Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
Лекция 2 Формула полной вероятности и формула Байеса Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле Эта формула называется формулой полной вероятности. Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез По теореме умножения вероятностей , откуда Аналогично, для остальных гипотез Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями. Пример 1. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта. Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях: Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность: Пример 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. Решение. Возможны три гипотезы: - на линию огня вызван первый стрелок, - на линию огня вызван второй стрелок, - на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны: по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта: Пример 3. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. а) Каков процент брака на конвейере? б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере? Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов): Зависимости между производительностями станков означают следующее: А так как гипотезы образуют полную группу, то Решив полученную систему уравнений, найдем: а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная: Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%. б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез: , , Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%. Лекция №3 Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А равна р, то вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно М раз определяется по формуле Бернулли: 𝑃 𝑚,𝑛 = 𝐶 𝑛 𝑚 𝑝 𝑚 𝑞 𝑛−𝑚 , где 𝑞 = 1 − 𝑝. Закон распределения случайной величины Х, которая принимает натуральное значение 𝑖 0 , описываемый формулой Бернулли называется биномиальным: 1 = (𝑝 + 𝑞) 𝑛 = 𝐶 𝑛 𝑚 𝑝 𝑚 𝑞 𝑛−𝑚 𝑛 𝑚=0 Число 𝑚 0 наступление события А, для которого вероятность 𝑃 𝑚 0 ,𝑛 имеет наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом наступления события А при n независимых испытаниях и это число заключается в пределах 𝑛𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑚 0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝. Локальная теорема Лапласа Если вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится во всех этих испытаниях при большом их числе (𝑛 → ∞) равно m раз определяется по формуле: 𝑃 𝑚,𝑛 ≈ 𝜑 𝑥 𝑛𝑝𝑞 , где 𝜑 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒 −𝑥 2 2 , 𝑥 = 𝑚 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 при этом х считают, а 𝜑 𝑥 находят по таблице. 𝜑 𝑥 приведено во всех книгах по т(еор.вероятности. Однако, эта формула непригодна, если 𝑝 ≤ 0,1, а n – велико. В этом случае используют асимптотическую формулу Пуассона: 𝑃 𝑚,𝑛 = 𝑎 𝑚 𝑚! 𝑒 −𝑎 , где 𝑎 = 𝑛𝑝 Для дискретной случайной величины Х распределенной по биномиальному закону ( Бернулли ): 𝑀 𝑋 = 𝑛𝑝, 𝐷 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞, если по закону Пуассона, то 𝑀 𝑋 = 𝐷 𝑋 = 𝑛𝑝. Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называется корень из: 𝛿 = 𝐷(𝑋) Интегральная теорема Лапласа. Нормальное распределение. Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна 𝑝(0 ≤ 𝑝 ≤ 1), то вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее a раз и не более b раз примерно вычисляется по формуле: 𝑝 = Φ 𝛽 − Φ 𝛼 , где Φ 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒 −𝑥 2 2 𝑥 0 𝑑𝑥- называется формулой Лапласа. При этом 𝛼 = 𝑎−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 , 𝛼𝛽 = 𝑏−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 Заметим, что функция Лапласа нечетная. В таблицах значения только для положительных аргументов. При этом, если x>5, то Φ 𝑥 = 1/2. Справедливы и следующие формулы: Вероятность того, что 𝑃( 𝑚 − 𝑛𝑝 ≤ 𝜀 = 2 Φ 𝜀 1 𝑛𝑝𝑞 или 𝑃 𝑚 − 𝑛𝑝 < 𝜀 = 2 Φ 𝜀 𝑛 𝑝𝑞 , где 𝑚 − частота наступления события 𝐴, 𝑎𝜀 − некоторое малое положительное число. Распределение случайной величины Х называется нормальным, если плотность распределения вероятностей имеет вид: 𝑓 𝑥 = 1 𝛿 2𝜋 exp − 𝑥−𝑎 2 2𝛿 2 , где 𝑎 = 𝑀 𝑋 − мат. ожидание Х или среднее значение, а 𝛿 = 𝐷(𝑋), т.е. среднее квадратичное отклонение. Вероятность попадания случайной величины Х,распределенной по нормальному закону, в заданный интервал (𝛼; 𝛽) вычисляется по формуле: 𝑃 = 𝛷 𝛽 − 𝛼 𝛿 − 𝛷( ∝ −𝛼 𝛿 ) Справедливы также и следующие формулы: 𝑃( 𝑋 − 𝑎 < 𝜀 = 2𝛷 𝜀 𝛿 C помощью подобных формул можно вычислить вероятность попадания Х подчиненную нормальному закону в интервале (а − 𝜀; а + 𝜀). Предельные теоремы теории вероятности Неравенство Чебышева: 𝑃 𝑋 − 𝑀 𝑋 < 𝜀 ≥ 1 − 𝐷(𝑋) 𝜀 2 Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее мат.ожидания М(Х) по абсолютной величине меньше положительного числа 𝜀 но не меньше 𝐷(𝑋) 𝜀 2 Теорема Чебышева: Если 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 попарно независимые случайные величины имеющие конечные мат.ожидания, причем дисперсия любой из них не превосходит постоянного числа 𝐶(𝐷(𝑋 𝑖 ) < 𝐶) , то каким бы малым не было постоянное число 𝜀 > 0 вероятность неравенства: 𝑋 1 +𝑋 2 …+𝑋 𝑛 𝑛 − 𝑀(𝑋 1 )+𝑀(𝑋 2 )+⋯+𝑀(𝑋 𝑛 ) 𝑛 < 𝜀 будет как угодно близка к 1, если число этих величин будет сколь угодно велико. Это можно записать так: 𝑃( 𝑋 − 𝑀(𝑋) < 𝜀 ≤ 1 − 𝐶𝜀 2 𝑛𝜀 2 𝑋 = 𝑋 𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1 – среднее арифметическое. Теорема Бернулли: Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна р, то сколь угодно близка к 1 вероятность того, что отклонение относительной частоты 𝑚 𝑛 появления события А от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико lim 𝑛→∞ 𝑃( 𝑚 𝑛 − p < 𝜀) = 1. Практически используется такая формула: 𝑃 𝑚 𝑛 − p < 𝜀 ≥ 1 − 𝑃𝑞 𝑛𝜀 2 , где q=1-p. Теорема Ляпуного Если 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 взаимно независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с мат.ожиданием𝑎 и дисперсией 𝐷 = 𝛿 2 , то при неограниченном возрастании их числа n закон распределения их суммы: 𝑋 1 + 𝑋 2 … + 𝑋 𝑛 стремится к нормальному закону. Лекция №4 Задана величина X c плотностью распределения вероятностей 𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥 < 1 𝐴, при 1 < 𝑥 < 5 0, при 𝑥 > 5 Требуется найти: 1)𝐴; 2)𝐹 𝑥 ; 3)построить графики 𝑓 𝑥 и 𝐹 𝑥 ; 4)𝑀 𝑥 и 𝐷 𝑥 ; 5) 𝑋 𝛼; 𝛽 , где 𝛼 = 2; 𝛽 = 5 1) 1= 𝑑𝑥 + 𝐴𝑥𝑑𝑥 + 0𝑑𝑥; + ∞ 5 5 1 1 − ∞ 1= 0 + 𝐴 𝑥 2 2 5 1 + 0; A= 1 12 ; 𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥 < 1 𝑥 12 , при 1 < 𝑥 < 5 0, при 𝑥 > 5 2) По определению функции распределения 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥 − ∞ 𝑥 < 1, 𝐹 𝑥 = 0𝑑𝑥 = 0 𝑥 − ∞ 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 , 𝐹 𝑥 = 0𝑑𝑥 + 𝑥 12 𝑑𝑥 𝑥 1 = 𝑥 2 − 1 24 1 − ∞ 𝑥 > 1, 𝐹 𝑥 = 0𝑑𝑥 + 𝑥 12 𝑑𝑥 + 0𝑑𝑥 5 1 5 1 = 25 − 1 24 = 1 1 − ∞ 𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥 < 1 𝑥 2 12 , при 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 0, при 𝑥 > 5 3) 4) 𝑀 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥 ∗ 𝑥 12 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥 = 31 9 + ∞ 5 5 1 1 − ∞ + ∞ − ∞ 𝐷 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑀 𝑥 2 = 13 − ∞ + ∞ 5) 𝑃 2 < 𝑋 < 3 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 12 3 2 3 2 𝑑𝑥 = 5 24 Задана величина X c плотностью распределения вероятностей 𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥 < 0 𝐴𝑥 2 , при 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 1, при 𝑥 > 4 Требуется найти: 1)𝐹(𝑥); 2)𝐴; 3)построить графики 𝑓 𝑥 и 𝐹 𝑥 ; 4)𝑀 𝑥 и 𝐷 𝑥 ; 5) 𝑋 𝛼; 𝛽 , где 𝛼 = 2; 𝛽 = 3 1) 𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑥 = 0, при 𝑥 < 0 2𝐴𝑥, при 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 1, при 𝑥 > 4 2) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥 − ∞ 0𝑑𝑥 + 2𝐴𝑥𝑑𝑥 0𝑑𝑥 = 1 + ∞ 4 4 0 0 − ∞ 0 + 2𝐴 ∗ 𝑥 2 2 + 0 = 1 𝐴 = 1 16 𝑓 𝑥 = 1 16 0, при 𝑥 < 0 𝑥 2 , при 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 1, при 𝑥 > 4 𝐹 𝑥 = 0, при 𝑥 < 0 1 8 𝑥, при 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 1, при 𝑥 > 4 3) 4) 𝑀 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥 ∗ 𝑥 8 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥 = 8 3 + ∞ 4 4 0 0 − ∞ + ∞ − ∞ 𝐷 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑀 𝑥 2 = 8 9 − ∞ + ∞ 5) 𝑃 2 < 𝑋 < 3 = 𝐹 3 − 𝐹 2 = 1 16 ∗ 3 2 − 1 16 ∗ 2 2 = 5 16 Лекция №5 Математическая статистика изучает методы сбора, обработки и интерпретации результатов опытов (экспериментов). Генеральной совокупностью называют множество однородных объектов с характерными для них признаками. Выборочной совокупностью (выборкой) называют подмножество объектов генеральной совокупности, извлеченных из нее случайным образом. Случайная величина – наблюдаемые (полученные экспериментально) значения некоторого признака, характерного для всех объектов совокупности. Статистические ряды Различают дискретные и интервальные статистические ряды. Рассмотрим выборку , , …, объема . 1. Дискретный вариационный ряд распределения случайной величины имеет вид: Таблица 1 Чтобы построить дискретный вариационный ряд, необходимо: 1) расположить значения признака (варианты) в порядке возрастания: ; 2) найти частоты вариант (количество значений вариант ); 3) найти относительные частоты вариант. 2. Интервальный вариационный ряд распределения случайной величины имеет вид: Таблица 2 Чтобы построить интервальный вариационный ряд, необходимо: 1) найти размах вариации: , где , ; 2) определить количество интервалов: ; 3) найти длину интервала: ; 4) найти частоты вариант на интервалах: ; 5) найти относительные частоты вариант на интервалах: Функция распределения выборки Эмпирической функцией распределения выборки, представленной в таблице 1, называют функцию вида: (11.1) Графическое представление выборки 1. Полигоном частот выборки (таблица 1) называют ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида , , а полигоном относительных частот – ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида , 2. Гистограммой частот выборки (таблица 2) называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – частоты данных интервалов, а гистограммой относительных частот – диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – относительные частоты данных интервалов. 1. Сумма частот всегда равна объему выборки , а сумма относительных частот всегда равна единице: ; 2. Полигон частот и относительных частот строят для дискретного вариационного ряда. 3. Гистограмму частот и относительных частот строят для интервального вариационного ряда. Лекция №6 КОЛЕБАНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ. РЕШЕНИЕ ДАЛАМБЕРА Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы, тем самым, не будем учитывать влияния отраженных волн. Таким образом, мы приходим к задаче о свободных колебаниях неограниченной струны, которая формулируется так: решить однородное линейное дифференциальное уравнение гиперболического типа (5.18) при начальных условиях (5.19) где функции и заданы на всей числовой оси. Никакие другие условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Метод ее решения называется методом Даламбера или методом бегущих волн. Уравнение характеристик распадается на два: Характеристиками являются прямые: Введя новые переменные получим канонический вид уравнения колебаний: Интегрируя это уравнение по получим: Интегрируя последнее уравнение по (при фиксированном значении ) будем иметь: Полученный общий интеграл запишем, подставив и (5.20) Учитывая начальные условия (5.19), получим: (5.21) (5.22) Интегрируя уравнение (5.22), получим: (5.23) Решая уравнение (5.23) совместно с уравнением (5.21) будем иметь: (5.24) (5.25) Учитывая, что функции и определены для любого аргумента, заменяем x в уравнении (5.24) на и в уравнении (5.25) на Подставляя полученные выражения в уравнение (5.20), получим: Или (5.26) Выражение (5.26) называется формулой Даламбера или решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Она показывает также существование и единственность решения данной задачи. Выясним физический смысл полученного решения. Рассмотрим два частных случая. Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в формуле (5.26) надо положить . Тогда (5.27) Колебание можно рассматривать как наложение (суперпозицию) колебаний двух волн: · первая волна распространяется со скоростью a вправо (прямая волна); · вторая волна распространяется с той же скоростью влево (обратная волна). В начальный момент времени t = 0 профили обеих волн совпадают и повторяют начальное отклонение струны с половинной амплитудой. Пусть теперь начальное смещение а отлично от нуля в промежутке , а вне этого промежутка . В таком случае говорят, что струна имеет только начальный импульс (волна импульса). Тогда в соответствии с (5.26) решение имеет вид: (5.28) Рассмотрим функцию (5.29) Используя выражение (5.29), запишем уравнение (5.28) в виде: (5.30) То есть, по струне распространяются две волны импульса: прямая и обратная , а результирующая волна является суммой (суперпозицией) этих волн. Вывод: действие импульса заключается в том, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, определяемый интегралом (5.28) и остаются в этом положении. Волна как бы оставляет след после своего прохождения. Полученные результаты для колебаний бесконечной струны не могут быть применены к реальному колебанию физической струны. Действительно, при их выводе не были учтены многие факторы. В частности, опыт учит нас, что струна какой угодно длины, выведенная из положения равновесия или ударенная, колеблется. Законы колебания бесконечной струны (5.27) и (5.28) этого не показывают, потому что колебания конечной струны происходят вследствие отражения отклонений от закрепленных концов струны, а при рассмотрении бесконечной струны мы не учитываем влияния концов. Поэтому практически решения уравнений (5.27) и (5.28) применимы только для таких моментов t, для которых отклонения точек струны не успели дойти до ее концов. Кроме того, начальные функции и должны быть такими, чтобы в течение всего процесса было малой величиной, которой можно пренебречь по сравнению с единицей. Лекция 7 Теория корреляции Теория корреляции изучает связь между несколькими признаками и выявляет направление и тесноту этой связи, а так же позволяет строить модели исследуемых процессов и составлять прогнозы протекания этих процессов. Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от случайной величины X. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае статистическую зависимость называют корреляционной. Корреляционная зависимость может быть двух типов: линейной и криволинейной. Рассмотрим более подробно линейную корреляционную зависимость. Линейная корреляционная зависимость (корреляция) между признаками Х и У выражается уравнением вида: Такое уравнение называется уравнением регрессии У на Х, а соответствующая прямая – выборочной линией регрессии. Неизвестные параметры находят из системы уравнений Уравнение корреляционной зависимости можно получить из уравнения вида |