Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
, ω 3 }, {ω 1 , ω 4 }, {ω 2 , ω 3 }, {ω 2 , ω 4 }, {ω 3 , ω 4 }, {ω 1 , ω 2 , ω 3 }, {ω 1 , ω 2 , ω 4 }, {ω 1 , ω 3 , ω 4 }, {ω 2 , ω 3 , ω 4 }, Ω = {ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 }, то алгебра событий будет содержать все подмножества Ω, включая Ω (достоверное событие) и ∅ (невозможное событие). 5 Лекция 2 Вероятность Говоря о событиях, мы с различной степенью уверенности относимся к возможности их наступле- ния. Так, с большей уверенностью можно утверждать, что при однократном подбрасывании монеты выпадет “герб”, чем при однократном бросании игральной кости — 6 очков. Говорят, что первое со- бытие более вероятно, чем второе. Что же такое вероятность события? Напрашивается каждому событию A поставить в соответ- ствие число P(A), которое будет являться мерой возможности его появления. Если принять P(Ω) = 1, а P(∅) = 0 (хотя можно было взять другую единицу измерения), то тогда для любого события A естественно ожидать, что 0 6 P(A) 6 1. Определение вероятности как меры возможности появления события в современной математике вводится на основании аксиом. Но, прежде чем перейти к аксиоматическому определению, остано- вимся на нескольких других определениях, которые исторически возникли раньше. Они, с одной стороны, позволяют лучше понять смысл аксиоматического определения, а с другой — во многих случаях являются рабочим инструментом для решения практических задач. Приведем их, следуя хронологическому порядку появления. Классическое определение вероятности В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных исхо- дов Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновозможности поясним следующим образом. Элементарные исходы в некотором опыте называют равновозможными, если в силу усло- вий проведения опыта можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто на- зывают также “классической схемой”. Пусть N — общее число равновозможных элементарных исходов в Ω, а N A — число элементар- ных исходов, образующих событие A (или, как говорят, благоприятствующих событию A. Определение 2.1 Вероятностью события A называют отношение числа N A благоприятству- ющих событию A элементарных исходов к общему числу N равновозможных элементарных исходов, т.е. P(A) = N A N . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности. Заметим, что наряду с названием “классическая схема” используют также названия “случайный выбор”, “равновероятный выбор” и т.д. Пример 2.1 Из урны, содержащей k = 10 белых и l = 20 черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. Требуется найти вероятность P(A) события A, заключающе- гося в том, что из урны извлечен белый шар. Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне N = k + l = 30, причем все исходы равновозможны, а число благоприятствующих событию A исходов N A = k = 10. Поэтому в соответствии с определением классической вероятности P(A) = k k + l = 1 3 . # Используя классическое определение вероятности события, докажем следующие свойства. Свойство 2.1 Для любого события A вероятность удовлетворяет неравенству P(A) > 0. Доказательство. Свойство очевидно, так как отношение N A /N не может быть отрицательным. 6 Свойство 2.2 Для достоверного события Ω (которое содержит все N элементарных исходов) P(Ω) = 1. Свойство 2.3 Если события A и B несовместны (AB = ∅), то P(A + B) = P(A) + P(B). Доказательство. Действительно, если событию A благоприятствуют N 1 исходов, а событию B — N 2 исходов, то в силу несовместности A и B событию A + B благоприятствуют N 1 + N 2 исходов. Следовательно, P(A + B) = N 1 + N 2 N = N 1 N + N 2 N = P(A) + P(B). Оказывается, что эти три свойства являются основными. Из них как следствия можно получить другие полезные свойства (подробнее они будут рассмотрены ниже), например: P(A) = 1 − P(A); P(∅) = 0; P(A) < P(B), если A ⊂ B. Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к про- странствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исхо- дов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные. Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множе- ства элементарных исходов Ω тогда, когда Ω представляет собой подмножество пространства R (числовой прямой), R 2 (плоскости), R n (n-мерного евклидова пространства). В пространстве R в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве R 2 — те подмножества, которые имеют площадь, и т.д. Под мерой µ(A) подмножества A будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит Ω: в R, в R 2 или в R 3 (R n ). Будем также считать, что пространство элементарных исходов Ω имеет конечную меру, а возможность попадания “случайно брошенной” точки в любое подмножество Ω пропорциональна мере этого под- множества и не зависит от его расположения и формы. В этом случае говорят, что рассматривается “геометрическая схема” или “точку наудачу бросают в область Ω”. Определение 2.2 Вероятностью события A называют число P(A), равное отношению меры множества A к мере множества Ω: P(A) = µ(A) µ(Ω) , где µ(A) — мера множества A. Данное определение вероятности события принято называть геометрическим определением вероятности. Заметим, что в литературе вероятность события A, определенную выше, на основе геометри- ческой схемы, часто называют геометрической вероятностью. Геометрическая вероятность, очевидно, сохраняет отмеченные ранее свойства вероятности P(A) в условиях классической схемы. Пример 2.2 Ромео и Джульетта договорились встретиться в определенном месте между двена- дцатью часами и часом дня. Необходимо найти вероятность встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что Ромео ждет Джульетту ровно 20 минут, а Джульетта Ромео — 5 минут. Для решения задачи воспользуемся геометрической схемой вероятности. Обозначим момент прихода Ромео через x, а Джульетты через y. Тогда любой элементарный исход ω в данной задаче можно отождествить с некоторой точ- кой (x; y) на плоскости xOy. Выберем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения 1 минуту и построим на плоскости xOy пространство элементарных исходов Ω. Очевидно, что это будет квадрат со стороной 60 (см. рис. 2.1). Собы- тие A (Ромео и Джульетта встретятся) произойдет тогда, когда разность y − x не превысит t 1 = 20, а разность x − y не превысит t 2 = 5, т.е. условие встречи Рис. 2.1. определяет систему неравенств 7 ½ y − x 6 20; x − y 6 5. Область A элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, на рис. 2.1 заштрихована. Ее площадь S A равна площади квадрата без двух угловых треугольников, т.е. S A = 60 2 − (60 − t 1 ) 2 2 − (60 − t 2 ) 2 2 = 1287,5. Тогда, согласно определению 2.2, находим P(A) = S A S Ω = 1287,5 3600 ≈ 0,36. Статистическое определение вероятности В основе статистического определения вероятности лежит общий принцип, в соответствии с кото- рым методы теории вероятностей применимы только к таким испытаниям, которые могут быть, по крайней мере теоретически, повторены бесконечное число раз, и при этом имеет место свойство устойчивости частот появления связанных с этими испытаниями событий (см. Введение). Пусть произведено n повторений опыта, причем в n A из них появилось событие A. Обозначим r A = n A /n наблюденную частоту события A. Практика показывает, что в тех экспериментах, для которых применимы методы теории вероятностей, частота события A с увеличением числа опытов n стабилизируется, т.е. стремится к некоторому пределу (допуская некоторую вольность речи). Определение 2.3 Вероятностью события A называют (эмпирический) предел P(A), к кото- рому стремится частота r A события A при неограниченном увеличении числа n опытов. Данное определение вероятности события принято называть статистическим определени- ем вероятности. Можно показать, что при статистическом определении вероятности события сохраняются свой- ства вероятности события, справедливые в условиях классической схемы, т.е. 1) P(A) > 0; 2) P(Ω) = 1; 3) P(A + B) = P(A) + P(B), если AB = ∅. С практической точки зрения статистическое определение вероятности является наиболее ра- зумным. Однако с позиции теории вероятностей как раздела современной математики недостаток статистического определения очевиден: нельзя провести бесконечное число повторений опыта, а при конечном числе повторений наблюденная частота, естественно, будет разной при различном числе повторений. Заметим, что связь между классическим и статистическим определениями была выявлена еще в период становления теории вероятностей как теории азартных игр. Было установлено, что при корректном использовании классического определения вероятность событий практически совпадает с их частотами при большом числе повторений эксперимента. И хотя игроков интересовала частота определенных событий, решение задач, полученное на основе классического определения вероятности, их вполне устраивало. Иными словами, даже игроки азартных игр знали о совпадении статистического определения с другими (классическим и его обобщением — геометрическим). Собственно говоря, задача определения связи вероятности с частотой не потеряла актуальности и в наши дни, когда в теории вероятностей повсеместно используется аксиоматическое определение вероятностей Колмогорова (см. 2.3). Это привело к появлению и широкому внедрению в практику обширного раздела теории вероятностей — математической статистики. Аксиоматическое определение вероятности Для того чтобы понять смысл аксиоматического определения вероятности, рассмотрим классическую схему. В этом случае вероятность любого элементарного исхода ω i , i = 1, N , P(ω i ) = 1/N . Вероятность любого события A при этом равна P(A) = N A /N , где N A — число исходов, благо- приятствующих событию A. Вероятность P(A) можно записать также в следующем виде P(A) = X ω i ∈A P(ω i ), 8 где суммирование ведется по всем значениям индекса i, при которых элементарные исходы ω i об- разуют событие A. Однако задать вероятность события по такому принципу уже в случае геометрической схемы нельзя, так как при этом вероятность любого элементарного события равна нулю. Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных исходов Ω, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства веро- ятности событий, которые имеют место для всех предыдущих определений вероятности события (классического, геометрического, статистического). Напомним, что этими свойствами являются следующие: 1) P(A) > 0; 2) P(Ω) = 1; 3) P(A 1 + . . . + A m ) = P(A 1 ) + · · · + P(A m ), если события A 1 , . . . , A m попарно несовместны. Именно эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3 постулируется для суммы счетного множества попарно несовместных событий. Определение 2.4 Пусть каждому событию A (т.е. подмножеству A пространства элементарных исходов Ω, принадлежащему σ-алгебре B) поставлено в соответствие число P(A). Числовую функ- цию P (заданную на σ-алгебре B) называют вероятностью (или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): P(A) > 0; Аксиома 2 (аксиома нормированности): P(Ω) = 1; Аксиома 3 (расширенная аксиома сложения): для любых попарно несовместных событий A 1 , . . . , A n , . . . справедливо равенство P(A 1 + . . . + A n + . . .) = P(A 1 ) + . . . + P(A n ) + . . . Значение P(A) называют вероятностью события A. Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы. Аксиома 3 0 (аксиома сложения): для любых попарно непересекающихся событий A 1 , . . . , A n справедливо равенство P(A 1 + . . . + A n ) = P(A 1 ) + . . . + P(A n ). Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий A 1 , . . . , A n , . . . такова, что A n ⊂ A n+1 , n ∈ N, и A 1 ∪ . . . ∪ A n ∪ . . . = A, то lim n→∞ P(A n ) = P(A). Можно доказать, что аксиомы 3 0 и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3. Замечание 2.1 Если пространство элементарных исходов Ω является конечным или счетным мно- жеством, то каждому элементарному исходу ω i ∈ Ω, i = 1, 2, . . . , можно поставить в соответствие число P(ω i ) = p i > 0 так, что X ω i ∈Ω P(ω i ) = ∞ X i=1 p i = 1. Тогда для любого события A ⊂ Ω в силу аксиомы 3 вероятность P(A) равна сумме вероятностей P(ω i ) всех тех элементарных исходов, которые входят в событие A, т.е. P(A) = X ω i ∈A P(ω i ). Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементар- ных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно про- извольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности. # В следующей теореме докажем утверждения, описывающие ряд полезных свойств вероятности. Теорема 2.1 Вероятность удовлетворяет следующим свойствам. 1. Вероятность противоположного события P(A) = 1 − P(A). 2. Вероятность невозможного события P(∅) = 0. 3. Если A ⊂ B, то P(A) 6 P(B) (“большему” события соответствует б´ольшая вероятность). 4. Вероятность заключена между 0 и 1: 0 6 P(A) 6 1. 5. Вероятность объединения двух событий P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). 6. Вероятность объединения любого конечного числа событий P(a 1 ∪ . . . ∪ A n ) = P(A 1 ) + . . . + P(A n ) − P(A 1 A 2 ) − P(A 1 A 3 ) − . . . − P(A n−1 A n )+ + P(A 1 A 2 A 3 ) + . . . + (−1) n+1 P(A 1 A 2 . . . A n ). 9 Доказательство. Поскольку Ω = A + A, то, согласно расширенной аксиоме сложения, P(Ω) = P(A) + P(A), откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1. Утверждение 2 вытекает из равенства A = A + ∅ и расширенной аксиомы сложения. Пусть A ⊂ B. Тогда B = A + (B \ A). В соответствии с расширенной аксиомой сложения P(B) = P( |