа ǀпр b а = ǀ𝑏 ǀпрa𝑏 . 2.Так как cos(а ^ 𝑏 )=cos(𝑏 ^ 𝑎 ) в силу четности косинусова ⨯ 𝑏 = 𝑏 ⨯ 𝑎 – коммутативность. 3.Ассоциативность относительно умножения на скаляр m ( а , 𝑏 ) =(m а , 𝑏 ). 4.Дистрибутивность относительно сложения ( а + 𝑏 )⨯ с = с а + с 𝑏 5.Скалярное произведение равно 0, когда а = 0 или 𝑏 = 0,или а ﬩𝑏 т.е cosɑ = 0. Лекция 14 Скалярное произведение в координатах. Рассмотрим 2 вектора a=a xi +a yi +a zk и b=b xi +b yi +b zk , учитывая, что орты базиса Взаимно﬩, i﬩j﬩k, имеемi*j=0, i*k=0, j*j=j^2 j*k=0, i*i=i^2=1. Перемножим векторы, как k*k=k^2=1 Многочлен на многочлен, получим a*b=ax*bx*i*i+axbyi*j+axbzi*k+aybxji+aybyjj+aybzjk+azbx=axbx+ayby+azbz Сумма произведений одноимѐнных координат. Ориентированая тройка векторов. Пусть 3 некоторые abcприведѐнных к общему началу 0. Назовѐм их правой тройкой (ориентированной 3-ой с правой ориентации). Рис… Если для наблюдателя помещѐнного в конец (c) движение a к b В их плоскости по кротчайшему пути будет происходить против движения стрелки часов. Если это движение будет происходить почасовой, движение будет левым. Обозначю(abc) Для орнтр важен порядок следования векторов если переставить местами 2 рядом стоящих вектора то ориентация 3-ки изменится на противоположную. Циклическая перестановка векторов не меняет ориентацию (перестановка по кругу). (a,b,с)(cab)(bca) Если у одного из векторов изменить знак, то ориентация изменится на противоположную. Если один из векторов заменить зеркальным отражением, относительно плоскости 2-ух других векторов, то ориентация изменится на противоположную. Введѐнный в системе координат 0xyz, три вектора орт вектора базиса ijk будут ориентированной правой тройкой векторов. Векторное произведение 2-ух векторов. Пусть даны 2 вектора a a не =0, b не =0. Векторным произведением векторов aиb, называется 3-й вектор c, обладающий след свойствами. 1)c﬩ пл-три (aи b)c ﬩ a,c﬩b 2)|c|-численно равна площади параллелограммапостроенного на векторах сомножителей как на ортах. |c|=|a|*|b|*sinã ã=(a ^ b) 3) 3ка ( abc)- правая (C=a*b=[a,b]- обозначается Свойства векторного пaроизведения |a=0 1)a*b=0 |b=0 |a||b (sinã=0) 2) Антикомунативность [a,b]=-[b,a] (abc)- правая (bac)-левая ( ba-c)-правая C=a*b, -c=b*a, c=-[b×a] 3) Ассоциативность умножения на скаляр m[ab]=[ma,b]; a) m>0; a↑↑ ma b)m<0; a↑↓ma sin(a ^ b)-= sin (ma,b) |