Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
§ 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 2.1. Признаки сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами: ; 3 2 1 n a a a a (1) 3 2 1 n b b b b (2) Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство n n a b и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, если n n a b и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1). Пусть n S и n Q соответственно частичные суммы рядов (1-2), а Q сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем n n n n S Q S Q Q Так как n S и ограничена, то lim n n S S , т.е. ряд (1) сходится. Аналогично доказывается и вторая часть признака. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 n n Сравним с членами ряда 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 n . Начиная с 3 n , имеем 2 1 3 3 n n n . Так как ряд 1 1 3 n n сходится 1 3 1 q , то данный ряд также сходится. На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего. Предельный признак сравнения. Если для двух рядов (1-2) с положи- тельными членами выполняется условие lim n n n a const b ( ; 0) , то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд 1 1 sin n n . В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд 1 1 n n , который является расходящимся. Тогда 0 1 sin 1 sin lim замена : lim 1, 1 n x x n x n x n а, следовательно, наш ряд расходится. Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщѐнный гармонический ряд 1 1 p n n , который, как будет показано ниже, сходится при 1 p и расходится при 1 p . 2.2. Признак Даламбера Теорема 1. Пусть для ряда с положительными членами 1 n n a сущест- вует конечный или бесконечный предел l a a n n n 1 lim , тогда: 1. Если 1 l ряд сходится; 2. Если 1 l ряд расходится; 3. Если 1 l ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования. Вначале докажем пункт 1 . Из определения предела следует: 0 : N n N выполняется l a a n n 1 или l a a l n n 1 . Если 1 l , то можно указать такое , для которого выполняется 1 l q и тогда 1 n n a q a . Таким образом, n N выполняются равенства: 1 2 2 1 3 3 2 ; ; ; N N N N N N N N a qa a qa q a a qa q a . (1) Из формул (1) следует, что ряд 1 1 n n N n N n a a q сходится ( 1) q Тогда по признаку сравнения сходится и ряд 1 n n a Аналогично доказывается и случай 2 . Здесь имеем : N n N , и выполняется неравенство 1 1 n n a a , т.е. нарушается необходимый признак сходимости, следовательно, ряд расходится. Пример 1. Исследовать сходимость ряда 1 ! 3 n n n Вычислим предел 1 1 3 ! 3 ! 3 lim lim lim lim 0 1 ряд сходится. 3 ( 1)! ( 1) ! ( 1) n n n n n n n n a n n a n n n n Пример 2. Исследовать сходимость ряда 1 2 ! n n n n n Вычислим предел 1 1 1 ( 1) 2 ! 1 ( 1) 1 1 lim lim lim lim 1 1 2 ( 1)! 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n a n n n e a n n n n т.е. ряд расходится. 2.3. Радикальный признак Коши Аналогично можно доказать следующую теорему. Теорема 2. Пусть для ряда с положительными членами 1 n n a сущест- вует конечный или бесконечный предел l a n n n lim , тогда: 1. Если 1 l ряд сходится; 2. Если 1 l ряд расходится; 3. Если 1 l ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования. Пример 3. Исследовать сходимость ряда 1 3 3 2 n n n n . Вычислим предел 3 1 3 1 lim lim lim 1 ряд сходится. 2 3 2 3 3 n n n n n n n a n n Пример 4. Исследовать сходимость ряда 2 1 1 n n n n Вычислим предел 1 1 lim lim 1 1 ряд сходится. n n n n n a e n 2.4. Интегральный признак Коши Пусть дан ряд с положительными членами 1 n n a . Заменим в общем члене ряда ( ) n a f n натуральную переменную п вещественной переменной х . Получим функцию ( ) f x , для которой 1 2 (1) ; (2) ;...; ( ) ; n f a f a f n a . Исходя из геометрического смысла определённого интеграла, можно доказать следующую теорему. Теорема 3. Если функция ( ) f x непрерывная и невозрастающая на [ ; ) a , тогда: 1. Если интеграл 1 ( ) f x dx сходится, т.е. 1 ( ) f x dx , то ряд сходится; 2. Если интеграл 1 ( ) f x dx расходится, то ряд расходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд 1 1 p n n . Рассмотрим функцию 1 ( ) p f x x . Для нее имеем 1 1 1 1 1 , если 1; 1 , если 1; 1 , если 1; , если 1. ln , если 1 p p p x p p dx p p x p x p Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится, если 1 p и расходится, если 1 p . Легко убедиться, что признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости этого ряда. § 3 : Знакопеременные ряды 3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеется бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов. Определение 2. Знакопеременный ряд, члены которого имеют чере- дующиеся знаки, называется знакочередующимся рядом. Такой ряд имеет вид 4 3 2 1 a a a a , где все 0 n a Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде члены ряда удовлетворяют условиям: 1. 3 2 1 a a a ; 2. 0 lim n n a , то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена. Рассмотрим чётные частичные суммы такого ряда 2 1 2 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) n m m m m S S a a a a a a a a a . Все члены в скобках положительные, следовательно, 2 0 m S и 2m S с ростом т Теперь запишем эту сумму так 2 1 2 3 4 5 2 ( ) ( ) ... m m S a a a a a a Тогда 2 1 m S a , т.е. сумма ограничена сверху и при этом 2m S . Тогда по свойству предела она имеет предел 2 lim m m S S , причем 1 0 S a . Покажем теперь, что и 2 1 lim m m S S . Так как 2 1 2 2 1 m m m S S a , то переходя к пределу в этом равенстве получим 2 1 2 2 1 lim lim lim m m m m m m S S a S , ч.т.д. Замечание 1. Ошибка, совершаемая при замене S на n S не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е. 1 n n a , так как отброшенные члены также образуют знакочередующийся ряд. Пример 6. Ряд 4 1 3 1 2 1 1 сходится, так как удовлетворяет усло- виям теоремы Лейбница. При этом приближённое вычисление его суммы будет вычисляться с точностью 1 1 n n . Пример 7. Исследовать сходимость ряда 17 1 10 1 5 1 2 1 Замечаем, что 2 1 1 n a n и тогда по теореме Лейбница 1. 17 1 10 1 5 1 2 1 ; 2. 0 1 1 lim 2 n n , т.е. ряд сходится. 3.2. Абсолютная и условная сходимость Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд. Обратное, вообще говоря, неверно. Обозначим суммы положительных и отрицательных членов частичной суммы соответственно (1) n S и (2) n S . Тогда частичная сумма данного ряда (1) (2) n n n S S S , (2) а частичная сумма ряда, образованного из абсолютных величин членов ряда будет равна (1) (2) n n n Q S S . (3) По условию теоремы существует предел (3), следовательно, существуют пределы (1) lim n n S и (2) lim n n S Отсюда следует, что будет существовать и предел (2), ч.т.д. Замечание 2. Обратное не всегда имеет место. Так, в примере 6 ряд сходится, однако ряд, составленный из положительных величин членов ряда, является расходящимся как гармонический. В примере 7 ряд сходится, сходится и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, в чём легко убедится, сравнив его с обобщенным гармоническим ( 2 1) p . Определение 3. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой ряд называется условно сходящимся. Таким образом, в примере 6 ряд является условно сходящимся, а в примере 7 ряд абсолютно сходящийся. Замечание 3. Следует отметить, что разделение рядов на абсолютно и условно сходящиеся является существенным, что видно из следующих свойств: 1. Если ряд сходится абсолютно, то он остаётся абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма не зависит от порядка его членов. 2. Если ряд сходится условно, то какое бы не было число А , в том числе и бесконечность, можно переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась равной А 3. Если два ряда сходятся абсолютно, то их произведение также абсо- лютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм этих рядов. Для условно сходящихся рядов свойство 3 не выполняется. Лекция №1 Перестановки, размещения, сочетания. При решении задач по теории вероятности используется раздел дискретная математика, а именно раздел комбинаторика. Определение 1. Перестановками из nэлементов называются соединения, содержащие все nэлементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов. Число перестановок из n элементов обозначают 𝑃 𝑛 𝑃 𝑛 = n! = n· (n-1) ·…·2·1 0! = 1 Определение 2. Размещениями из nэлементов по mв каждом называют такие соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из заданных nэлементов и отличающихся одно от другого либо порядком их расположения либо самими элементами. Число размещений из n элементов по mобозначают 𝐴 𝑛 𝑚 𝐴 𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑛−𝑚 ! = 𝑛 𝑛−1 ·…· 𝑛−𝑚 +1 𝑛−𝑚 ! 𝑛−𝑚 ! = n n − 1 · … · n − m + 1 Определение 3. Сочетаниями из nэлементов по mназываются соединения, в каждое из которых входит mэлементов из заданных nэлементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из nэлементов по mобозначают С 𝑛 𝑚 С 𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑛−𝑚 !𝑚! Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Определение 1. Классической вероятностью P(A) события A называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию A, к общему числу случаев, т.е. P(A)= 𝑚 𝑛 где P(A) - вероятность события A, m - число случаев, благоприятствующих событию A, n- общее число случаев. Свойства вероятности события Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Теорема сложения и умножения вероятностей. Определение 1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Если и – совместные события, то их сумма или обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе. Если и – несовместные события, то их сумма означает наступление или события , или события . Определение 2. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: или Если событие A не зависит от события B, то событие B не зависит от события A. При этом вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: - для двух событий; - для событий. Условная вероятность. Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается или Теорема 1. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событиеуже наступило, т.е. Р(АВ) = Р(А) Р А (В) или Р(АВ) = Р(В) Р В (А) Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А) Р(В) |