Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
X; Y ) будем предполагать для простоты изложения, что множества возможных значений случайных величин X и Y являются конечными, т.е. X и Y принимают значения x i , i = 1, n, и y j , j = 1, m, соответственно. В этом случае, как мы знаем, закон распределения двумерного случайного вектора (X; Y ) удобно задавать набором вероятностей p ij = P{X = x i , Y = y j } для всех значений i и j. Напомним, что, зная вероятности p ij , нетрудно найти (см. 8.1) законы распределений каждой из координат по формулам p Xi = P{X = x i } = m X j=1 p ij , p Y j = P{Y = y j } = n X i=1 p ij . Определение 11.1 Для двумерной дискретной случайной величины (X; Y ) условной вероят- ностью π ij , i = 1, n, j = 1, m, того, что случайная величина X примет значение x i при условии Y = y j , называют условную вероятность события {X = x i } при условии события {Y = y j }, т.е. π ij = P{X = x i |Y = y j } = P{X = x i , Y = y j } P{Y = y j } = p ij p Y j . (11.1) При каждом j, j = 1, m, набор вероятностей π ij , i = 1, n, определяет, с какими вероятностями случайная величина X принимает различные значения x i , если известно, что случайная величина Y приняла значение y j . Иными словами, набор вероятностей π ij , i = 1, n, характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии Y = y j Аналогично определяют условную вероятность π ∗ ij того, что случайная величина Y примет зна- чение y j при условии X = x i : π ∗ ij = P{Y = y j |X = x i } = P{X = x i , Y = y j } P{X = x i } = p ij p Xi . 50 Пример 11.1 Условное распределение числа X 1 успехов в первом испытании по схеме Бернулли (см. пример 8.3) при условии, что число успехов во втором испытании X 2 = j, j = 0, 1, задается табл. 11.1. Из этой таблицы следует, что, независимо от числа успехов во втором испытании, 0 или 1 успех в первом испытании происходит с одними и теми же вероятностями p и q. Это очевидно, поскольку испытания по схеме Бернулли являются независимыми. X 2 X 1 0 1 P X 1 0 q q q 1 p p p P X 2 q p Таблица 11.1. В общем случае (т.е. когда X и Y не обязательно дискретные случайные величины) хотелось бы ввести условную функцию распределения случайной величины X при условии Y = y по формуле F X (x|Y = y) = P{X < x, Y = y} P{Y = y} . (11.2) Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие {Y = y} имеет нулевую вероятность, т.е. P{Y = y} = 0). Поэтому воспользуемся предельным переходом, рассматривая вместо события {Y = y} событие {y 6 Y < y + ∆} и устремляя ∆ к нулю. Ограничимся случаем, когда двумерный случайный вектор (X; Y ) имеет непрерывную совмест- ную плотность распределения p(x, y), а следовательно (cм. теорему 8.3), и плотности распределения p X (x) = +∞ Z −∞ p(x, y) dy и p Y (y) = +∞ Z −∞ p(x, y) dx, случайных величин X и Y , которые также будем считать непрерывными. Определим условную вероятность события {X < x} при условии события {y 6 Y < y + ∆ y}: P{X < x|y 6 Y < y + ∆ y} = P{X < x, y 6 Y < y + ∆ y} P{y 6 Y < y + ∆ y} = F (x, y + ∆ y) − F (x, y) F Y (y + ∆ y) − F Y (y) = y+∆y R y dv x R −∞ p(u, v) du y+∆y R y p Y (v) dv . Можно показать, что в силу сделанных предположений функция x R −∞ p(u, v) du является непре- рывной. Поэтому, согласно теореме о среднем значении, y+∆y Z y dv x Z −∞ p(u, v) du = ∆ y x Z −∞ p(u, ξ)du, y+∆y Z y p Y (v)dv = p Y (η) ∆ y и, следовательно, P{X < x|y 6 Y < y + ∆ y} = x R −∞ p(u, ξ) du p Y (η) , где ξ и η — некоторые числа, заключенные между y и y + ∆ y. Устремляя теперь ∆ y к нулю, получаем следующие выражения для условной функции рас- пределения F X (x|Y = y): F X (x|Y = y) = lim ∆y→0 P{X < x|y 6 Y < y + ∆ y} = x R −∞ p(u, y) du p Y (y) = 1 p Y (y) x Z −∞ p(u, y) du. (11.3) При сделанных предположениях о непрерывности случайного вектора (X; Y ) условная функция распределения F X (x|Y = y) имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распреде- ления случайной величины X при условии Y = y: p X (x|y) = p(x, y) p Y (y) . (11.4) Аналогично определяют условную функцию распределения F Y (y|X = x) и условную плотность распределения p Y (y|X = x) случайной величины Y при условии X = x: F Y (y|X = x) = 1 p X (x) y Z −∞ p(x, v) dv, (11.5) 51 p Y (y|x) = p(x, y) p X (x) . (11.6) Для краткости далее вместо p X (x|Y = y) и p Y (y|X = x) будем писать p X (x|y) и p Y (y|x). Итак, для непрерывного случайного вектора (X; Y ) мы пришли к следующему определению условной плотности распределения. Определение 11.2 Условной плотностью распределения случайной величины X, являю- щейся координатой двумерного случайного вектора (X; Y ), при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение y, т.е. Y = y, называют функцию p X (x|y), определяе- мую соотношением (11.4). Аналогично (см. (11.6) определяют условную плотность распределения p Y (y|x) координаты Y при условии X = x. Введенные понятия — условное распределение (дискретной случайной величины), условная функция распределения и условная плотность распределения (для непрерывных случайных ве- личин) — называют условными законами распределения. Пример 11.2 Пусть случайные величины X 1 и X 2 представляют собой координаты точки падения частицы, случайным образом брошенной в круг радиуса R с центром в начале координат (см. пример 8.4). Случайный вектор (X 1 ; X 2 ) имеет плотность распределения p(x 1 , x 2 ) = ( 0, x 2 1 + x 2 2 > R 2 ; 1 πR 2 , x 2 1 + x 2 2 6 R 2 . Найдем условную плотность распределения абсциссы X 1 точки падения частицы при условии, что ордината X 2 приняла значение x 2 . Так как плотность распределения p X 2 (x 2 ) случайной вели- чины X 2 имеет вид p X 2 (x 2 ) = 0, |x 2 | > R; 2 q R 2 − x 2 2 πR 2 , |x 2 | 6 R, то при |x 2 | 6 R p X 1 (x 1 |x 2 ) = p(x 1 , x 2 ) p X 2 (x 2 ) = 0, |x 1 | > p R 2 − x 2 2 ; 1 2 q R 2 − x 2 2 , |x 1 | 6 p R 2 − x 2 2 . Поэтому, случайная величина X 1 при условии X 2 = x 2 равномерно распределена на отрезке £ − p R 2 − x 2 2 , p R 2 − x 2 2 ¤ . Если |x 2 | > R, то условная плотность распределения p X 1 (x 1 |x 2 ) не опре- делена; но это нас не должно волновать, поскольку случайная величина X 2 не может принимать значения, по абсолютной величине большие R. # Для проверки независимости случайных величин часто удобно пользоваться следующим крите- рием. Критерий независимости случайных величин X и Y . Случайные величины X и Y явля- ются независимыми тогда и только тогда, когда условное распределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины X при условии Y = y совпадает с безусловным рас- пределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины X. В частности, дискретные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда все условные вероятности π ij = P{X = x i |Y = y j } совпадают с безусловными вероятностями p X i = P{X = x i }. Пример 11.3 В двух испытаниях по схеме Бернулли (см. пример 11.1) числа успехов X 1 и X 2 в пер- вом и втором испытаниях являются независимыми случайными величинами, поскольку в табл. 11.1 все три столбца совпадают. Этот факт нами уже был установлен другим способом в примере 8.5. Пример 11.4 Условная плотность распределения случайной величины X 1 (абсциссы точки паде- ния при равномерном бросании частицы в круг, см. пример 11.2) при условии X 2 = x 2 (ординаты точки падения) равномерна, в то время как безусловная плотность X 1 таковой не является. И в этом примере X 1 и X 2 зависимые случайные величины. 52 Условные числовые характеристики Рассмотрим двумерную случайную величину (X; Y ). В соответствии с результатами предыдущего параграфа можно определить условное распределение случайной величины X при условии, что слу- чайная величина Y приняла определенное значение y. Поскольку условное распределение обладает всеми свойствами обычного (безусловного) распределения, то по нему можно определить матема- тическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики, которые естественно назвать условными. Начнем со случая дискретной случайной величины (X; Y ). Пусть случайная величина X при- нимает значения x 1 , . . . , x n , а случайная величина Y — значения y 1 , . . . , y m и пусть π ij = P{X = x i |Y = y j } = P{X = x i , Y = y j } P{Y = y j } = p ij p Y j , i = 1, n, j = 1, m, условные вероятности случайной величине X принять значение x i при условии Y = y j Определение 11.3 Для дискретной двумерной случайной величины (X; Y ) значением M(X | Y = y j ) условного математического ожидания дискретной случайной величины X при условии Y = y j , называют число M(X|Y = y j ) = n X i=1 x i π ij . Далее для краткости будем писать M(X|y j ) вместо M(X|Y = y j ). По аналогии с (безусловным) математическим ожиданием MX случайной величины X значе- ние M(X|y j ) условного математического ожидания при условии Y = y j задает “среднее” значение случайной величины X, но при условии, что случайная величина Y приняла значение y j Таким же образом интерпретируют значение M(Y |x i ) = M(Y |X = x i ) условного математического ожидания случайной величины Y при условии X = x i Согласно определению 11.3, значение M(X|y j ) условного математического ожидания зависит от значения y j случайной величины Y , и только от него. Вспоминая понятие функции от случайной величины, приходим к следующему определению условного математического ожидания. Определение 11.4 Условным математическим ожиданием M(X|Y ) дискретной случай- ной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(X|Y ) = g(Y ) от случайной величины Y , где область определения функции g(y) совпадает с множеством значений y 1 , . . . , y m случайной величины Y , а каждому значению y j аргумента y поставлено в соот- ветствие число g(y j ) = M(X|y j ). Подчеркнем еще раз, что условное математическое ожидание M(X|Y ) является функцией от случайной величины, т.е. также случайной величиной. Приведем примеры. Пример 11.5 Пусть X 1 и X 2 — числа успехов в первом и втором испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Найдем M(X 1 |X 2 ). Воспользовавшись табл. 11.1, имеем: M(X 1 |0) = 0 · q + 1 · p = p, M(X 1 |1) = 0 · q + 1 · p = p. Таким образом, значения M(X 1 |0) и M(X 1 |1) условного математического ожидания совпадают для обоих значений 0 и 1 случайной величины X 2 и равны p. Поэтому M(X 1 |X 2 ) ≡ p. Определение 11.5 Для непрерывной двумерной случайной величины (X; Y ) значением M(X|y) = M(X|Y = y) условного математического ожидания непрерывной случайной вели- чины X при условии Y = y называют число M(X|y) = +∞ Z −∞ xp X (x|y) dx, где p X (x|y) = p(x, y) p Y (y) является условной плотностью распределения случайной величины X при условии Y = y. Определение 11.6 Для непрерывной двумерной случайной величины (X; Y ) условным мате- матическим ожиданием M(X|Y ) непрерывной случайной величины X относительно случайной величины Y называют функцию g(Y ) = M(X|Y ) от случайной величины Y , принимающую значение g(y) = M(X|y) при Y = y. 53 Проверьте самостоятельно, что свойства условного математического ожидания, выведенные для дискретного случая, справедливы и для непрерывного (исключение составляет свойство 1, посколь- ку непрерывная случайная величина не может принимать всего одно значение). Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что зависимость поведения “в среднем” случайной величины |