Математика. Лекция 1 Множества и отображения
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное уравнение ) ( 2 1 x f y a y a y , (1) где 1 a и 2 a – заданные постоянные коэффициенты. Нам уже известно, что общее решение такого уравнения складывается из общего решения x y * , соответствующего однородного уравнения 0 2 1 y a y a y (2) и какого-нибудь частного решения x Y уравнения (1), т.е. ) ( * ) ( x y x Y y (3) Как строить общее решение x y * однородного уравнения (2), мы рассмотрим в предыдущем параграфе. Поэтому теперь вопрос об общем решении уравнения (1) сведен лишь к вопросу о построении хотя бы какого- нибудь частного решения x Y уравнения (1). Вообще говоря, x Y можно, например, угадать. Но такой способ определения x Y очень ненадежен. Мы укажем сейчас точные способы, которые всегда приводят к цели. А. Правая часть уравнения (1) имеет специальный вид Рассмотрим функцию: x n x P x n x P e x m sin ) ( cos ) ( 2 1 , (4) где ) ( ), ( 2 1 x P x P – полиномы, а числа m и n – вещественные любые. По виду этой функции составим «контрольное число» n i m r k Пусть корни характеристического уравнения будут 1 и 2 Определим число k следующим образом: 1) 0 k , если контрольное число не совпадает ни с одним из корней 2 1 , ; 2) 1 k , если r k совпадает с одним из корней 2 1 , ; 3) 2 k , если r k 2 1 Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид: x n x P x n x P e x f x m sin ) ( cos ) ( ) ( 2 1 (5), то частное решение следует искать в форме x n x R x n x R e x x Y x m k sin ) ( cos ) ( ) ( 2 1 (6), где ) ( 1 x R и ) ( 2 x R – полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов ) ( 1 x P и ) ( 2 x P Схема нахождения x Y : 1) зная вид x f , записывают x Y в форме (3), причем полиномы и ) ( 1 x R и ) ( 2 x R записываются с неопределенными коэффициентами; 2) подставляют x Y в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов ) ( ), ( 2 1 x R x R . Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты. 3) Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят x Y Замечания: 1. Если функция имеет вид: x n x P e x f x m cos ) ( ) ( 1 или x n x P e x f x m sin ) ( ) ( 2 , то частное решение x Y все равно ищется в виде (6) x n x R x n x R e x x Y x m k sin ) ( cos ) ( ) ( 2 1 x n x P cos ) ( 1 x n x P cos ) ( 1 2. Если 0 n , то x n x P e x f x m cos ) ( ) ( 1 . В этом случае частное решение ищется в форме: x m k e x R x x Y ) ( ) ( 1 . При этом степень ) ( 1 x R равна степени ) ( 1 x P и m r k 3. Если 0 m , то x n x P x n x P x f sin ) ( cos ) ( ) ( 2 1 , а x Y имеет вид n i r k x n x R x n x R x x Y k , sin ) ( cos ) ( ) ( 2 1 Пример. x x y y sin 4 Здесь: i n i m r k n x x P m , 1 , 4 ) ( , 0 Характеристическое уравнение i i 2 1 2 , , 0 1 Следовательно, 1 k Поэтому x Y следует искать в виде: x D Cx x B Ax x x Y sin ) ( cos ) ( ) ( Отсюда x D Cx x B Ax x A x x D Cx x B Ax x Y cos ) ( sin ) ( cos sin ) ( cos ) ( ) ( x B C x D A Cx x D A x B C Ax x Y sin ) 2 2 ( ) 4 ( cos ) 2 2 ( ) 4 ( ) ( 2 2 Подставляя в уравнение ) (x Y и ) (x Y , находим: x x x B C Ax x D A Cx sin 2 sin ) ( 2 cos ) ( 2 Отсюда 0 , 2 2 , 0 , 0 2 B C A D A C или 1 , 0 , 0 , 1 D B A Следовательно, ) sin cos ( ) ( x x x x x Y В. Метод вариации произвольных постоянных В пункте А был изложен метод построения x Y для специального вида x f . Метод вариации произвольных постоянных применим для функции x f любого вида. Итак, рассмотрим уравнение (1): ) ( 2 1 x f y a y a y , где x f – любая функция (непрерывная). Пусть нам известно общее решение однородного уравнения (2) 2 2 1 1 2 1 * , 0 y c y c y y a y a y (7) где 2 1 , c c – произвольные постоянные, а 1 y и 2 y – частные решения уравнения (2). Будем искать частное решение уравнения (1) в виде 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( y x c y x c x Y , (8) т.е. в таком же виде, как общее решение (7), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку x Y должно быть решением уравнения (1), то функции 1 с и 2 с связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие по произволу. Найдем производную ) (x Y 2 2 1 1 2 2 1 1 ) ( y c y c y c y c x Y (9) Потребуем, чтобы ) (x Y имело бы такой же вид, как если бы 1 с и 2 с были бы постоянными. Отсюда следует, что должно быть 0 2 2 1 1 y c y c (10) Тогда y c y c x Y 2 1 1 ) ( (11) Найдем ) (x Y 2 2 1 1 2 2 1 1 ) ( y c y c y c y c x Y (12) Подставляя Y Y , и Y определенные формулами (9), (11) и (12), в уравнение (1), тогда получим: ) ( 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x f y c y c a y c y c a y c y c y c y c или ) ( 2 2 1 1 0 2 2 2 1 2 2 0 1 2 1 1 1 1 x f y c y c y a y a y c y a y a y c Но 1 y и 2 y суть решения однородного уравнения (2), поэтому имеем ) ( 2 2 1 1 x f y c y c (13) Таким образом, 1 с и 2 с определяются из (10) и (13), т.е. из системы уравнений ) ( 0 2 2 1 1 2 2 1 1 x f y c y c y c y c (14) Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно 1 с и 2 с с определителем 2 1 2 1 y y y y Это определитель Вронского, по доказанному ранее 0 , поэтому система (14) имеет единственное решение. Определение из (14) 1 с и 2 с интегрируя их, найдем ) ( 1 x с и ) ( 2 x с , а затем и x Y Замечание. Если при интегрировании 1 с и 2 с ввести произвольные постоянные, то сразу получим общий интеграл неоднородного уравнения (1). Пример. x tg y y Соответствующее однородное 0 y y Характеристическое уравнение i i 2 1 2 , , 0 1 Общее решение однородного уравнения x c x c y sin cos * 2 1 x y x y sin , cos 2 1 Частное решение заданного уравнения ищем в виде x x c x x c y x c y x c Y sin ) ( cos ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 1 1 , где ) ( 1 x с и ) ( 2 x с определяются из системы: x tg x x c x x c x x c x x c cos ) ( sin ) ( 0 sin ) ( cos ) ( 2 1 2 1 Отсюда x x c x x x c sin ) ( , cos sin ) ( 2 2 1 1 2 1 2 4 ln sin cos sin ) ( c x tg x dx x x x c 2 2 cos sin ) ( c x dx x x c Общее решение будет x c x x c x tg x y sin ) cos ( cos 2 4 ln sin 2 1 или ) x ( Y * y x tg ln x cos x sin c x cos c y 2 4 2 1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости 1.1. Числовой ряд и его сумма Определение 1. Пусть дана числовая последовательность , , , , 2 1 n a a a Образуем выражение 1 2 1 ; ( ) , n n n n a a a a a R (1) которое называетсячисловым рядом. Числа ( 1, 2,3, ) n a n называются членами ряда, а выражение ) (n f a n общим членом ряда. Пример 1. Найти общий член ряда 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 . При 2 1 1 1 a n , при 2 2 1 1 2 4 2 n a , при 3 3 1 1 3 8 2 n a Нетрудно заметить, что общий член ряда n n a 2 1 . Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 2 n n . Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом: 1 1 a S ; 2 1 2 a a S ; 3 2 1 3 a a a S ; … n n a a a a a S 4 3 2 1 . Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот- ветствующего числа первых членов числового ряда. Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммойчислового ряда. Определение 3. Числовой ряд 1 n n a называется сходящимся, если S S n n lim , где число S называется суммой ряда, и пишут 1 n n a S . Если предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся. Пример 2.Проверить на сходимость ряд 1 ) 1 ( 1 n n n . Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму n S представим общий член ) 1 ( 1 n n a n ряда 1 ) 1 ( 1 n n n в виде суммы простейших дробей 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 n B n A n n n B n A n B n A n n a n Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици- ентов А и В 1 : ; 0 : 0 A n B A n Отсюда находим, что 1 A , а 1 B . Следовательно, общий член ряда имеет вид 1 1 1 ( 1) 1 n a n n n n Тогда частичную сумму n S можно представить в виде 1 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 4 3 2 1 n n n n a a a a a S n n . После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид 1 1 1 n S n . Вычислим сумму ряда 1 1 lim lim 1 lim1 lim 1 0 1. 1 1 n n n n n S S n n Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится. Пример 2.Проверить на сходимость ряд 2 n a aq aq aq бесконечную геометрическую прогрессию. Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна 1 n n a aq S q . Тогда имеем следующие случаи: 1. Если | | 1 q , то lim 0 lim lim 1 1 1 n n n n n n a aq a q S q q q 2. Если | | 1 q , то n n n n S q lim lim , т.е. ряд расходится. 3. Если 1 q , то ряд имеет вид a a a a и тогда lim n n n S na S , т.е. ряд расходится. 4. Если 1 q , то ряд имеет вид a a a a и тогда 0 n S , если частичная сумма имеет четное число членов и n S a , если нечѐтное число, т.е. lim n n S не существует, следовательно, ряд расходится. Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой n S называется остатком ряда и обозначается n n r S S , т.е. 1 n k k n a r Так как для сходящихся рядов lim n n S S , то lim lim( ) 0 n n n n r S S , т.е. n r будет б.м.в. при n . Таким образом, значение n S является приближенным значением суммы ряда. Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов: 1. Если ряды 1 n n a и 1 n n b сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и Q , то сходится ряд 1 n n n Bb Aa , где const B A , , а его сумма равна A S + B Q . 2. Если сходится ряд 1 n n a , то сходится и ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное. 1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд Теорема Если ряд 1 n n a сходится, то общий член ряда стремится к нулю при n , т.е. lim 0 n n a . Действительно, имеем 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n S S a a a a a a a a , тогда 1 lim lim lim 0 n n n n n n a S S S S , что и требовалось доказать. Следствие. Если же lim 0 n n a , то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже. Определение 5. Ряд вида 1 1 n n называется гармоническим. Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как 1 lim 0 n n . В то же время он является расходящимся. Покажем это 1 4 1 4 1 2 1 1 16 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 n n 2 lim 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 16 1 16 1 8 1 8 1 n n Таким образом, гармонический ряд расходится. |