Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
Пример 2. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y. Составим таблицы истинности для заданных формул. p q r pÛq (pÛq)Úr И И И И И И И Л И И И Л И Л И И Л Л Л Л Л И И Л И Л И Л Л Л Л Л И И И Л Л Л И И p q r pÞq qÞp (pÞq)Ú(qÞp) (pÞq)Ú(qÞp)Úr И И И И И И И И И Л И И И И И Л И Л И И И И Л Л Л И И И Л И И И Л И И Л И Л И Л И И Л Л И И И И И Л Л Л И И И И Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны. Основные равносильности. Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности: A & B º B & A; A & A º A; A & (B & C) º (A & B) & C; A Ú B º B Ú A; A Ú A º A; A Ú (B Ú C) º (A Ú B) Ú C; A Ú (B & C) º (A Ú B) & (A Ú C); A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C); A & (A Ú B) º A; A Ú (A & B) º A; ØØA º A; Ø(A & B) º ØA Ú ØB; A º (A & B) Ú (A & ØB); A º (A Ú B) & (A Ú ØB); Булевы функции. Определение. Булевой функциейf(X1, X2, …, Xn) называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1. Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям. X1 X2 ØX1 X1&X2 X1ÚX2 X1ÞX2 X1ÛX Лекция №7 Определители и системы линейных алгебраических уравнений. К понятию определителя мы приходим рассматривая систему алгебраических уравнений 1-ой степени. 𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 𝑦 = 𝑑 1 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 = 𝑑 2 x, y – неизвестные Решение системы уравнений 1-ой степени имеет вид: 𝑥 = 𝑑 1 𝑏 2 − 𝑑 2 𝑏 1 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 1 𝑦 = 𝑑 2 𝑏 1 − 𝑑 1 𝑎 2 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 1 Выражение стоящее в знаменателе 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 1 называется определителем 2-ого порядка. Аналогично рассмотрим систему трёх уравнений: 𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 𝑦 + 𝑐 1 𝑧 = 𝑑 1 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 + 𝑐 2 𝑧 = 𝑑 2 𝑎 3 𝑥 + 𝑏 3 𝑦 + 𝑐 3 𝑧 = 𝑑 3 Эта система уравнений имеет решение в виде дробей у которых в знаменателе стоит выражение: 𝑎 1 𝑏 2 𝑐 3 − 𝑎 1 𝑏 3 𝑐 2 − 𝑏 1 𝑎 2 𝑐 3 + 𝑏 1 𝑎 3 𝑐 2 + 𝑐 1 𝑎 2 𝑏 3 − 𝑐 1 𝑎 3 𝑏 2 Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной таблице элементов 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a , называется число, определяемое равенством 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Так и рассмотрим на определители третьего порядка. Определитель имеет 3 строки, 3 столбца и 9 элементов. Строки, столбы называются – ряд. Свойства определителей Следующие свойства справедливы для определителей любого порядка, позволяют упростить вычисления определителей. Свойство 1. Определитель не меняет своего значения, если его строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, то есть 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a Введенное действие называется транспонированием строк и столбцов. Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя, то знак значения определителя изменится на противоположный: 33 32 31 13 12 11 23 22 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю: 0 13 12 11 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a k a a a k a a a k a a a k Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю: 0 0 0 0 32 31 22 21 12 11 a a a a a a Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю: 0 31 32 31 21 22 21 11 12 11 a k a a a k a a a k a a Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором определителе – вторые: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 31 23 22 21 21 13 12 11 11 a a b a a b a a b a a a a a a a a a a a b a a a b a a a b a Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на одно и то же число: 33 32 33 31 23 22 23 21 13 12 13 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a k a a a a k a a a a k a a a a a a a a a a Минором какого-либо определением называется определитель полученный из данного вычеркиванием столбца и строки на пересечении которых стоит данный элемент. Минор 𝑎 1 М 11 = 𝑏 2 𝑐 2 𝑏 3 𝑐 3 Алгебраическим дополнением какого-либо элемента определителя называется минор взятый со знаком «+» или «-» в зависимости от положения данного элемента в исходной системе, от суммы номеров строки и столбца для верхнего левого элемента берется знак «+», а для остальных элементов в шахматном порядке. Лекция №8 Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑑1 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑑2 𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑑3 Определитель состоящий из коэффициентов этой системы есть определитель𝐷 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 Чтобы найти x элементы каждого столбца умножить на алгебраическое дополнения элемента 2-го столбца и почленно сложить. (a11A12+a21A22+a31A32)x+(a12A12+a22A22+a32A32)y+(a13A12+a23A22+a33A33)z Коэффициент при x есть сумма произведений элементов 1-го столбца на алгебраическое дополнение 2-го столбца Коэффициент при y есть сумма произведений 2-го столбца на их собственное алгебраическое дополнение, что равно определителю D. Коэффициент при z есть сумма произведений элементов 3-го столбца на алгебраическое дополнение 2-го столбца. Справа стоит определитель 𝐷2 = 𝑎11 𝑏1 𝑎13 𝑎21 𝑏2 𝑎23 𝑎31 𝑏3 𝑎33 𝐷𝑦 = 𝐷2 Можно проверить разложив элемент 2-го стобца Аналогично можно найти 𝐷𝑥 = 𝐷, 𝐷𝑧 = 𝐷3 Если определитель имеет D≠0 то находим решение Формула Крамера 𝐷 ≠ 0 𝑥 = 𝐷1 𝐷 𝑦 = 𝐷2 𝐷 𝑧 = 𝐷3 𝐷 В числителе стоят определитель, в котором стоит коэффициент при соответствии неизвестный заменен столбцом свободных членов. В знаменателе стоит определитель, называемый определителем системы. 1) Если D≠0, то существует единственное решение 2) Если D=0, то имеют место такие сценарии а) Система противоречит и решений не имеет 𝐷 = 0 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2 3𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 5 3𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 3 - Что противоречит 3-му уравнению Системапротеворечива, решениянет. б) Имеется бесчисленное множество решений 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2 3𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 3 Сложив первые два уравнения почленнополучмуравнение совпадающее с 3-им Это означает, что 3-е уравнение является линейной комбинацией первых 2-х В этом случае отбрасываем 3-е уравнение и записываем систему в виде 𝑥 + 2𝑦 = 𝑧 + 1 2𝑥 + 𝑦 = 2𝑧 + 2 𝐷 = 1 2 2 1 = 1 ∗ 1 − 2 ∗ 2 = −3 𝐷1 = 𝑧 + 1 2 2𝑧 + 2 1 = 𝑧 + 1 − 4𝑧 − 4 = −3 ∗ 3𝑧 𝐷2 = 1 𝑧 + 1 2 2𝑧 + 2 = 2𝑧 + 2 ∗ 1 − 𝑧 + 1 ∗ 2 = 0 𝑥 = 𝐷1 𝐷 = −3 − 3𝑧 −3 = 1 + 𝑧 𝑦 = 𝐷2 𝐷 = 0 −3 = 0, 𝑧 = 𝑧 Услов. отсутствия в решении есть условие непропорциональности столбцов свободных членов какому-либо столбцу определителя. Если элементы столбцов определителей пропорцинальны столбцам свободных членов, то сиситема имеет бесчисленное множество решений. Отдельным случаем является система однородного алгебраического уравнения. Так для 3-х уравнений с 3-мя неизвестными имеем 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 0 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0 𝑎31 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 − тревиально Часто нужно знать имеются ли другие нетривеальные решения. Если D≠0, то существует только 1 тривеальное решение. Если D=0, то имеются бесчисленное число решений, кроме тривиального. В рассмотренном примере положим правые части равные нулю 𝐷 = 1 2 −1 2 1 −2 3 3 −3 = − 1 2 1 2 1 2 3 3 3 = 3 3 3 2 1 2 3 3 3 = 0 Имеется бесчисленное число решений Если число уравнение превышает число неизвестных, система называются переопределенной и в общем случае решений не имеет, в противном случае система неопределенная и имеет бесчисленное множество решений. 𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 + 𝑦 = 2 3𝑥 + 3𝑦 = 3 y=0 x=1 переопределенная ЛЕКЦИЯ №9 Матрица и действия на ней. Матрица – прямая таблица элементов ( чисел ), содержащая mстрок и nстолбцов, при этом размерность матрицы читается mна n ( mxn ). A = ( a11, a12 … a1n ) ( a21, a22 … a2n ) = ( aij) m*n ( am1, am2 … amn ) aij – элемент матрицы, стоящий на пересечении строки iи столбца j. При этом i = 1,2 …m, а j = 1,2 … n. Если m = n, то матрица называется квадратной. Если количество строк не совпадает с количеством столбцов, то матрица называется прямой. С = 1 ( m = n = 1 ), то эта матрица состоит из одного элемента. Величина элемента называется определителем Iпорядка. Если порядок квадратной матрицы B = 2 , то она имеет вид: B = || b11, b12 || || b21, b22 || Определитель IIпорядка называется число = b11*b22 – b12*b21= || b11, b12 || || b21, b22 || Пример,B = || 1 2 || || 3 4 || Если порядок квадратной матрицы A = 3, то она имеет вид: A = ( a11, a12, a13 ) ( a21, a22, a23 ) ( a31, a32, a33) ТогдаопределителемIIIпорядка = a11*a22*a33 – a11*a23*a32 – a12*a21*a33+ a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – a13*a22*a31 = ( a11, a12, a13 ) ( a21, a22, a23 ) ( a31, a32, a33 ) Это справедливо для любой квадратной матрицы любой размерности. Квадратная матрица называется диагональной, если все еѐ элементы равны нулю, кроме элементов, стоящими в главной диагонали. С = ( a11, 0, 0 ) ( 0, a22, 0 ) ( 0, 0, a33 ) Это относится к матрице любого порядка mxn. Если в диагональной матрице элементы равны единице в главной диагонали, то матрица называется единичной. E = || 1, 0, 0 || || 0, 1, 0 || || 0, 0, 1 || Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. 0 = || 0, 0, 0 || || 0, 0, 0 || || 0, 0, 0 || Квадратная матрица называется вырожденной, если соответствующий ей определитель равен нулю. Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной матрицы равно другой, а элементы этих матриц располагаются на соответственных местах одинаково. Произведение матрицей А на число лямбда называется матрица А1, которая получила умножение каждого еѐ элемента на число лямбда. Это действие обусловлено свойством коммуникативности. h*A = A*h Из определения произведения матрицы на число следует, что если все элементы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак матрицы. Суммой двух матриц одинаковых размерностей называется матрица той же размерности, элементы которой являются суммами элементов слагаемых, стоящих на тех же местах, что и элементы матрицы С. Cij = aij + bij C = A + B Аналогично и разность матрицы. 1) A + B = B + A – коммуникативность 2) ( A + B) + C = A + ( B + C ) – ассоциативность 3) h( A + B ) = hA + hB – дистрибутивность 4) A + 0 = 0 + A – нулевая матрица Умножение матриц. Умножить Aна Bимеет смысл только тогда, когда число столбцов умноженного равно числу строк матрицы множителя. Для того, чтобы получить элемент матрицы произведения, стоящей в строке с номер p и в столбце с номер i, нужно элементы строки jпервой матрицы умножить поочерѐдно на элементы столбца i 2 матрицы и сложить их. 1) A*B = B*A 2) A*B = 0 при A не равном 0 и Bне равном 0 3) Определить матрицы произведения С = Axbравено произведению определителей матриц Aи B:det( A*B ) = detA*detB Операция обращения возможна, когда не равен нулю. ЛЕКЦИЯ №10 Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений: a11*x1 + a12*x2 … + a1n*xn = b1 a21*x1 + a22*x2 … + a2n*xn = b2 an1*x1 + an2*x2 … + ann*xn = bn Пусть эта система невырожденная. Введѐм матрицу. Матричная система A = ( a11, a12 … a1n ) ( a21, a22 … a2n ) ( 1 ) ( an1, an2 … ann ) x = ( x1 ) ( x2 ) ( 2 ) ( … ) ( xn ) B = ( b1 ) ( b2 ) ( 3 ) ( … ) ( bn ) Матрица – столбец. Дадим определение. Матрица системы ( 1 ) Матрица – столбец неизвестных ( 2 ) Матрица столбец свободных членов ( 3 ) Определительматрица―A‖D = | A | = | a11, a12 … a1n | | a21, a22 … a2n | неравно 0 | an1, an2 … ann | Системы уравнений можно записать в матичном виде: A*x = B Определим обратную матрицу 1/Aи умножим обе части уравнения, записанного в матричной форме, на обратную матрицу 1/Aслева, получим: 1/A*A*x = 1/A*B Таккак 1/A*A = E, где E–единичная матрица, получаем: E*x = 1/A*B, следовательно x = 1/A*B Приравнивая элементы матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах, найдѐм x( решение системы ): x + y = 2 2x + 3y = 5 A = | 1 1 |, x = ( x/y ), B = ( 2/5 ) | 2 3 | D = | A | = | 1 1 | = 3 – 2 = 1 и не равно 0 | 2 3 | A11 = B A21 = -1 A12 = -2 A22 = 1 1/A = 1/ || 8 -1 || = 1/1 || 3 -1 || || -2 1 || || -2 1 || ( x/y ) = | 3 -1 | ( 2/5 ) | -2 1 | ( x/y ) = ( 6 -5 ) = ( 1 ) ( -4 5 ) ( 1 ) x = 1, y= 1 Применение матрицу к привидению уравнения второго порядка каноническому виду: A11* x^a + 2a12*xy + a22y^2 иa11*x^2 + a22*y^2 + a33*z^2 + 2a12*xy + 2a13*xz + 2a23*yz Такие уравнения называют квадратичными формами и соответственно 2xи 3x переменных Симметричные матрицы -> A2^(2) = ( a11, a12 ) ( a21, a22 ) , гдеa21 = a12 A3^(3) = ( a11, a12, a13 ) ( a21, a22, a23 ) ( a31, a32, a33 ), гдеa12 = a21, a13= a31, a23 = a32 Квадратичные формы при помощи линейного преобразования переменных могут быть преобразованы в формы не содержащие произведения новых переменных. &1*x^2 + &2*y^& - для 2 – х переменных, а для 3 – xпеременных &1x^2 + &a*y^& + &3*3*z^2 ( здесь речь идѐт только о старших степенях ) Это означает поворот системы координат. Назовѐм характеристическим уравнением матрицу A A = || a11, a12, a13 || ( a11- &, a12, 13 ) || a21, a22, a23 || ( a21, a22 - &, a23 ) = 0 || a31, a32, a33 || ( a31 , a32, a33 - & ) Корни этого уравнения &1, &2, &3 называются характеристическими числами матриц. Они всегда действительны, если исходная матрица является симметричной. Система таких уравнений, в которой &принимает одно из 3 – х значений &1, &2, &3 имеет определитель равный 0 и определяеттройку чисел эпсилон 1, 2, 3, соответствующее данному характеристическому числу &.Совокупность эпсилон определяет вектор r,которые называют собственными векторами матрицы. Вид квадратичных форм для двух переменных x1*x^2 + &2*y^2 + &3*Z^2 для 3 – х переменных подразумевает, что &1, &2 для 2 – х переменных для 2 – х переменного и &1, &2, &3 для 3 – х переменных является характеристическими числами матриц соответствующих форм. ( X^| - 1/ 5)^2/ 3^2 + ( y^| - 8/ 5 )^2/ 2^2 = 1 – это каноническое уравнение элипса. Лекция номер 11 Векторная алгебра В своей практической деятельности человек встречается с величинами различного рода. Одни из них, например, площадь, объем, масса, температура полностью характеризуются заданием своих численных значений. Такие величины называются скалярными. Другие же величины, например, сила, скорость, ускорение определяются не только своим числовым значением, но и направлением их действия. Такие величины называют векторными. При этом для анализа векторных величин с одинаковым успехом используют как геометрическую, так и алгебраическую формы их представления. Векторы бывают трех видов: Свободный вектор— вектор, начало которого может быть совмещено с любой точкой пространства, в котором рассматривается данный вектор. С. в. можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства. Таким образом, С. в. задается своей длиной и направлением. Скользящий вектор - может перемещаться вдоль прямой, отрезком которой он является. Прямую эту называют основанием или линией действия вектора. Связанный вектор – начало которых. не может менять своего положения. |