Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
A) + P(B \ A). Отсюда и из аксиомы неотрицательности приходим к утверждению 3. В частности, так как всегда A ⊂ Ω, то с учетом аксиомы неотрицательности получаем утвержде- ние 4. Поскольку A ∪ B = A + (B \ A), B = (B \ A) + AB, то, используя расширенную аксиому сло- жения, находим P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ A) и P(B) = P(B \ A) + P(AB). Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность P(B \ A), выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5. Утверждение 6 можно доказать с помощью метода математической индукции по n. Так, для трех событий A, B и C P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B ∪ C) − P(A(B ∪ C)) = P(A) + P(B) + P(C) − P(BC) − P(AB ∪ AC) = = P(A) + P(B) + P(C) − P(BC) − P(AB) − P(AC) + P(ABC). Для четырех и более событий это утверждение проверьте самостоятельно. Замечание 2.2 Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения вероятностей для двух и для n событий соответственно. Приведем пример, показывающий, что без учета того, что события совместные, можно прийти к неправильному результату. Пример 2.3 Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероят- ность события A, означающего появление “герба” хотя бы один раз. Обозначим A i появление “герба” при i-м подбрасывании, i = 1, 2. Ясно, что A = A 1 ∪ A 2 , и в соответствии с классической схемой ве- роятности P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1 2 . Если не учитывать, что A 1 и A 2 — совместные события, то можно получить “результат” P(A) = P(A 1 ) + P(A 2 ) = 1 2 + 1 2 = 1, противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что событие A не является достоверным. При- меняя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство P(A 1 A 2 ) = 1 4 , находим P(A) = P(A 1 ) + P(A 2 ) − P(A 1 A 2 ) = 1 2 + 1 2 − 1 4 = 3 4 . # Определение 2.5 Тройку (Ω, B, P), состоящую из пространства элементарных исходов Ω, с σ- алгеброй событий B и определенной на B вероятности P, называют вероятностным простран- ством. Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет хорошо известные физические понятия: исход опыта, событие, вероятность события. 10 Лекция 3 Условная вероятность Рассмотрим события A и B, связанные с одним и тем же опытом. Пусть из каких-то источников нам стало известно, что событие B наступило, но не известно, какой конкретно из элементарных исходов, составляющих событие B, произошел. Что можно сказать в этом случае о вероятности события A? Вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать P(A|B). Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении веро- ятности события. В ряде случаев при помощи условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая лекция. Определение условной вероятности Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям A и B благоприятствуют N A и N B элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии B. Поскольку событие B произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из N B элементарных исходов, составляющих событие B. Значит, теперь уже при определении степени возможности события A необходимо выбирать толь- ко из N B возможных исходов, причем событию A благоприятствуют N AB исходов, при которых происходят и событие A, и событие B, или, другими словами, происходит событие AB. При этом по-прежнему будем считать все N B входящих в событие B исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность P(A|B) события A при условии события B в рамках классической схе- мы вероятности естественно определить как отношение числа N AB исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий A и B, к числу N B исходов, благоприятствующих событию B, т. е. P(A|B) = N AB N B . Если теперь поделить числитель и знаменатель полученного выражения на общее число N эле- ментарных исходов, то придем к формуле P(A|B) = N AB /N N B /N = P(AB) P(B) . На основании изложенного выше можно дать следующее определение. Определение 3.1 Условной вероятностью события A при условии (наступлении) события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B: P(A|B) = P(AB) P(B) . (3.1) При этом предполагают, что P(B) 6= 0. В связи с появлением термина “условная вероятность” будем вероятность события называть также безусловной вероятностью события. Рассмотрим теперь условную вероятность P(A|B) как функцию события A. Теорема 3.1 Условная вероятность P(A|B) обладает всеми свойствами безусловной вероятно- сти P(A). Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что условная вероятность P(A|B) удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3 (см. 2.3). Из определения 3.1 следует, что условная вероятность, удовлетворяет аксиоме неотрицательно- сти, так как числитель дроби является неотрицательным числом, а знаменатель — положительным числом. 11 Поскольку ΩB = B, то P(Ω|B) = P(ΩB) P(B) = P(B) P(B) = 1, т. е. условная вероятность удовлетворяет аксиоме нормированности. Наконец, пусть A 1 , . . . , A n , . . . — попарно непересекающиеся события. Тогда (A 1 + . . . + A n + . . .)B = A 1 B + . . . + A n B + . . . и P(A 1 + . . . + A n + . . . |B) = P((A 1 + . . . + A n + . . .)B) P(B) = = P(A 1 B) + . . . + P(A n B) + . . . P(B) = P(A 1 |B) + . . . + P(A n |B) + . . . , где в последнем равенстве использовано свойство умножения сходящегося ряда на постоянную. Следовательно, условная вероятность удовлетворяет расширенной аксиоме сложения 3. Смысл теоремы 3.1 заключается в том, что условная вероятность представляет собой безуслов- ную вероятность, заданную на новом пространстве Ω 1 элементарных исходов, совпадающем с событием B. Пример 3.1 Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами 1, 3 и 6 окрашены красным, а грани с цифрами 2, 4 и 5 — белым цветом. Введем события: A 1 — выпадение нечетного числа очков; A 2 — выпадение четного числа очков; B — появление грани красного цвета. Интуитивно ясно, что если произошло событие B, то условная вероятность события A 1 больше, чем условная вероятность события A 2 , поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных. Заметим, что безусловные вероятности событий A 1 и A 2 при этом одинаковы и равны, очевидно, 1/2. Найдем условные вероятности событий A 1 и A 2 при условии события B. Очевидно, что P(A 1 B) = N A 1 B N = 2 6 = 1 3 , P(A 2 B) = N A 2 B N = 1 6 , P(B) = 3 6 = 1 2 . Следовательно, в силу определения 3.1 условной вероятности имеем P(A 1 |B) = 1/3 1/2 = 2 3 , P(A 2 |B) = 1/6 1/2 = 1 3 , что подтверждает наше предположение. Геометрическая интерпретация условной вероятности При практическом вычислении условной вероятности события A при усло- вии, что событие B произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве Ω элементарных ис- ходов, а на новом пространстве Ω 1 = B элементарных исходов. Действительно, используя геометрическое определение вероятности, получаем для безуслов- ной и условной вероятностей события A (на рис. 3.1 заштрихованная область соответствует событию AB): Рис. 3.1. P(A) = S A S Ω = S AΩ S Ω , P(A|B) = S AB /S Ω S B /S Ω = S AB S B = S AΩ 1 S Ω 1 . Здесь S A , S Ω и т.д. обозначают соответственно площади A, Ω и т.д. Таким образом, выражение для P(A|B) будет совпадать с выражением для P(A), вычисленным в соответствии со схемой гео- метрической вероятности, если исходное пространство Ω элементарных исходов заменить новым пространством Ω 1 = B. Пример 3.2 Из урны, в которой a = 7 белых и b = 3 черных шаров, наугад без возвращения извле- кают два шара. Пусть событие A 1 состоит в том, что первый извлеченный из урны шар является белым, а A 2 — белым является второй шар. Требуется найти P(A 2 |A 1 ). Приведем решение этой задачи двумя способами. Первый способ. В соответствии с определением условной вероятности имеем (опуская поясне- ния): P(A 2 |A 1 ) = P(A 1 A 2 ) P(A 1 ) = C 2 7 /C 2 10 C 1 7 /C 1 10 = 2 3 . 12 Второй способ. Перейдем к новому пространству Ω 1 элементарных исходов. Так как событие A 1 произошло, то это означает, что в новом пространстве элементарных исходов всего равновозможных исходов N Ω 1 = a + b − 1 = 9, а событию A 2 благоприятствует при этом N A 2 = a − 1 = 6 исходов. Следовательно, P(A 2 |A 1 ) = 6 9 = 2 3 . Формула умножения вероятностей При решении различных задач вероятностного характера часто интересующее нас событие A мож- но достаточно просто выразить через некоторые события A 1 , A 2 , . . . , A n с помощью операций объ- единения или пересечения. Если A = A 1 A 2 . . . A n , то для нахождения вероятности P(A) события A обычно удобно использовать следующую теорему. Теорема 3.2 (теорема умножения вероятностей) Пусть событие A = A 1 A 2 . . . A n (т. е. A — пересечение событий A 1 , A 2 , . . . , A n ) и P(A) > 0. Тогда справедливо равенство P(A) = P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 A 2 ) . . . P(A n |A 1 A 2 . . . A n−1 ), называемое формулой умножения вероятностей. Доказательство. Поскольку P(A) = P(A 1 A 2 . . . A n ) > 0, а A 1 A 2 . . . A k ⊇ A 1 A 2 . . . A n (k = 1, n − 1), то и P(A) = P(A 1 A 2 . . . A k ) > 0. Учитывая это неравенство, согласно определению 3.1 условной веро- ятности, имеем P(A n |A 1 A 2 . . . A n−1 ) = P(A 1 A 2 . . . A n ) P(A 1 A 2 . . . A n−1 ) . Умножая обе части этого равенства на P(A 1 A 2 . . . A n−1 ), получаем P(A 1 A 2 . . . A n ) = P(A 1 A 2 . . . A n−1 )P(A n |A 1 A 2 . . . A n−1 ). Аналогично находим P(A 1 A 2 . . . A n−1 ) = P(A 1 A 2 . . . A n−2 )P(A n−1 |A 1 A 2 . . . A n−2 ). Тогда P(A 1 A 2 . . . A n ) = P(A 1 A 2 . . . A n−2 )P(A n−1 |A 1 A 2 . . . A n−2 ) × P(A n |A 1 A 2 . . . A n−1 ). Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения вероятностей. Пример 3.3 На семи карточках написаны буквы, образующие слово “СОЛОВЕЙ”. Карточки пере- мешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найдем вероятность того, что получится слово “ВОЛ” (событие A). Введем события: A 1 — на первой выбранной карточке написана буква “В”; A 2 — на второй карточке — буква “О”; A 3 — на третьей карточке — буква “Л”. Тогда событие A есть пересече- ние событий A 1 , A 2 и A 3 . Следовательно, в соответствии с формулой умножения вероятностей P(A) = P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 A 2 ). Согласно классическому определению 2.1 вероятно- сти, имеем P(A 1 ) = 1 7 . Если событие A 1 произошло, то на шести оставшихся карточках буква “О” встречается два раза, поэтому условная вероятность P(A 2 |A 1 ) = 2 6 = 1 3 . Аналогично определяем P(A 3 |A 1 A 2 ) = 1 5 . Окончательно получаем P(A) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 7 · 1 3 · 1 5 = 1 105 ≈ 0,0095. Независимые и зависимые события Из рассмотренных выше примеров видно, что условная вероятность P(A|B) события A при усло- вии, что событие B произошло, может как совпадать с безусловной вероятностью P(A), так и не совпадать, т.е. наступление события B может влиять или не влиять на вероятность события A. Поэтому естественно степень связи (или степень зависимости) событий A и B оценивать путем сопоставления их условных вероятностей P(A|B), P(B|A) с безусловными. Определение 3.2 События A и B, имеющие ненулевую вероятность, называют независимы- ми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B, т.е. P(A|B) = P(A) (3.2) или P(B|A) = P(B), (3.3) в противном случае события A и B называют зависимыми. 13 Теорема 3.3 События A и B, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда P(AB) = P(A)P(B). (3.4) Доказательство. Пусть выполнено равенство (3.3). Воспользовавшись формулой умножения ве- роятностей для двух событий, получим P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B). К аналогичному выводу приходим и в случае выполнения равенства (3.2), т.е. из условия незави- симости событий следует (3.4). Обратно, пусть выполнено равенство (3.4). Тогда, согласно определению 3.1 условной вероятно- сти, P(A|B) = P(AB) P(B) = P(A) и P(B|A) = P(AB) P(A) = P(B), т.е. в силу определения 3.2 события A и B независимы. Таким образом, в качестве эквивалентного определения независимости двух событий, имеющих ненулевую вероятность, может служить следующее определение. Определение 3.3 События A и B называют независимыми, если выполняется равенство (3.4). Отметим, что последним определением можно пользоваться даже в том случае, когда вероятно- сти событий |