Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
Числовые ряды называется ряд один ,где члены ряда числа Определение Сумма конечного числа членов ряда ,состоящая из первых членов ряда один, называется частичными суммами этого ряда Каждому числовому ряду один можно сопоставить частичную сумму этого ряда ,гдеS1=U1,S2=U1+U2,Sn=U1+U2+…..+Un Определение Если при бесконечном возрастание номера «n»существует конечный предел Sn=S, то ряд называется сходящимся ,S- сумма сходящегося ряда Определение Если не существует конечного предела ,то ряд называется расходящимся Если ряд сходится ,то значение «Sn» для ряда 1при достаточно большем «n» является приближенным выражением суммы ряда «S» Определение 2n=S-Sn – называется остатком ряда Если ряд сходится, то 𝑍𝑛 𝑛→0 → 0 lim 𝑛→0 𝑍𝑛 = 0 ,то ряд сходится Примеры числовых рядов 𝒂𝒒 𝒏 = 𝒂 + 𝒂𝒒 𝟐 ∞ n=0 + ⋯ + 𝒂𝒒 𝒏−𝟏 , 𝒂 ≠ 0 Бесконечная геометрическая прогрессия Sn= a + aq + ⋯ + aq n−1 = 𝑎(1−𝑞 𝑛 ) 1−𝑞 a) |q |<1 lim 𝑛→∞ 𝑎−𝑎𝑞 𝑛 1−𝑞 = 𝑎 1−𝑞 – ряд сходится б) q=1 a+a+….+a=na Sn=na → 𝑛→∞ ∞ в) q=-1 a+a+….+ (−1) 𝑛 𝑎 = { 0-n- четная , a-n- нечетная – предела нет г) |q |>1 lim 𝑛→∞ 𝑎−𝑎𝑞 𝑛 1−𝑞 = lim 𝑛→∞ 𝑎( 1 𝑎 −𝑎 𝑛 ) 𝑎( 1 𝑎 −1) a lim 𝑛→∞ 𝑞 −1 −1/𝑎 1−1/𝑎 =∞ - ряд сходится Данный ряд сходится при │q│ < 1 и расходится при │q│≥1 МетодШенке S1=a S2=a+aq S3=a+aq+a 𝑞 2 e1(S2)= 𝑆1𝑆3−𝑆2 2 𝑆1+𝑆3−2𝑆2 = 𝑎 𝑎+𝑎𝑞 +𝑎𝑞 2 −(𝑎+𝑎𝑞 ) 2 𝑎+𝑎+𝑎𝑞 +𝑎𝑞 2) −2(𝑎+𝑎𝑞 ) = −𝑎 2 𝑞 −𝑎𝑞 +𝑎𝑞 2 = 𝑎 1−𝑞 2) 1 𝑛 ∞ 𝑛−1 = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 𝑛 = гармонический ряд = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ⋯ + 1 8 + ( 1 9 + ⋯ + 1 16 )эта сумма больше суммы представленной следующим образом Sn > 1 2 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 +. . + 1 16 Sn > 1 + 1 2 + 1 2 + ⋯ lim 𝑁→∞ [1 + 1 2 ( 𝑁 𝑛=1 𝑛 − 1)] 3)p=1 ряд превращается в гармонический и он расходится 4)p <1 , то член данного ряда больше соответствует членам гармонического ряда ,который расходится p>1 , то ряд сходится Теория о сходящихся рядах 1) a1+a2+…+an=S (3) αa1+ αa2+… αan= αS 2) если ряд (3) сходится ,то сходится и ряд a1+an2+2+… - называемым остатком исходного ряда и наоборот .Остаток получим первых n- членов ядов 3) b1+b2+…bn= (4) (a1+b1)+ (a2+b2)+….+ (an+bn)+….=S+ 4)Если ряд (3) ,его сумма равна S lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0- это необходимый признак сходимости , он же является достаточным признаком не расходимости ряда lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0- то ряд расходится Лекция 12 З Знакочередующиеся ряды. Ряд из абсолютных величин его членов гармоничен и он расхододится. 1+1/2+1/3+…=1/n+… Функциональные ряды: A0+a1z+a2z^2+…+an^n+…(4) An – коэффициент ряда, z – комплексная величина Основная теорема(1) Для степенного ряда существует число R (0<=R<беск) конечное или бесконечное оюладает следующими свойствами: 1) Ряд сходится абсолютно в открытом круге комплексное плоскости IzI 2) Число R определяется по формуле: R=1/lim 𝑎𝑛 1/беск =0, 1/0=беск – тогда если указанный верхний предел = 0, то R=беск, если он = беск, то R=0. Открытый круп IzI Замечание. Очевидно, что R единственно. Если для ряда (4) существует обычнй предел, то он равен верхнему пределу. Поятому R=1/𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 Доказательство теоремы (1) Пусть число R определяется формулой (5) В точке z ряд сходится. R=1/𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 Будем считать, что модуль z>0. На ряду с рядом введем второй ряд, состоящий из абсолютных величин членов данного ряда. Ia0I+Ia1Zi+IA2Z^2I+…+Ianz^nI+…(6) Общий член ряда (6) – Un=I Ianz^n I , n = 0,1,2,3…. Лекция 13 Разложение функций в степенные ряды Пусть функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема в интервале (- R;R)оси OX. Представим ее в виде разложения в ряд f(x)=C 0 +C 1 x + C 2 x 2 + … + C n x n , в том же интервале, который является интервалом сходимости степенного ряда. Коэффициент ряда вычислим через значение этой функции и ее производных в точке х=0 по следующей формуле: C n = 1 𝑛! f(0),подставив эти значения в степенной ряд получим что f(x)=f(0)+ 1 1! f`(0)x + 1 2! f``(0)x 2 … . Правая часть формулы называется рядом Маклорена. В более общем случае f(x)=f(0)+ 1 0! f`(х 0 ) + 1 1! f``(х 0 )(х-х 0 )+ … + 1 (𝑛+1)! f (n+1) (x 0 +k(x- x 0 ), 0 R n (x)= 1 (𝑛+1)! f (n+1) (x 0 +k(x-x 0 )-остаточный член ряда Тейлора. Таким образом мы имеем f(x)=Sn(x)+ Rn(x). В случае ряда Маклорена нужно положить х 0 =0. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функция f(x) представляла сумму ряда Тейлора(Маклорена) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0, при n стремящемся к бесконечности. Отметим что это условие выполнено, если все производные f(x) ограничены одним и тем же числом по модулю. Например: f(x)=sinx, ǀsinxǀ<=1,ǀcosxǀ<=1 f’(x)= cosx= sin(x+п/2) f’’(x)=-sinx=sin(x+п), f n’ (x)=sin(x+n*п/2) ǀsin(x+n*п/2)ǀ<=1, ряд Маклорена для f(x)=sinx сходится. Степенной ряд можно почленно интегрировать, поэтому можно вычислять приближенное значение определенного интеграла не прибегая к его вычислению. Лекция №14 Ряды Фурье Функция F(x), на промежутке [-pi;pi]называется тригонометрический ряд. а 0 2 + 𝑎 𝑛 sin 𝑛 𝑥 + 𝑏 𝑛 sin 𝑛 − 𝑥 𝑝𝑖 𝑝𝑖 𝑎 𝑛 = 1 𝑝𝑖 + 𝑓 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 𝑛 = 0,1,2 … 𝑝𝑖 −𝑝𝑖 𝑏 𝑛 = 1 𝑝𝑖 + 𝑓 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 𝑛 = 1,2 … 𝑝𝑖 −𝑝𝑖 При этом если x 0 точка разрыва функции f(x) первого рода, то сумма ряда Фурье, определяет функцию, совпадающую в точках непрерывности и с функцией f(x), а в точках разрыва первого рода, это сумма ряда 𝑓 𝑥 0 + 0 + 𝑓 𝑓 𝑥 − 0 2 Условимся также, что значение суммы ряда Фурье для функции f(x), на каждой из границ отрезков (-pi;pi) принимает значение 𝑓 −𝑝𝑖 + 0 + 𝑓(𝑝𝑖 − 0) 2 Теорема Дирихле Если функция f(x), на [-pi;pi] имеет конечное число экстремумов и непрерывна, за исключением, быть может, точек разрыва первого рода, то ряд Фурье для функции f(x) сходится. При этом легко видеть, что ряд Фурье является периодической функцией с периодом (2pi) Если f(x) задана на [-l;l], где l произвольное число, то привыполнений условий Дирихле на этом отрезке, указанная сумма представляется в виде ряда Фурье. Если f(x) четная, то еѐ ряд Фурье содержит только свободный член косинуса Если не чѐтная, то еѐ ряд Фурье содержит только синусы. Если f(x)задана на половине интервала [a;l], то для разложения в ряд Фурье нужно доопределить эту функцию до интервала [-l;0], лишь бы выполнились условия. А затем разложить в ряд Фурье, считая еѐ заданной на отрезке [-l;l] f(-x)=f(x) Не чѐтной на [-l;l], то есть f(-x)=- f(x) При этом коэффициенты определяются как указанно выше. Пример: Разложить в ряд Фурье [-pi;pi] функцию f(x)= pi+x Лекция №15 Двойные интегралы Пусть требуется найти объем V цилиндрического тела. Плоскость z=0, а область D ограничивается линиями y= φ (х), y= ψ (х). При этом a x b. Найдем приближенный объем этого тела. Для этого разобьем область Dна n-частичных плоскостей, площадями ΔS 1 , ΔS 2 ,…, ΔS n . Внутри каждой частичной области выберем произвольную точку ε i (x i , y i ) и найдем значения функции f в этих точках. Далее рассмотрим сумму всех площадок S n = 𝑓( 𝑛 𝑖=1 ε 𝑖 ) Δ𝑆 𝑖 = 𝑓 ε 1 Δ𝑆 1 + 𝑓 ε 2 Δ𝑆 2 + ⋯ + 𝑓 ε 𝑛 Δ𝑆 𝑛 . Эта сумма имеет значение объема n-ступенчатой фигуры. Этот объем приблизительно равен объему цилиндрического тела. Перейдем к пределу при 𝑛 → ∞ иmaxΔS n → ∞. В пределе получим двойной интеграл области D 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑆 𝐷 , который численно равен D. lim 𝑛→∞ 𝑓( 𝑛 𝑖=1 ε 𝑖 ) Δ𝑆 𝑖 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑆 𝐷 Для функции f(x,y) стоящей справа под знаком интеграла … стоящий слева существует и не зависит от разбиения области D на частичные области. В точках случая x=const, y=const частичные области превращаются в прямоугольники ΔS i = Δ𝑥 𝑖 ∗ Δ𝑦 𝑖 . При этом элемент площади dS=dx*dy и следовательно 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл. Рассмотрим область D интегрированием. Если D ограничена сверху графиком функции, а снизу y= φ (х) и прямыми, при этом a x b, то 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ψ (х) φ (х) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 справа в этой формуле стоит повторный или двукратный интеграл. Здесь сначала вычисляют внутренний интеграл, а затем внешний Иногда удобно менять порядок интегрирования. 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = 𝑓 𝑥, 𝑦 З (х) θ (х) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 с Если делается переходx=x(u, 𝜗), y=y(u,𝜗). При этом элемент S определитель 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝜗 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝜗 𝑑𝑢𝑑𝜗 I= 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝜗 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝜗 — определитель Якоби. 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝑓 𝑥(𝑢, 𝜗 𝑦(𝑢, 𝜗))𝐼𝑑𝑢𝑑𝜗 𝐷 y=x 2 , y=2- x 2 x 2 =2-y 𝑥 2 = 2 − 𝑥 2 ; 2𝑥 2 = 2; 𝑥 = ±1 (это точки пересечения абсциссы) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑥 2 2−𝑥 2 𝑑𝑥 1 −1 𝐷 Тройной интеграл Рассмотрим область Ω и функцию f(x,y,z) в этой области. Разобьем на n частей Δ 𝜗 1 , Δ 𝜗 2 ,…, Δ 𝜗 n и внутри каждой частичной области выберем точку i (x i ,y i ,z i ): 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) … n (x n ,y n ,z n ). Рассмотрим значение функции f в этих точках и составим 𝑓( 𝑛 𝑖=1 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑥 𝑖 )Δ𝜗 𝑖 – которая называется n-ой интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области Ω. Она дает приближенное значение массы сосредоточенное в Ω плотность которой = f(x,y,z) при пределе 𝑛 → ∞ и maxΔ𝜗 𝑖 → ∞. Получим массу сплошной среды в Ω. Если такой предел существует, то он называется тройным интегралом. А он существует для непрерывной функции f(x,y,z) и не зависит от способа разбиения области Ω и от выбора в них точек lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑥 𝑖 Δ𝜗 𝑖 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝜗 Ω 𝑛 𝑖=1 Если Ω разбивать на части: x= const, y=const, z=const, тогда элементарный объем dV=dxdydz Лекция №16 Криволинейный интеграл Рассмотрим в некоторой функции гладкую кривую АВ (А-начало, В-конец). τ τ – ед. вектор, касательный в каждой еѐ точке. В А Координаты кас. вектора служат направлением τ (cosα, cosβ, cosγ), где α,β,γ – углы, которые составляют с ортами i, j, k. Выделяют элемент dl. Будем считать его прямолинейным с координатами dl (dx,dy,dz). Так как дуга коллинеарнакас. τ, будем иметь dx= dlcosα, dy= dlcosβ, dz= dlcosγ. Пусть в пространство каждой точки область задана непрерывное векторное поле. F(x,y,z)= iF(x,y,z) + jF(x,y,z) + kF(x,y,z) f(x,y,z)=F * τ= P(x,y,z) cosα + Q(x,y,z) cosβ + R(x,y,z)cosγ. Функция непрерывна в каждой точке. Рассмотрим криволинейный интеграл по дугеAB: ∫fdl = ∫ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dl = ∫Pdx + Qdy + Rdz) (1) Разобьѐм дугу АВ на частичные дуги длиной Δli, внутри каждой из них выделяем точку ξi(x,y,z). n Σf (ξi) Δli – n-ая интегральная сумма для крив. интеграла 1-го рода. I=1 n→∞ maxΔli→0 Для непрерывной функции предел сущ. И даѐт крив. интеграл 1-го рода по линии АВ, стоящий в левой части (1). LimΣf (ξi) Δl = ∫ fdl. n→∞AB В правой части (1) стоит крив. интеграл 2-го рода. Он зависит от вектроного поля F, от выбора сис. коор. (α,β,γ). Крив. интеграл по замкнутой кон. наз. Циркуляцией векторного поля Fпо замкнутой кон. l, которая всегда обходится в + направлении. Область ограничения кривой находится слева. Физический смысл (1) в том, что эта работа силы F (P,Q,R) по перемещению точки ед. массы по кривой АВ. Св-ва интеграла 2-го рода: ∫P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz= -∫P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz BAAB Меняем местами А и В. В то же время интеграл 1-го рода не зависит от направления пути интегрирования. Остальные св-ва аналогичны св-ам опр. Интеграла. 1) Если кривая задана параметрически 2) x1<=x<=x2 ; y=y(x), z=z(x) x2 ∫fdl=∫ f(x,y,z) Z(x)√(1 + y^2 (x) + z^2 (x)dx) AB x1 Лекция №18 Формула Стокса. Формула Остроградского-Гауса. Рассмотрим плоскую поверхность S, опирающуюся на гладкий контур C. Формула Стокса: ɸρ(x;y;z)dx+Q(x;y)z/dy+K(x;y;z)dz= 𝛿𝑅 𝛿𝑦 − 𝛿𝑅 𝛿𝑧 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝛿𝑅 𝛿𝑧 − 𝛿𝑅 𝛿𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝛿𝑅 𝛿𝑥 − 𝛿𝑅 𝛿𝑦 𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑑𝑠 (1); Формула Остроградского-Гауса: 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑑𝑠 = ( 𝛿𝑃 𝛿𝑥 + 𝛿𝑄 𝛿𝑦 + 𝛿𝑅 𝛿𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (2) Элементы теории поля Пусть F(x;y;z) является вектором, определяющим векторное поле, т.е. является переменной точки пространства. Pcos(x;y)=[P(x;y;z)tgQ(x;y;z)+TR(x;y;z)]=dl=idx+jdy+kdx В левой части (1) стоит произведение kdl называемое скаляром divK= 𝛿𝑃 𝛿𝑥 + 𝛿𝑄 𝛿𝑦 + 𝛿𝑅 𝛿𝑧 Ротором векторного поля F называется векторное произведение Оператора Гамелтона на вектор F. 𝑟 0 𝑡𝐹 = 𝛻𝑥𝐹 𝑟 0 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝛿 𝛿𝑥 𝛿 𝛿𝑦 𝛿 𝛿𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 Формулу (1) можно переписать, как 𝐹𝑥𝑑𝑒= 𝑟 0 𝑡𝑃𝐷(1) (2) можно переписать, как 𝐹𝜆𝑛𝑑𝑙= 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛻 Векторное поле называется безвихревым если rotF=0 Условие безвихренности имеет вид: 𝛿𝑅 𝛿𝑦 − 𝛿𝑄 𝛿𝑧 = 0; 𝛿𝑃 𝛿𝑧 − 𝛿𝑅 𝛿𝑥 = 0; 𝛿𝑄 𝛿𝑥 − 𝛿𝑃 𝛿𝑦 = 0; Если поле безвихревое, то оно положительное т.е. существует такая скалярная функция ɸ(x;y;z), что ∇ɸ=F gradɸ=F 𝛿ɸ 𝛿𝑥 = 𝑃; 𝛿ɸ 𝛿𝑦 = 𝑄; 𝛿ɸ 𝛿𝑧 = 𝑅; gradɸ=i 𝛿ɸ 𝛿𝑥 + 𝑧 𝑗 𝛿ɸ 𝛿𝑦 + 𝛿ɸ 𝛿𝑧 ; Лекция №20. Двойные и тройные интегралы. Пусть D некоторая замкнутая ограниченная область, а z f (x, y) произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Потребуем также, чтобы граница этой области была кусочно-непрерывной, то есть состояла из конечного числа кривых вида y (x) или x (y) , где (x) и (y) непрерывные функции. Разобьем область D произвольно на n частей Di ( i 1, n ), таких что D1 D2 Dn D и Di Dj , i j . Обозначим Si площадь Di ( i 1, n ). В каждой области Di выберем произвольно точку ( , ) i i i M x y и составим сумму n i n i i Si S f x y 1 ( , ) . Сумма n S называется интегральной суммой для функции f (x, y) в области D . Диаметром d(D) области D называется наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим max ( ) 1 i i n d D . Если существует предел интегральной суммы n S при n и 0 , не зависящий ни от способа разбиения области D на части Di , ни от выбора точек Mi , то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D , и обозначается n i i i i n n n D D f M d S f x y dxdy S f x y S 1 0 0 ( ) ( , ) lim lim ( , ) . Функция f (x, y) при этом называется подынтегральной функцией, D – областью интегрирования, x, y – переменными интегрирования, dS (или dxdy ) – элементом площади. Функция f (x, y) , для которой в области D существует двойной интеграл, называется интегрируемой в области D . Отметим некоторые свойства двойного интеграла. 1) Если f (x, y) 1 в области D , то D D D dxdy dxdy S 1 , где SD – площадь области D. 2) Для любых постоянных , R D D D f x, y g x, y dxdy f x, y dxdy g x, y dxdy. 3) Пусть D1 D2 D и D1 D2 , тогда. 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy. Предположим, вначале, что функция f N интегрируема на прямоугольнике D . Отнесем плоскость, на которой находится область интегрирования D , к прямоугольной декартовой системе координат xOy , ориентированной таким образом, чтобы стороны прямоугольника были параллельны координатным осям. Поскольку f N интегрируема на прямоугольнике D , то двойной интеграл D f N dS не зависит от способа разбиения D . Поэтому разобьем область D прямыми, параллельными осям Ox и Oy на элементы Dij , представляющие собой прямоугольники со сторонами i i i 1 x x x , j j j 1 y y y , где a x0 x1 xn b , c y0 y1 ym d ; a,b и c, d – соответственно абсциссы и ординаты крайних сечений прямоугольника D . Учитывая, что в интегральной сумме точки ( , ) i j внутри прямоугольников Dij могут быть выбраны произвольно, положим i i x , j j y . Тогда N y x D f x y dxdy S j i ( , ) lim max 0 max 0 , где N nm – число прямоугольников Dij в области D ; n i m j N i j i j S f x y x y 1 1 ( , ) – интегральная сумма. Перепишем интегральную сумму в виде n i m j N i i j j S x f x y y 1 1 ( , ) . Если теперь в этом выражении перейти к пределу при max y j 0 , то получим n i i i x N y x D f x y dxdy S F x x i j i 1 max 0 max 0 max 0 ( , ) lim lim , где ( ) i F x – значения функции d c F(x) f (x, y)dy в точках i x , i 1,n. Переходя к пределу в правой части последнего выражения при max xi 0 , находим b a d c b a d c N y x D f x y dxdy S f x y d y d x d x f x y d y j i ( , ) lim ( , ) ( , ) max 0 max 0 . Аналогично можно показать, что d c b a d c b D a f (x, y)dxdy f (x, y)dx dy dy f (x, y)dx . Интегралы в правых частях двух последних формул называются повторными и позволяют свести задачу о вычислении двойного интеграла к последовательному вычислению однократных интегралов. Область D называется правильной или элементарной по отношению к оси Oy ( Ox ), если прямая, параллельная оси Oy ( Ox ) и проходящая через любую внутреннюю точку области D , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках. Пусть функция f (x, y) интегрируема на правильной по отношению к оси Oy области D , ограниченной прямыми x a, x b и графиками функций ( ) 1 y x и ( ) 2 y x , причем x [a,b] ( ) ( ) 1 2 x x . Тогда двойной интеграл от функции f (x, y) по данной области D равен b a x D x f x y dxdy dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) . Одним из эффективных методов вычисления двойных интегралов является метод замены переменных. Пусть f (x, y) – непрерывная функция, определенная в замкнутой ограниченной области D с кусочно-гладкой границей . Рассмотрим криволинейные координаты u и v на плоскости xOy . Тогда отображение u u x, y , v v x, y , x, y D преобразует область D в область * D на плоскости uOv . Тогда формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид * , ( , ), ( , ) [ ( , ), ( , )] D D f x y dxdy f x u v y u v J x u v y u v dudv, где 0, , * , , [ , ] u v D y y x x u v x y J x y u v u v – якобиан преобразования. Применяя эту формулу, например, в полярной системе координат , , можно записать * , cos , sin D D f x y dxdy f d d . Площадь плоской области D в этой криволинейной системе координат определяется формулой * D D dxdy d d . Пусть T некоторая замкнутая ограниченная область в 3 R , а u f (x, y,z) произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Разобьем область T произвольно на n частей Ti ( i 1,n ), таких что T1 T2 Tn T и Ti Tj , i j . Обозначим Vi объем Ti ( i 1,n ). В каждой области Ti выберем произвольно точку ( , , ) i i i i M x y z и составим сумму n i n i i i Vi S f x y z 1 ( , , ) . Сумма n S называется интегральной суммой для функции f (x, y,z) в области T . Обозначим max ( ) 1 i i n d T . Если существует предел интегральной суммы n S при n и 0 , не зависящий ни от способа разбиения области T на части Ti , ни от выбора точек Mi , то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y,z) по области T , и обозначается n i i i i i n n n T T f M d V f x y z dxdydz S f x y z V 1 0 0 ( ) ( , , ) lim lim ( , , ) . Функция f (x, y,z) при этом называется подынтегральной функцией, T – областью интегрирования, x, y,z – переменными интегрирования, dV (или dxdydz ) – элементом объема. Функция f (x, y,z) , для которой в области T существует тройной интеграл, называется интегрируемой в области T . Отметим некоторые свойства двойного интеграла. 1) Если f (x, y,z) 1 в области T , то T T T dxdydz dxdydz V 1 , где VT – объем области T . 2) Для любых постоянных , R T T T f x, y,z g x, y,z dxdydz f x, y,z dxdydz g x, y,z dxdydz . 3) Пусть T1 T2 T и T1 T2 , тогда 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) T T T f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Область 3 T R называется правильной или элементарной по отношению к оси Oz ( Oy или Ox ), если прямая, параллельная оси Oz ( Oy или Ox ) и проходящая через любую внутреннюю точку области T , пересекает границу S этой области не более, чем в двух точках. Область T называется простой, если еѐ можно разбить на конечное число элементарных областей. Пусть функция f (x, y,z) непрерывна в правильной по отношению к оси Oz области T , ограниченной снизу и сверху поверхностями ( , ) 1 z z x y и ( , ) 2 z z x y , причем M(x, y) D ( , ) ( , ) 1 2 z x y z x y , и ограничена с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости xOy , является область D xOy . Тогда тройной интеграл от функции f (x, y,z) по данной области T равен ( , ) ( , ) 2 1 ( , , ) ( , , ) z x y T D z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz. Если правильная область D , ограничена прямыми x a, x b и графиками функций ( ) 1 y y x и ( ) 2 y y x , причем x [a,b] ( ) ( ) 1 2 y x y x , то тройной интеграл от функции f (x, y,z) по области T равен ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( , , ) ( , , ) z x y z x y y x y x b T a f x y z dxdydz dx dy f x y z dz. Одним из эффективных методов вычисления тройных интегралов является метод замены переменных. Пусть f (x, y,z) – непрерывная функция, определенная в замкнутой ограниченной области T , ограниченной кусочногладкой поверхностью. Введем криволинейные координаты u , v , w , связанные с прямоугольными декартовыми координатами x , y , z взаимно обратными отображениями x x u, v, w , y y u, v, w , z z u, v, w , u, v, w V *, u u x, y, z , v v x, y, z , w w x, y, z , x, y, z V . Тогда можно записать формулу замены переменных в тройном интеграле: * , , ( , , ), ( , , ), ( , , ) [ , , ] V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J x y z dudvdw, где 0, , , * , , , , [ , , ] u v w V z z z y y y x x x u v w x y z J x y z u v w u v w u v w – якобиан преобразования. В частном случае для вычисления объема тела V применяется формула * [ , , ] V V v dxdydz J x y z dudvdw. Очевидно, что в круговой цилиндрической системе координат , ,z формула замены переменных и выражение для объема v тела V имеет вид * , , cos , sin , V V f x y z dxdydz f z d d dz, V V v dxdydz d d dz * , а в сферической системе координат r, , – * 2 , , sin cos , sin sin , cos sin V V f x y z dxdydz f r r r r drd d , * 2 sin V V v dxdydz r d Лекция №21 Если f(z)=u(x,y)+iu(x,y) в точке z=x+iy, то в этой точке существует частная функция 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 условие Коши-Ришана Условия К-Р являются необходимостью условия диф-ия функции f(z) в точку z=x+iy И обратно если частные производной непрерывны в точке z=x+iy, условия К-Р выполнены, то есть функция w=f(z) диф-ма в точке z=x+iy. Производная f(z)=u(x,y)+iv(x,y) выражается из 4-3 части функции yiv по формуле 𝜕𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 −𝑖 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Таблица производных от элементарных функций: 1.f(z)=y+ix u=y, v=x ∂y ∂x =0 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =1 𝜕𝑣 𝜕𝑥 =1 (1 условие К-Р выполнено) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 (2 условие 𝜕𝑢 𝜕𝑦 ≠ − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 1 ≠ −1) (2 условие не выполнено) Понятие конфорного отображении . Пусть дана аналит. w(z) в области D. В области D переменное определение значение z=x+iy В точке (xy) на плоскости OX y опорная точка (u, v) на плоскости OY v. Если точка (xy) на плоскости OXY описывает некоторую линию γ на D (γ принадлежит D), то точка uv на плоскости OUV описывает некоторую линию γ' и эту линию называют отображением линии на плоскость OUV с помощью аналитической функции w=f(x) Рассмотрим рис.1 и рис.2 Возьмѐм на γ точку (x0y0), т.е. z0=x0+iy0 на линии γ' точка (u0 v0), то есть w0 = u0 +iv0 Проведѐм от γ касательную l к точке (x0 y0). От γ' проведѐм касательную l' к точке (u0 v0). См. рис.1 и рис.2 Пусть α - угол на которую нужно провести прямую l чтобы еѐ направление совпадает с направлением l' (угол между первоначальным отображением и отображением направлении) В теории аналитическая функция доказывает, что α аргумент производной f'(z0) при условии, что f'(z0) ≠ 0, α=arg f'(z0). Рассмотрим другую линию (x0 y0) и еѐ отображение, линию γ'' проходящую 4 - 3 точку (u0 v0). Пусть l - касательная к γ в (x0 y0) и l' - касательная к γ' в (u0 v0). Для того чтобы направление с l совпадало с направлением l' нужно и в этом случае повернуть на тот угол α, т.к =arg f'(z0). Проведѐм L 4-3 (x0 y0) и L' 4-3 (u0 v0) и обозначить углыψ (угол между L и OX) и ψ' (угол между L и OY) , η (угол между l и OX) и η ' (угол между l и OY). η- η'= α, ψ- ψ'= α => ψ- ψ'= η- η' ψ- η=β, ψ'- η'= β' Угол между L и l' и l и L - один и тот же. Таким образом 2 произвольные линии пересекаются в точке (x0 y0) отображается в 2 соответственно линии пересекаются в точке u0v0 так что угол βмежду касательными и данной линии и их отображениями один и тот же. Рассмотрим другую кривую проходящую через еѐ отображении (рис.3 и рис.4). Из рисунков видно, что | f'(z0)| предел отношения расстояния между отображениями точками w0+Δ'w0 и w0. К первоначальным точкам z0-Δ'z0 и z0, таким образом | f'(z0)| является вершиной искажения масштаба в точке z0 при отображении с помощью функции w=f(x) . Итак, если бесконечно малый Δ к плоскости OXY отображается с помощью функции w=f(z) на плоскость OUV , то получится бесконечно малый Δподобно первоначальному в следствие равенства соответствующих углов и в пределах пропорциональности углов. Итак, отображением с помощью аналитической геометрии w=f(z) называют конфорным отображением . Лекция №22. Интеграл по комплексным переменным. Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг. Рассмотрим комплексную функцию, непрерывную в области D. Пусть ℽ - произвольная гладкая линия, лежащая в областиD. Рассмотрим дугу этой линии с началом в точке Z и концом в точке Z 0 Разобьѐм дугу на n частей точками z 0 ,z 1, …,z n-1 ,z n Рассмотрим некоторую сумму: S(n)=f(z 0 )*dZ 0 +f(z 1 )*dZ 1 + f(z n-1 )*dZ n-1 где dZ 0 =Z 1 -Z 0 …dZ n =Z n -Z n-1 Пусть ℷ максимальное значение dZ k (k=0;1;2;…n-1); Если nстремится к бесконечности, а ℷ к 0, то S n имеет предел. Его называют интегралом функции f(Z) по дуге ℽ , заключѐнной между точками Z 0 и Z. dZ=dX+idY; Тогда указанный интеграл сводится к двум криволинейным интегралам по формуле: 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑑𝑋 − 𝑉 𝑥, 𝑦 𝑑𝑌 + 𝑖 ∗ 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑑𝑌 + 𝑉 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 ℽ ℽ 𝑑 Пусть ℽ - кусочно-гладкая дуга, состоящая из гладких кусков ℽ 1 , ℽ 2 ,…, ℽ n Еслиf(z) – аналитическая функция в области D, то значение интеграла взято вдоль производной кусочно-гладкой линии ℽ с областью D, не зависит от ℽ и определяется положением начальной и конечной точек этой линии. Для всякой аналитической функции F(z) в области D, интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контору в области Dравен 0. Это и есть теорема Коши. F(z)= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑧 𝑧0 За путь интегрирования принимается производная кусочно- гладкой линии ℽ в области D, соединяющей точки zbz 0 Функция F(z) предполагается, как аналитическаяв области D. При этом можно показать, что F`(z)=f(z) и функция F(z), производная которой называется первообразной по отношению к f(z). Если известна одна из первообразных F(z), то все остальные получаются по функции F(z)+C, где С-производная постоянная. Это выражение называется неопределѐнным интегралом от f(z). Так же, как и для определѐнного интеграла функции действительной переменной имеет место формула Ньютона-Лейбница: Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления. Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство Для получения первообразной применяются обычные формулы интегрирования. Рассмотрим п+1 замкнутую кусочно-гладкую линию ℽ :ℽ 0 + ℽ 1 +….+ ℽ п такие, что находящиеся из ℽ лежат вне остальных и все одновременно внутри ℽ 0 и вне: ℽ 1 , ℽ 2 , ℽ n представляют собой (п+1) – связанную область D. Пусть f(z) аналитическая лежит в области D, включая значения на контурах ℽ 0 , ℽ 1 , ℽ 2 , ℽ п . В этом случае выполняется равенство: 𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑛 𝑑2 𝑑1 ℽ0 Вычислить 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 АВ где f(z)=(y+1)-ix, а АВ – отрезок прямой, соединяющий точки Z A =1 и Z B =I Решение: Z=x+iy; Dz=dx+idy; F(z)dz=(y+1)dx+xdy+i((y+1)dy-xdx) ПриэтомX A =1; Y A =0; (Z A =1+i*0); X B =0; Y B =1; (Z B =0+i*1) Отсюда получаем: 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑦 + 1 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝐴𝐵 АВ + 𝑖 𝑦 + 1 𝑑𝑦 − 𝑥𝑑𝑥 𝐴𝐵 = 𝑦 + 1 𝑥 0 𝑥=0 𝑦=1 𝑥=1 𝑦=0 + 𝑥𝑦 0 𝑥=0 𝑦=1 𝑥=1 𝑦=0 + 𝑖(1 2 𝑦 + 1 𝑦 + 1 ) 0 − 1 2𝑥 𝑥=0 𝑦=1 𝑥=1 𝑦=0 ∗ 𝑥 0 = 0 − 1 + 0 + 𝑖( 2 − 1 2 − 0 + 1 2 = −1 + 2𝑖 𝑥=0 𝑦=1 𝑥=1 𝑦=0 𝑦 = 1 + 𝑖𝑦 = 1 + 𝑖 𝑥 + 𝑖𝑦 = 1 − 𝑖𝑧 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 1 − 𝑖𝑧 𝑑𝑧 = (𝑧 − 1 2 ∗ 𝑖 ∗ 𝑧 ∗ 𝑧) 0 = −1 + 2𝑖 𝑖 1 𝑖 1 𝐴𝐵 |