Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
2 = x 2j }, где x 1i и x 2j — значения случайных величин X 1 и X 2 соответственно. Чтобы построить ряд распределения дискретной случайной величины Y = ϕ(X 1 , X 2 ), необходи- мо, во-первых, не учитывать все те значения ϕ(x 1i , x 2j ), вероятность принять которые случайной величине Y равна нулю, а во-вторых, объединить в один столбец все одинаковые значения ϕ(x 1i , x 2j ) случайной величины Y , приписав этому столбцу суммарную вероятность. Пример 9.1 Пусть Y — случайная величина, равная суммарному числу успехов в двух испытаниях по схеме Бернулли, а X i — число успехов в i-м испытании, i = 1,2. Тогда Y = X 1 + X 2 и ϕ(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 . Поскольку X i могут принимать только значения 0 или 1, то случайная величина Y может принимать четыре значения: ϕ(0, 0) = 0 + 0 = 0, ϕ(1, 0) = 1 + 0 = 1, ϕ(0, 1) = 0 + 1 = 1, ϕ(1, 1) = 1 + 1 = 2. с вероятностями q 2 , pq, qp и p 2 соответ- ственно, где p — вероятность успеха в одном испытании, q = 1 − p (табл. 9.1, см. также пример 8.3 и табл. 8.2). Y ϕ(0, 0) = 0 ϕ(1, 0) = 1 ϕ(0, 1) = 1 ϕ(1, 1) = 2 P Y q 2 pq qp p 2 Таблица 9.1. Заметим, что двум средним столбцам соответствует одно и то же значение 1 случайной величины Y , и их необходимо объединить. Окончательно полу- чаем ряд распределения случайной величины Y , представленный в табл. 9.2. Как и следовало ожидать, суммарное число успехов Y 0 1 2 P Y q 2 2pq p 2 Таблица 9.2. Y в двух испытаниях имеет биномиальное распределение. # В том случае, когда (X 1 ; X 2 ) — двумерная непрерывная случайная величина с плотностью рас- пределения p X 1 ,X 2 (x 1 , x 2 ), функцию распределения случайной величины Y = ϕ(X 1 , X 2 ) можно найти по формуле F Y (y) = ZZ ϕ(x 1 ,x 2 ) p X 1 ,X 2 (x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 , (9.1) 41 где область интегрирования состоит из всех значений x 1 и x 2 , для которых ϕ(x 1 , x 2 ) < y. Поясним геометрически вывод формулы (9.1). Пусть поверх- ность, определенная функцией y = ϕ(x 1 , x 2 ), имеет вид “чаши” (см. рис. 9.1) и y — произвольное значение случайной величины Y = ϕ(X 1 , X 2 ). Проведем плоскость π, проходящую через точку (0; 0; y) и ортогональную оси Oy. Обозначим через L линию пересе- чения плоскости π и поверхности y = ϕ(x 1 , x 2 ); L 0 — ее проекцию на плоскость x 1 Ox 2 ; D(y) — ту часть плоскости x 1 Ox 2 , попадание в которую случайного вектора (X 1 ; X 2 ) ведет к реализации события Рис. 9.1. {Y < y}. Поскольку Y = ϕ(X 1 , X 2 ), то D(y) = {(x 1 ; x 2 ) : ϕ(x 1 , x 2 ) < y} = {ϕ(x 1 , x 2 ) < y}. События {Y < y} и {(X 1 ; X 2 ) ∈ D(y)} совпадают, и в соответствии со свойством 6 двумерной плот- ности распределения P{Y < y} = P{(X 1 ; X 2 ) ∈ D(y)} = ZZ ϕ(x 1 ,x 2 ) p X 1 ,X 2 (x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 . Учитывая равенство P{Y < y} = F Y (y), приходим к формуле (9.1). Пример 9.2 Пусть (X 1 ; X 2 ) — двумерный случайный вектор, имеющий стандартное двумерное нормальное распределение (см. определение многомерного нормального распределения на с. 55). Найдем распределение случайной величины Y = p X 2 1 + X 2 2 . В этом случае ϕ(x 1 , x 2 ) = p x 2 1 + x 2 2 . Очевидно, что F Y (y) = 0, y 6 0; ZZ √ x 2 1 +x 2 2 1 2π e − 1 2 (x 2 1 +x 2 2 ) dx 1 dx 2 , y > 0. Переходя к полярным координатам ρ и ϕ, имеем F Y (y) = y Z 0 dρ 2π Z 0 1 2π e −ρ 2 /2 ρdϕ = y Z 0 ρe −ρ 2 /2 dρ = 1 − e −y 2 /2 , y > 0. Это распределение известно как распределение Релея. Математическое ожидание функции от случайного вектора Математическое ожидание MY функции Y = ϕ(X 1 , X 2 ) от дискретной двумерной случайной вели- чины (X 1 ; X 2 ) можно найти, воспользовавшись формулой MY = Mϕ(X 1 , X 2 ) = X i, j ϕ(x i , y j )p ij , где p ij = P{X 1 = x i , X 2 = y j }, а функции Y = ϕ(X 1 , X 2 ) от двумерной непрерывной случайной вели- чины (X 1 , X 2 ) — формулой MY = Mϕ(X 1 , X 2 ) = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ ϕ(x, y)p X 1 ,X 2 (x, y) dxdy, (9.2) где p X 1 ,X 2 (x, y) — совместная плотность распределения случайных величин X 1 и X 2 Свойства математического ожидания Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания. Теорема 9.1 Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то MC = C. 2. M(aX + b) = aMX + b, где a, b — постоянные. 3. M(X 1 + X 2 ) = MX 1 + MX 2 . 4. M(X 1 X 2 ) = MX 1 · MX 2 для независимых случайных величин X 1 и X 2 . 42 Доказательство. Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью единица, то MC = C · 1 = C, откуда следует утверждение 1. Доказательство свойств 2 и 4 проведем для непрерывных случайных величин (для дискретных случайных величин предлагаем читателю провести самостоятельно), а свойство 3 докажем для дискретных случайных величин (для непрерывных — доказать самостоятельно). Найдем математическое ожидание случайной величины Y = aX + b (Y = ϕ(x) = ax + b): MY = M(aX + b) = +∞ Z −∞ (ax + b)p X (x) dx = a +∞ Z −∞ xp X (x) dx + b +∞ Z −∞ p X (x) dx = aMX + b · 1, т.е. приходим к утверждению 2. Пусть теперь Y = X 1 + X 2 (Y = ϕ(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 ). Тогда MY = M(X 1 + X 2 ) = X i,j (x i + y j )p ij = X i,j x i p ij + X i,j y j p ij = X i x i X j p ij + X j y j X i p ij = = X i x i p X 1 i + X j y j p X 2 j = MX 1 + MX 2 , и, значит, утверждение 3 доказано. Наконец, если X 1 и X 2 независимые случайные величины, то для математического ожидания их произведения Y = X 1 X 2 (воспользовавшись формулой 9.2 и теоремой 8.3) имеем: MY = M(X 1 X 2 ) = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ x 1 x 2 p X 1 ,X 2 (x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ x 1 x 2 p X 1 (x 1 )p X 2 (x 2 ) dx 1 dx 2 = = +∞ Z −∞ x 1 p X 1 (x 1 ) dx 1 +∞ Z −∞ x 2 p X 2 (x 2 ) dx 2 = MX 1 MX 2 . Замечание 9.1 Свойство 4 также допускает обобщение на произведение конечного числа незави- сисмых (в совокупности) случайных величин: M(X 1 · X 2 . . . X n ) = MX 1 · MX 2 . . . MX n . Пример 9.3 Представим число успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли в виде X = X 1 + . . . + X n , где X i — число успехов в i-м испытании. Нетрудно видеть, что MX i = 0 · q + 1 · p = p. Значит, в силу свойства 3 MX = MX 1 + . . . + MX n = np, что совпадает с результатами примера 7.1, но получено с минимальными вычислениями. # Определение 9.2 Вектор m = (MX 1 ; . . . ; MX n ) называют вектором математических ожи- даний (средних значений) случайного вектора X. Свойства дисперсии Теорема 9.2 Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью единица, то DC = 0. 2. D(aX + b) = a 2 DX. 3. DX = MX 2 − (MX) 2 . 4. D(X + Y ) = DX + DY для независимых случайных величин X и Y . Доказательство. Если случайная величина X с вероятностью единица принимает всего одно значение C, то в силу свойства 1 математического ожидания (MX = C) получаем DX = M(X − C) 2 = (C − C) 2 · 1, откуда вытекает утверждение 1. Определим дисперсию случайной величины Y = aX + b. Используя свойство 2 математического ожидания, имеем DY = M(Y − MY ) 2 = M ¡ aX + b − M(aX + b) ¢ 2 = M(aX + b − aMX − b) 2 = M ¡ a(X − MX) ¢ 2 = = M ¡ a 2 (X − MX) 2 ¢ = a 2 M(X − MX) 2 . Поэтому справедливо утверждение 2. 43 Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем DX = M(X − MX) 2 = M ¡ X 2 − 2XMX + (MX) 2 ¢ = MX 2 − 2(MX) 2 + (MX) 2 = MX 2 − (MX) 2 , т.е. приходим к утверждению 3. Наконец, пусть X и Y — независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин X = X − MX и Y = Y − MY , а также свойства 2–4 математического ожидания, получаем D(X + Y ) = M ¡ X + Y − M(X + Y ) ¢ 2 = M ¡ (X − MX) + (Y − MY ) ¢ 2 = M(X − MX) 2 + + 2M ¡ (X − MX)(Y − MY ) ¢ + M(Y − MY ) 2 = DX + 2(M o X · M o Y ) + DY = DX + DY, поскольку M o X= 0 и M o Y = 0. Значит, имеет место утверждение 4. Замечание 9.2 Можно показать, что справедливо и свойство, обратное свойству 1, а следователь- но, имеет место утверждение: дисперсия случайной величины X равна нулю тогда и только тогда, когда X с вероятностью 1 принимает всего одно значение. Замечание 9.3 Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа n попарно независимых случайных величин D(X 1 + . . . + X n ) = DX 1 + . . . + DX n . Нетрудно видеть, что дисперсия DX имеет размерность квадрата размерности случайной вели- чины X. Для практических же целей удобно иметь величину, характеризующую разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, размерность которой совпадает с раз- мерностью X. В качестве такой величины естественно использовать σ = √ DX, которую называют средним квадратичным отклонением случайной величины X. Формула свертки Важную роль в теории вероятностей и ее применениях играет тот случай, когда X 1 и X 2 являются независимыми случайными величинами, т.е. их двумерная плотность распределения p X 1 ,X 2 (x 1 , x 2 ) = p X 1 (x 1 )p X 2 (x 2 ) (мы ограничиваемся здесь только случаем непрерывных случайных величин), а случайная величина Y является их суммой: Y = X 1 + X 2 . Тогда Y = ϕ(X 1 , X 2 ), где ϕ(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 , и, согласно формуле (9.1), находим: F Y (y) = ZZ x 1 +x 2 p X 1 ,X 2 (x 1 , x 2 )dx 1 dx 2 = ZZ x 1 +x 2 p X 1 (x 1 )p X 2 (x 2 )dx 1 dx 2 = = +∞ Z −∞ p X 1 (x 1 )dx 1 y−x 1 Z −∞ p X 2 (x 2 )dx 2 = +∞ Z −∞ F X 2 (y − x 1 )p X 1 (x 1 ) dx 1 . Дифференцируя последнюю формулу по y под знаком интеграла, получаем (с учетом переобо- значения x 1 = x) выражение для плотности p Y (y) распределения суммы X 1 и X 2 : p Y (y) = +∞ Z −∞ p X 2 (y − x)p X 1 (x) dx. (9.3) В этом случае говорят, что плотность распределения p Y (y) случайной величины Y является сверт- кой (композицией) плотностей распределения p X 1 (x) и p X 2 (x) слагаемых X 1 и X 2 или что закон распределения суммы двух независимых случайных величин является сверткой (ком- позицией) законов распределения слагаемых. Соотношение (9.3) условно записывают в виде p Y = p X 2 ∗ p X 1 . Формулу (9.3) называют формулой свертки для плотностей распределения слу- чайных величин X 1 и X 2 44 |