Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
Полярная система координат Рассмотрим плоскость в которой задан луч, называемый полярной осью. Положение точки М определяется расстоянием от точки О, т.е. 𝑟 = ОМ = ОМ и угол 𝜑 между полярной осью и ОМ 𝜑 = (ОМ ; ОХ ) Если ввести Де-Картову систему координат приняв полярную ось за положительное направление оси абсцисс, а перпендикулярную ей прямую исходящую из полюса О принять за ось ординат ОУ, то согласно рис.2 ОА=х АМ=у, что видно из ▲ОАМ. Из ▲ОАМ видно, что х= * cosφ, у= * sinφ Обратное соотношение: = х 2 + у 2 ; 𝜑=arctg у х Нормальное уравнение прямой на плоскости х*cos 𝛼+y*sin𝛼=p в полярных координатах примет вид: cosφ* cos𝛼+ sin𝛼* sinφ=p cos(φ-𝛼)=p В полярной системе координат уравнения второго порядка примут вид: 1. Окружность =R, центр О, радиус R 2. Эллипс примем за полюс левый фокусF1, а финальную ось симметрии примем за полярную ось, направленную в сторону противоположную от ближайшей вершины, т.е. полярная ось-есть ось абсцисс. В этом случае r = 𝑃 1−𝑒𝑐𝑜𝑠𝜑 , e<1 p= 𝑏 2 𝑎 3. Гипербола.аналогично примем за полюс правый фокус F2. Тогда полярная ось есть факальнаяось симметрии направленная в сторону противоположную ближайшей вершине. r = 𝑃 1−𝑒𝑐𝑜𝑠𝜑 , e<1 p= 𝑏 2 𝑎 4.полюсом является фокусF, полярная ось **** оси абсциссr = 𝑃 1−𝑐𝑜𝑠𝜑 , e=1 p-параметр параболы Все кривые второго порядка выражаются одной и той же формулой r = 𝑃 1−𝑒𝑐𝑜𝑠𝜑 e>1-эллипс e<1-гипербола e=1-парабола Преобразования координат на плоскости Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно выбранной системы координат Первообразная координат представляет собой: 1)Перенос начала координат (смещение) Y 𝑦 1 𝐿 1 М 𝐿 2 𝑥 1 𝐾 2 𝐾 1 x ЛЕКЦИЯ №19 Плоскость. Нормальное уравнение плоскости. OKперпендикулярен П (плоскость) Вектор |OK| = pOK/p = n–единичный вектор (перпендикулярен П) Вектор n (cosα, cosβ, cosγ) α= (Между вектором nи ox) β = (Между вектором nи oy) γ = (Между вектором nи oz) Вектор r (x, y, z) – радиус – вектор n*вектор R = p Это и есть нормальное уравнение плоскости в векторной форме. xcosα + ycosβ + zcosγ = p В координатах: Cos^2α + cos^2β + cos^2γ = 1 Общее уравнение плоскости. Ax + By + Cz + D = 0 Линейное уравнение 1 – ого порядка по xyz. Ax + By + Cz = -D A, B, C, D – константы Пусть -D = pбольше или равно 0 Иначе обе части уравнения умножаются на -1 Вектор N (A, B, C) Вектор r (x, y, z) Тогда можно записать в виде: Вектор N* Вектор r = p Вектор | N | = 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 Можно записать: (Вектор N / Вектор | N |) * Вектор r = p / Вектор | N | Координаты: Ax + By + Cz / 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 = D / 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 Мы доказали, что уравнение любой плоскости есть уравнение 1 – ой степени по x, y, z. Поскольку Вектор N // вектор n, следовательно, вектор Nперпендикулярен П. -D / 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 = p – есть уравнение расстояния до плоскости Лекция №20 Прямая линия в пространстве. L L a (a x a y a z ) M(x;y;z) R 0 = Ix 0 +Jy 0 +kz 0 RM(xyz) – текущая точка прямой с координатами ( ( Ix0+Jy0+kz0). R 0 A (a x ;a y ;a y )По условию AM = αA α– скаляр. 0 𝑋 − 𝑋0 Ax = 𝑦 − 𝑦0 𝐴𝑦 = 𝑧 − 𝑧0 𝐴𝑧 Рис. 1 Любая прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это вытекает из аксиом: 1) через любые две точки проходит прямая, при том только одна. 2) если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то точки прямой лежат в этой плоскости. 3) прямая в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей. Варианты взаимного расположения прямых в пространстве 1) прямые могут совпадать. 2) могут пересекаться. 3) могут быть параллельными. 4) могут быть скрещивающимися. 5) могут быть перпендикулярными. Направляющий вектор прямой в пространстве. Любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или ей параллельной ей называется направляющим вектором этой прямой. Способы задания прямой в пространстве. если известны две точки в системе координат, то прямую можно определить (задать) с помощью уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. 𝑋−𝑋1 𝑋2−𝑋1 = 𝑌−𝑌1 𝑌2−𝑌1 = 𝑍−𝑍1 𝑍2−𝑍1 (1) Или же параметрическое уравнение прямой: X-X 0 = λa x Y-Y 0 = λa x Z-Z 0 = λa z Есть ещё один способ задания прямой в пространстве: если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости. Нормальное уравнение прямой в пространстве выглядит так: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D1 = 0 А уравнение прямой в отрезках имеет вид: 𝑎x 𝑏𝑥 = 𝑎𝑦 𝑏𝑦 = 𝑎𝑧 𝑏𝑧 Вычисление косинуса угла между прямыми производят с помощью формулы скалярного произведения векторов. эту формулу можно использовать, потому что координаты направляющего вектора прямой совпадают с координатами прямой в пространстве: a∙b = 𝐜𝐨𝐬 𝝀 𝒂 𝑏 Гдеaиb – координаты этих векторов, а выделенное в скобки – это их модули, cos 𝜆 - косинус угла между векторами. произведение модулей двух векторов на косинус угла между ними равно скалярному произведению этих векторов Лекция №21. Цилиндрические поверхности. Цилиндром называется поверхность движущая параллельно заданному направлению всё время пересекающая прямую, называемую направляющую. y M(x;y;z) 0 x z рис. * M1(x;y) F(x;y)=0 (1) На плоскости Oxy этому уравнению соответствует некоторая прямая, примем её за направляющую цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна Oz. Точка M(x;y;z) цилиндрической поверхности проектируется на плоскость Oxy в точку M1(x;y), координаты которой связана с уравнением (1). При этом координата Z может быть любой, т.н. не входящей в уравнение (1). Таким образом уравнение (1) - уравнение указанной цилиндрической поверхности. Если уравнение поверхности не содержит какой-нибудь текущей координаты, то оно является уравнением цилиндрической поверхности параллельной оси координат соответствующей осей координат. А на соответствии это уравнение направляющий данного цилиндра. Например: Параболический цилиндр 𝑥 2 =az (параллельной оси Y) Прямой круговой цилиндр с образующей параллельной оси Z и имеющей направляющий вектор x 𝑥 2 +𝑦 2 =𝑅 2 y z Конический поверхности Конусом - называется поверхность, образованная движущей прямой (образующей). Рассмотрим частный вид конической поверхности. Пусть дана однородная функция с тремя переменными в степени n. F(xyz) - это означает, что F(tx ty tz)= 𝑡 𝑛 F(xyz), где t - произвольный параметр, при этом n=0, то F(tx ty tz). В том уравнение конической поверхности имеет вид F(xyz)=0 Рассмотрим однородную функцию второй степени F(xyz)= 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑧 2 Прямой круговой конус или уравнение: 𝑧 2 = 𝑥 2 +𝑦 2 которое получается из уравнения F(xyz)=0. Начало координат точка О(000) - является вершиной конуса. Координаты плоскости Оху, уравнение z=0 встречается только в его вершине. Плоскость z=h, пересекает конус по окружности : 2 = 𝑥 2 +𝑦 2 Координатная плоскость уравнивают y=0, пересекающей конус по прямым линиям z=+-x. А плоскость Oyz пересекает конус по прямым z=+-y Напишем уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат: 𝑧 2 𝑐 2 = 𝑥 2 +𝑦 2 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑦 2 - 𝑎 2 𝑐 2 𝑧 2 =0 При z=h получается окружность. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑐 2 2 Сечение плоскости Оxy, получили две прямые z=+-(c:a)x А сечение плоскости Oyz (с уравнением х=0) даст две прямые z=+-((cy):a) В дифференциальном исчислении решается задача нахождения производной или дифференциала данной функции. Пусть дана функция . Тогда по определению производной . Обозначим В интегральном исчислении решается задача, обратная задаче нахождения производной: отыскание функции по заданной еѐ производной . Таким образом, для заданной функции нужно найти такую функцию , чтобы Функция называется первообразной функцией для функции на некотором множествеD, если на этом множестве Если есть первообразная функция для функции , то каждая из функций , где C - произвольная постоянная, будет также первообразной для функции , так как Таким образом, если функция имеет хотя бы одну первообразную функцию, то она может иметь бесчисленное множество первообразных функций и все они отличаются одна от другой на постоянную величину. Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) называется неопределѐнным интегралом от функции f(x) и обозначается . Процесс нахождения первообразной функции называетсяинтегрированием. Переменная х называется переменной интегрирования, функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx– подынтегральным выражением. Неопределѐнный интеграл обладает свойствами, использование которых в значительной степени может упростить интегрирование функций. Производная от неопределѐнного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Дифференциал неопределѐнного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. Неопределѐнный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Неопределѐнный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. Результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. если ,то при замене переменной интегрирования х на t . Такое свойство называетсяинвариантностью формулы интегрирования. 2. Таблица основных интегралов 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 Интегралы данной таблицы называются табличными. Каждая из формул таблицы справедлива в области определения подынтегральной функции. 3. Основные методы интегрирования При интегрировании функций не всегда можно сразу использовать таблицу интегралов. Как правило, вначале нужно данный интеграл преобразовать таким образом, чтобы свести его к одной или нескольким формулам таблицы. Для этого используются специальные методы интегрирования, основными из которых являются непосредственное интегрирование, замена переменной (или метод подстановки), метод интегрирования по частям. Суть метода непосредственного интегрирования состоит в том, что данный интеграл с помощью алгебраических преобразований и свойств неопределѐнного интеграла сводится к табличным интегралам. Примеры 1 –3. Найти неопределѐнные интегралы: а) ; б) ; в) Решение. а) ; б) = ; в) = Если интеграл непосредственно не находится, то во многих случаях результат может быть достигнут с помощью метода замены переменной (подстановки). Данный метод помогает значительно упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к одной из формул таблицы. Если подынтегральная функция представляет собой дробь, у которой числитель есть производная знаменателя, то такой интеграл равен логарифму натуральному от абсолютной величины знаменателя, т.е. Примеры 4 – 7. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) Решение. а) {заменимu=3x, тогда du=3dx, = ; б) ={заменимu=3 x, du= dx, dx= du}= = ; в) ={u=3x 4, du=3dx, = = ; г) ={ du=2xdx, }= = Для нахождения интеграла вида используетсяформула интегрирования по частям . Если в результате получилось, что интеграл в правой части формулы проще, чем в левой, то применение этой формулы оправдано. Обычно в подынтегральном выражении за функциюu принимают тот множитель, который после его дифференцирования становится более простым. Оставшуюся часть подынтегрального выражения принимают за дифференциал dv некоторой функции v. При использовании данного метода интегрирования удобно пользоваться следующими рекомендациями: в интегралах вида , , имеет смысл положитьu=P(x), а в качестве dv взять оставшуюся часть подынтегрального выражения; в интегралах вида , , , , следует положитьdv=P(x)dx, а оставшуюся часть подынтегрального выражения обозначить через u; в интегралах вида , можно положить , а оставшуюся часть подынтегрального выражения принять заdv. Примеры 8 – 9. Найти интегралы: а) ; б) Решение. а) = = ; б) = = = 4. Определѐнный интеграл и его основные свойства Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия. Разобьѐм отрезок точками … , наn отрезков , , … , , которые называются частичными. В каждом частичном отрезке произвольно выберем точку , вычислим значение функции в этой точке и произведение , где Если существует предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек , то он называетсяопределѐнным интегралом от функции на отрезке и обозначается Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называетсяподынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением,x – переменной интегрирования, - отрезком интегрирования. Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу осьюOx, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Определѐнный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определѐнного интеграла. Основными свойствами определѐнного интеграла являются следующие: постоянный множитель можно выносить за знак определѐнного интеграла, т.е. ; определѐнный интеграл от алгебраической суммы непрерывных на отрезке функций и равен алгебраической сумме определѐнных интегралов от этих функций, т.е. ; если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определѐнный интеграл изменит знак на противоположный, т.е. ; если пределы интегрирования равны между собой, то определѐнный интеграл равен нулю, т.е. ; определѐнный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. …; если отрезок интегрирования разбит на две части и и если существуют интегралы и , то Для вычисления определѐнных интегралов используется формула Ньютона- Лейбница , где , т.е. - любая первообразная функция для Лекции №5. Оценка несобственного интеграла Пусть функция f (x) определена на интервале X a,b . Говорят, что в точке x0 X функция f имеет локальный максимум (минимум), если существует такое 0 , что для всех x из - окрестности точки 0 x выполняется неравенство 0 f x f x 0 f x f x , 0 x U x . Если в любой точке этой окрестности, за исключением точки 0 x , имеет место строгое неравенство 0 f x f x 0 f x f x , то точка x0 X называется точкой строго локального максимума (минимума), а значение функции в ней – строгим локальным максимумом (минимумом). Точки локального максимума и минимума называются точками локально экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции. Если функция f определена на отрезке a, b и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, то такой экстремум будем называть локальным односторонним экстремумом. В этом случае соответствующая - окрестность является правой для a и левой для b полуокрестностью. Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале a, b и в некоторой точке x a, b 0 имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке 0 x существует конечная производная 0 f x , то f x0 0 . Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: если точка x a, b 0 является точкой локального максимума или локального минимума функции и существует 0 f x , то касательная, проведенная к графику функции в точке 0 0 x , f x , параллельна оси Ox . Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке a, b , дифференцируема в каждой точке интервала a, b и f a f b . Тогда существует хотя бы одна точка c , a c b , такая, что f c 0 . Геометрический смысл теоремы Ролля следующий: при выполнении условий теоремы внутри отрезка a, b обязательно найдется хотя бы одна точка c такая, что касательная к графику f в точке c, f c параллельна оси Ox . Теорема Коши. Пусть функции f и g непрерывны на отрезке a, b , дифференцируемы во всех точках интервала a, b , причем g x 0 , x a, b . Тогда на a, b найдется точка c , такая, что g c , то есть отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке c . Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при g(x) x . Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: при выполнении условий теоремы внутри отрезка a, b обязательно найдется хотя бы одна точка c такая, что касательная к графику f в точке c, f c параллельна прямой, проходящей через точки a, f a и b, f b . Следствием теоремы Коши является правило Лопиталя–Бернулли, представляющее собой совокупность теорем, позволяющих вычислять пределы, связанные с раскрытием неопределенностей типа 0 0 и . При этом сложные по своей природе задачи вычисления пределов сводятся к сравнительно простым задачам вычисления производных. Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале x ,b 0 , причем g (x) 0 для всех x x ,b 0 . Пусть также lim( )lim ( ) 0 0 0 0 0 f x g x xxxx . Если существует (конечный или бесконечный) предел ( ) ( ) lim 0 0 g x f x xx , то существует и ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 g x f x g x f x xxxx . Эта теорема будет справедлива с очевидными изменениями также в случаях x x0 0 и 0 x x . Пусть функции f и g дифференцируемы при x M , причем g (x) 0 для всех x M . Пусть также lim( ) lim ( ) 0 f x g x xx . Если существует (конечный или бесконечный) предел ( ) ( ) lim g x f x x , то существует и ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x xx Данная теорема с очевидными изменениями будет справедлива и в случае x . Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале x ,b 0 , причем g (x) 0 для всех x x ,b 0 . Пусть также lim( ) 0 0 f x xx и lim ( ) 0 0 g x xx . Если существует (конечный или бесконечный) предел ( ) ( ) lim 0 0 g x f x xx , то существует и ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 g x f x g x f x xxxx . Данная теорема остается справедливой также в случаях x x0 0, 0 x x , x , x . Правило Лопиталя–Бернулли дает также возможность раскрывать неопределенности типа 0 0 , 0 , 1 , 0 , Действительно, неопределенности типа 0 0 , 0 , 1 можно свести к неопределенности 0 , предварительно прологарифмировав соответствующее выражение или воспользовавшись тождеством g f g f f e e g lnln f 0 . Неопределенность же типа 0 ( f 0 , g ) сводится к неопределенности типа 0 0 или следующим образом: g f f g 1/ или f g f g 1/ . Для неопределенности ( f , g ) получаем f g g f f g f g 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1 , и тем самым неопределенность сводится к неопределенности 0. Лекция 8 Дифференциальные уравнения Диф. Ур. Называется уравнение связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=f(x) и ее производную Общий вид диф. ур. Записывается f(x,y,y’, 𝑦 𝑛 …)=0 Порядком диф. ур. Называют порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение Всякая функция y=ф(x) которая будуи подставлена в диф. ур. Называется реш. уравнения Решение диф. ур., записанное в неявном виде, называется интегралом этого уравнения siny=ф(x) А действие интегрирования называется квадратура Y=ф(x,C1,C2,…,Cn) Всякое решение диф.ур. которое получается из его общего решения если принимают опр. значения произвольные постоянно в него входящие назыв. частным решением этого диф. ур. Произвольные постоянные C1, C2, Cn определяются из доп. условия y(x0)=y0,y(x0)=y0;… 𝑦 (𝑛−1) (x0)= 𝑦0 𝑛−1 ; 𝑦 𝑛 (x0)= 𝑦0 (𝑛−1) Диф. ур. называется задачей Коши Общий вид f(x)yy’=0 Диф. ур. можно записать в виде f(x,y)dx+p(x,y)dy=0; dy/dx=f(x,y) Задача Коши для диф. ур. имеет вид 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 Существуют определенные условия при которых решение задачи Коши сущ и единственно в том числе и для диф. ур. первого порядка Рассмотрим диф. ур. с раздельными переменными M(x)dx+N(y)dy=0 M(y)dx=-N(y)dy=0 В этом ур. слева стоит диф. ур. функции от х а с права от у. Тогда взяв интеграл от обеих частей и добавив постоянный интеграл получим решение 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑁 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶 Это общий интеграл исходных диф ур записанный в квадратурах. Подобные диф. ур. могут быть записанны так dy/dx=M9x)/N(y) Диф. ур. с разделяющими разделенными P1(x) q;(y)dx+P2(x)=ydy=0 Это ур. приводит к ур с разделенным делениемобеих его частей на P2(x) q1(y) при этом получаем P1(x)/P2(x)dx+q2(y)/q1(y)dy=0 От сюда получим общий интеграл 𝑃1 𝑥 𝑃2 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑞2 𝑦 𝑞1 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка y’=f(x,y) есть однородн. функция нулевого порядка f(xx,xy)= λ f(x,y)=f(x,y) Обозначим, что правая часть равна 0 и так ур приобретает вид x'=ф(y/x) диф. ур. называется однородным диф. ур-ом первого порядка Решаются такие ур-ния с помощью замены переменной u=y/x или y=x/u y’=u+xu’ u+xu’=ф(u) xdu/dx=ф(u)-u Разделим переменные. Получим du/ф(u)-u=dx/x все что к u в лев часть, все что к x в правую часть 𝑑𝑢 ф 𝑢 − 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝐶 𝑑𝑢 ф 𝑢 − 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶 Вычислим интеграл в левой части и подставим в место uy/x получим исходный интеграл общего уравнения например y^2+(x^2-xy)y’=0 обе части делим на x^2 (y/x)^2+(1- y/x)dy/dx=0 dy/dx=((y/x)^2)/((y/x)-1) Лекция №10 Примеры решения задач Коши. 1) Дифференцируемое уравнение первого порядка: 𝑦′ − 𝑦 𝑥 𝑦 𝜋 2 = 1 = 𝑥 sin 𝑥 Для получения общего решения применим метод Бернулли 𝑦 = 𝑢 𝑥 ∗ 𝑣 𝑥 𝑦 ′ = 𝑢 ′ 𝑣 + 𝑢 ′ 𝑣 Подставим эти формулы в исходное диф. уравнение 𝑢 ′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ − 𝑢𝑣 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 Перепишем уравнение в виде 𝑢 ′ − 𝑢 𝑥 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ = 𝑥 sin 𝑥 Принимаем, что: 𝑢 ′ − 𝑢 𝑥 = 0 (1) Тогда от уравнения остается: 𝑣 ′ = 𝑥 𝑢 sin 𝑥 (2) Уравнение (1) это уравнение с разделяющимися переменными, разделим их на X 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑢 = ln 𝑥 u= x Подставим это выражение в уравнение (2) 𝑣 ′ = sin 𝑑𝑣 = sin 𝑥𝑑𝑥 Интегрируем обе части 𝑣 = sin 𝑥𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥 + 𝑐 Тогда решение запишем в виде 𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑐 − cos 𝑥 Общее решение исходного уравнения 𝑦 = 𝑒 − 𝑝𝑑𝑥 (𝑐 + 𝑞𝑒 𝑝𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑝 = − 1 𝑥 , 𝑞 = 𝑥 sin 𝑥 В общем случае имеем: 𝑦 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 𝑐 + 𝑥 sin 𝑥 𝑒 − 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 =x 𝑒 − cos 𝑥 Удовлетворим начальному условию 1 = 𝜋 2 (с − cos 𝜋 2 ) => 1 = с ∗ 𝜋 2 => с = 2 𝜋 𝑦 = 𝑥 2 𝜋 − cos 𝑥 В общем виде имеем: 𝑦 = 𝑒 − 𝑝𝑑𝑥 𝑐 + 𝑞𝑒 𝑝𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 − общий вид диф. уравнения первого порядка Имеем: 𝑢 ′ + 𝑝 𝑥 𝑣 = 0 1 ′ ; 𝑦 = 𝑢 ∗ 𝑣 𝑢𝑣 ′ = 𝑞 𝑥 (2 ′ ) Из 1 ′ = 𝑑𝑣 𝑣 = −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑞 𝑢 ln 𝑣 = − 𝑝 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = 𝑞 𝑢 ∗ 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 В результате получим: 𝑦 = 𝑒 𝑝𝑑𝑥 𝑐 + 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝𝑑𝑥 𝑑𝑥 - общее решение Удовлетворим условию 𝑦 = 𝑥 0 = 𝑦 0 𝑦 = 𝑒 − 𝑥 0 𝑝(𝑥) 𝑦 0 + 𝑞 𝑥 𝑒 Задача Коши для линейного диф. уравнения второго порядка. Запишем однородное уравнение соответствующее диф. уравнению (3) 𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 32𝑒 𝑥 (3) 𝑦 0 − 0 , 𝑦 ′ 0 = 2 4 𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 (5) Характеристическое уравнение для него имеет вид: 𝑘 2 − 2𝑘 + 1 = 0 (6) Находим корни: 𝑘 1 = 𝑘 2 = 1-один двухкратный корень Общее решение имеет вид: 𝑦 0 = с 1 𝐶 + 𝑐 2 𝑥𝑒 𝑥 Найдем частное решение по виду правой части: 𝑓 𝑥 = 𝑒 5𝑥 ∗ 32 Показатель 5 не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение заканчивается так: 𝑦 = 𝑥 0 𝑒 5𝑥 𝐴 Тогда: 𝑦 ′ = 5𝑒 5𝑥 𝐴 𝑦 " = 25𝑒 5𝑥 𝐴 25𝑒 5𝑥 𝐴 − 2 ∗ 5𝑒 5𝑥 𝐴 + 𝑒 5𝑥 𝐴 = 𝑒 5𝑥 ∗ 32 => 𝐴 = 2 16𝐴 = 32 => 𝐴 = 2 𝑦 = 𝑒 5𝑥 ∗ 2 𝑦 = с 1 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 5𝑥 Найдем:𝑦 ′ = с 1 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 10 ∗ 𝑒 5𝑥 И удовлетворим начальным условиям: 0 = с 1 + 2 2 = с 1 + с 2 + 10 с 1 = −2 с 1 + с 2 = −8 с 1 = −2 с 2 = −6 Получим решение задачи: 𝑦 = −2𝑒 𝑥 − 6𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 5𝑥 Получение частного решения методом вариации произвольных постоянных. Сначала рассматриваем соответствующее однородное уравнение (5) м находим его общее решение: 𝑦 0 = с 1 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥𝑒 𝑥 Получаем, что с 1 и с 2 - есть функции от x 𝑦 = 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 (𝑥)𝑥𝑒 𝑥 Найдем производную с учетом этого замечания 𝑦 0 ′ = 𝑐 1 ′ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐 2 ′ 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 (𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) Получим 𝑐 1 ′ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 ′ 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 = 0 ∗ и получим 𝑦 0 ′ = 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 +𝑐 2 (𝑥) (𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) Вид такой же, когда с 1 и с 2 =const. Найдем вторую производную 𝑦" 0 = 𝑐 1 ′ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 ′ 2 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 (𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ) И подставим эти выражения в однородное диф. уравнение (3) 𝑐 1 ′ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 ′ 2 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 +𝑐 2 𝑥 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 − 2 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 (𝑥) 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 = 32𝑒 5𝑥 Получим: 𝑐 1 ′ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 ′ 2 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 − 2 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑐 Получаем: 𝑐 1 ′ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 ′ 2 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 = 0(∗) 𝑐 1 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 ′ 2 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 32С(∗)(∗) Запишем уравнение со * и с ** под систему Эта система лин. алгебраич. уравнений для определения 𝑐 1 ′ и 𝑐 ′ 2 Определитель этой системы есть определитель Вронского, и он всегда отличен от 0 𝑉 = 𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑒 2𝑥 + 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 = 𝑒 −𝑥 ≠ 0 Находим дополнительный определитель: 𝑉 1 = 0 𝑥𝑒 𝑥 32 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 32𝑒 6𝑥 𝑉 2 = 𝑒 𝑥 0 𝑒 𝑥 32𝑒 5𝑥 = 32𝑒 6𝑥 Найдем: 𝑐 1 ′ 𝑥 = 𝑉 1 𝑉 2 = −32𝑒 4𝑥 𝑐 ′ 2 𝑥 = 𝑉 2 𝑉 1 = 32𝑒 4𝑥 𝑐 1 𝑥 = −32 𝑥𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 = 4 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢, 𝑣 = 1 4 𝑒 4𝑥 = − 1 4 𝑥𝑒 4𝑥 − 1 4 𝑥𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = − 1 4 𝑥𝑒 4𝑥 − 1 16 𝑒 4𝑥 + 𝑐 1 𝑐 2 𝑥 = 32 𝑥𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = 8𝑒 4𝑥 + 𝑐 2 𝑦 = −8𝑥𝑒 4𝑥 + 2𝑒 4𝑥 + 𝑐 1 + 8𝑒 4𝑥 + 𝑐 2 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑐 1 𝑐 𝑥 + 𝑐 2 𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 5𝑥 Лекция 11 Ряды Суммой членов этой последовательности называется числовым рядом называется общим членом ряда Если члены ряда 1) Число- то ряд числовой 2) Числа одного знака – знакопостоянный 3) Положительные числа- знакоположительный 4) Числа разных знаков- знакопеременный 5) Знаки членов ряда чередуются – знакочередующийся 6) Члены ряда функции-функциональный 7) Члены ряда где есть степень х- степенный 8) Члены ряда тригонометрические функции- тригонометрический Определение |