Математика. Лекция 1 Множества и отображения

• Название: Лекция 1 Множества и отображения
• Анкор: Математика
• Дата: 13.12.2022
• Размер: 6.9 Mb.
• Имя файла: Lm1.pdf
• Тип: Лекция; #843923
• страница: 8 из 13

§4. Однородные уравнения.
Определение. Уравнение
)
,
(
y
x
f
y


(1) называется однородным, если
)
,
(
y
x
f
может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е.








x
y
y
x
f
)
,
(
(2)
Таким образом, однородное уравнение имеет вид:









x
y
y
(3)
Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл:
 






C
x
ln
u
u
du
x
y
u
(4)
Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что
 
0



u
u
. Рассмотрим тот случай, когда
 
0



u
u
. Здесь имеются две возможности. а)
u
u


)
(
Тогда
x
y
x
y








и уравнение (3) принимает вид:
x
y
y


Это уравнение с разделяющимися переменными
)
(
ex
y
x
dx
y
dy


и здесь никаких преобразований делать не нужно.

б) уравнение
0
)
(



u
u
удовлетворяется лишь при определенных значениях
k
u
u
u
u
,
,
,
:
1 0
. В этом случае могут быть потеряны решения
k
i
x
u
y
i
,
1
,


. Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.
Пример. Решить уравнение
x
y
x
y
y



2
Решение.
Уравнение однородное.
Полагаем
x
u
y


u
x
u
u
u
u
x
u
2
;
2






Если
0

u
, то
x
dx
u
du

2
. Отсюда


2
C
x
ln
u
;
C
x
ln
u






2
C
x
ln
x
x
u
u




– общий интеграл.
Может быть потеряно решение
0

u
или
0

y
Действительно,
0

y
есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно
0

y
есть особое решение.
Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.
Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем
(3)













p
ny
mx
c
by
ax
y
(6)
(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам






t
x
,
u
y
; выбирая

и

такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента

в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.

§5. Линейные уравнения
Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида:
)
x
(
q
y
)
x
(
p
y



(1), где
)
(x
y
– неизвестная функция аргумента.
Уравнение (1) линейно относительно y и y

Если
0

)
x
(
q
, то уравнение (1) примет вид:
0



y
)
x
(
p
y
(2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.
Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).
А. Интегрирование линейного однородного уравнения
Рассмотрим линейное однородное уравнение
0



y
)
x
(
p
y
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть
0

y
, тогда
0


dx
)
x
(
p
y
dy
(3)
Отсюда общий интеграл
 
С
dx
x
p
y
dy




или
 



dx
x
p
C
y
ln





dx
)
x
(
p
e
e
y
dx
)
x
(
p
C
C
e
заменяем на
0

C





dx
)
x
(
p
e
C

y
Но C


есть любое число, кроме нуля. Положим
C
ˆ
C



,
C
ˆ
,
e
C
ˆ
y
dx
)
x
(
p
0




Cˆ – произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции
0

y
, которая является решением уравнения

(2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде:



dx
)
x
(
p
e
C
y
(5), где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.
Пример. Написать общее решение уравнения
0 2



y
x
y
Решение. Имеем
2
x
)
x
(
p

. Поэтому


3 3
x
dx
)
x
(
p
(произвольную постоянную можно считать = 0). И
3 3
x
dx
)
x
(
p
e
C
e
C
y





– общее решение.
В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y



(1)
Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим




dx
x
p
e
x
u
y
)
(
)
(
(6)
Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция
)
(x
u
– новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по
(6), в (1).






)
(
)
(
exp
)
(
)
(
exp
)
(
)
(
exp
x
q
dx
x
p
u
x
p
dx
x
p
u
x
p
dx
x
p
u
y
y





























или


)
(
)
(
exp
x
q
dx
x
p
u




Отсюда
C
dx
e
)
x
(
q
u
;
e
)
x
(
q
u
dx
)
x
(
p
dx
)
x
(
p








Следовательно,








dx
e
)
x
(
q
C
e
)
x
(
y
dx
)
x
(
p
dx
)
x
(
p
(7)
Это и есть общее решение уравнения (1). Оно содержит все решения.
Особых решений нет.
Рассмотрим вопрос об отношении частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию
0 0
y
y
x
x


(8)
Теорема. Решением задачи Коши
0 0
),
(
)
(
y
y
x
q
y
x
p
y
x
x





служит функция:



d
e
)
(
q
e
e
y
)
x
(
y
x
x
du
)
u
(
p
du
)
u
(
p
du
)
u
(
p
x
x
x
x
x











0 0
0 0
(9)
Замечания:
1.
Формулу (9) можно записать короче, если


x
x
du
u
p
e
0
)
(
ввести под интеграл:










d
e
q
e
y
x
y
x
x
du
u
p
du
u
p
x
x
x
0 0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
(10)
2.
Если в формуле (10)
0
y
считать произвольной постоянной (при этом значение
0
x
безразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).
3.
Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).
Примеры:

1.
Найти общее решение уравнения
0
,
cos
1




x
x
x
y
x
y
Решение.
Здесь
x
x
x
q
x
x
p
cos
)
(
,
1
)
(


Вычислим
 




x
ln
dx
x
dx
x
p
1
(С можно положить = 0).
Положим
 
 
 
 
x
x
u
e
x
u
e
x
u
y
x
ln
dx
x
p






. Так как
0

x
, то
 
x
x
u
y

Подставляем в уравнение
x
x
cos
x
x
x
u
x
u






4 1
2
Отсюда






C
x
sin
dx
x
cos
)
x
(
u
,
x
cos
u
Следовательно, общее решение будет
 
)
C
x
(sin
x
x
y


1 2. Найти решение уравнения
1 2



xy
y
, удовлетворяющее условию
0
)
0
(

y
Решение.
Здесь
1
)
(
,
2
)
(



x
q
x
x
p










2
)
(
)
(
)
(
,
2
)
(
)
(
2
x
dx
x
p
e
x
u
e
x
u
x
y
x
dx
x
dx
x
p
2 2
2 2
,
1 2
2
x
x
x
x
e
u
e
u
x
e
x
u
e
u



















x
t
x
C
dt
e
C
dx
e
x
u
0

)
(
2 2
Общее решение











x
t
x
C
dt
e
e
x
y
0

)
(
2 2
Найдем
C

из начального условия:
0


0 0
0 0
2












C
C
dt
e
e
t

Частным решением, удовлетворяющим условию
0
)
0
(

y
, будет



x
t
x
dt
e
e
x
y
0 2
2
)
(
Теорема. (о структуре решения линейного неоднородного уравнения)
Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из суммы: какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.
§6. Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
n
y
x
q
y
x
p
y
)
(
)
(



,
(1) где n – любое число, не обязательно целое.
При
0

n
уравнение
Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При
1

n
оно превращается в линейное однородное уравнение.
Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при
0

n
и
1

n
).
Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.
Теорема. Пусть
0

n
и
1

n
. Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою
n
y
z


1
сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции
 
x
y
две неизвестные функции
 
x
u
и
 
x
v
, такие, что
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
y


(7)
Подставляя это в уравнение (1), получим:








n
y
n
n
y
y
v
u
x
q
v
u
x
p
v
u
v
u
)
(
)
(






(8)
Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.
Для того, чтобы определить конкретные функции
 
x
u
и
 
x
v
, необходимо задать еще одну зависимость между
 
x
u
и
 
x
v
, причем вообще говоря, произвольную.
Но проще всего положить
0
)
(



v
x
p
v
(9)
Тогда уравнение (8) примет вид:
)
(
)
(
x
v
u
x
q
v
u
n
n




или, считая
0
)
(

x
v
(или, что то же,
0

y
)
n
n
u
x
u
x
q
u





)
(
)
(
1
(10)
Так как
 
x
v
есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным:



dx
x
p
e
x
v
)
(
)
(
(11)
Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную
1

C
. Это можно делать, так как за функцию
 
x
v
мы можем взять любое решение уравнения (9).
Итак,
 
x
v
известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения
 
x
u
будет с разделяющимися переменными (считаем
0
)
(

x
u
).
(12)
Отсюда получаем
 
x
u
:







C
dx
x
v
x
q
n
x
v
n
n
)
(
)
(
)
1
(
)
(
1 1
или


n
n
C
dx
x
v
x
q
n
x
u







1 1
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
(13)
Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения
Бернулли



n
n
dx
x
p
C
dx
x
v
x
q
n
e
x
y









1 1
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
Такой способ решения годится и для и
1

n
. В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно:


dx
x
q
e
C
x
u
)
(
)
(
, где С – произвольная постоянная.
Пример.
y
x
y
y
x
2 4



или
y
x
y
x
y



4
Это уравнение Бернулли. Здесь
2 1
4




n
,
x
)
x
(
q
,
x
)
x
(
p
Преобразуем уравнение, разделив его на y :
x
y
x
y
y



4
Положим
y
z

, тогда
z
y
y
y
y
z






2
,
2
Следовательно,
x
z
x
z



4 2
или
2 2
x
z
x
z



Отсюда







dx
e
x
e
e
C
z
dx
x
dx
x
dx
x
2 2
2 2





x
ln
x
x
C
x
dx
x
x
C
z
2 2
2 2
2 1
2
и
0 2
1 2
2 2
2










y
,
x
ln
x
x
C
z
y
– особое решение.