Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
F (x) ≈ dF (x) = F 0 (x)∆x = p(x)∆x, 22 что и доказывает утверждение 4. Наконец, поскольку в силу определения 5.5 функция распределения случайной величины есть несобственный интеграл от плотности, то она является непрерывной, что приводит нас к утвержде- нию 5. Замечание 5.2 В силу свойства 2 плотности распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [x 1 , x 2 ) численно равна площади криволинейной трапеции, за- штрихованной на рис. 5.1. Согласно свойству 3 площадь, заключенная под всей кривой, изображающей плотность распре- деления, равна единице. В соответствии со свойством 4 вероятность попадания случайной величины X в некоторый “ма- лый” промежуток (x, x + ∆x) практически пропорциональна ∆x с коэффициентом пропорциональ- ности, равным значению плотности распределения в точке x. Поэтому выражение p(x)∆x или p(x)dx называют иногда элементом вероятности. Можно также сказать, что непрерывная случайная величина реализует геометрическую схему с коэффициентом пропорциональности p(x), но только в “малой” окрестности точки x. Наконец, согласно свойству 5, вероятность попадания в любую (заданную до опыта) точку для непрерывной случайной величины равна нулю. # Функции от случайной величины Пусть на вероятностном пространстве (Ω, B, P) задана случайная величина X = X(ω). Рассмотрим действительную функцию y = ϕ(x) действительного аргумента x (область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины X). Определение 5.6 Случайную величину Y , которая каждому элементарному исходу ω ставит в соответствие число Y (ω) = ϕ(X(ω)), называют функцией ϕ(X) (скалярной) от скалярной слу- чайной величины X. Функция Y = ϕ(X) от дискретной случайной величины также являет- ся дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина X. Очевидно, что если случай- ная величина X имеет ряд распределения, представленный в табл. 5.2, то X x 1 x 2 . . . x n P p 1 p 2 . . . p n Таблица 5.2. ряд распределения случайной величины Y = ϕ(X) определяется табл. 5.3. При этом, если в верхней строке табл. 5.3 появляются одина- ковые значения ϕ(x i ), соответствующие столбцы нужно объеди- нить в один, приписав им суммарную вероятность. Функция Y = ϕ(X) от непрерывной случайной величины X может быть Y ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) . . . ϕ(x n ) P p 1 p 2 . . . p n Таблица 5.3. как непрерывной, так и дискретной (если, например, множество значений функции ϕ(X) конечное или счетное). Теорема 5.3 Пусть случайная величина X имеет плотность p X (x). Пусть функция y = ϕ(x) является монотонной, непрерывно дифференцируемой функцией. Обозначим x = ψ(y) функцию, обратную к y = ϕ(x). Тогда плотность случайной величины Y = ϕ(X) есть p Y (y) = p X (ψ(y))|ψ 0 (y)|. (5.3) Доказательство. Если функция ϕ(x) является монотонной, то событие {ϕ(X(ω)) < y} эквива- лентно событию {X(ω) < ψ(y)} (в случае возрастающей функции ϕ(x)) или событию {X(ω) > ψ(y)} (в случае убывающей ϕ(x)). Значит, для возрастающей функции ϕ(x) P{ϕ(X) < y} = P{X < ψ(y)}, (5.4) для убывающей ϕ(x) P{ϕ(X) < y} = P{X > ψ(y)}. (5.5) Поскольку F Y (y) = P{Y < y}, а P{X < ψ(y)} = F X (ψ(y)) и P{X > ψ(y)} = 1 − F X (ψ(y)), то окончательно получаем: для возрастающей функции ϕ(x) F Y (y) = F X (ψ(y)); (5.6) 23 для убывающей функции ϕ(x) F Y (y) = 1 − F X (ψ(y)). (5.7) Далее, согласно правилу дифференцирования сложной функции, имеем: в случае возрастающей функции Y (x) p Y (y) = F 0 Y (y) = ³ F X (x) ´ 0 ¯ ¯ ¯ x=ψ(y) ψ 0 (y) = p X (ψ(y))ψ 0 (y); в случае убывающей функции Y (x) p Y (y) = F 0 Y (y) = − ³ F X (x) ´ 0 ¯ ¯ ¯ x=ψ(y) ψ 0 (y) = −p X (ψ(y))ψ 0 (y). Оба эти случая можно записать в виде (5.3). Теорема 5.4 Пусть случайная величина X имеет плотность p X (x). Пусть функция y = ϕ(x) является кусочно монотонной функцией. Обозначим x i = ψ i (y), i = 1, k, прообразы точки y при отображении y = ϕ(x). Если функции ψ i (y), i = 1, k, дифференцируемы, то плотность случайной величины Y = ϕ(X) есть p Y (y) = k X i=1 p X (ψ i (y))|ψ 0 i (y)|. (5.8) Пример 5.4 Пусть случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения F (x), ко- торая является возрастающей функцией. Рассмотрим случайную величину Y = F (X). Она прини- мает значение только на промежутке [0, 1]. Обратная функция для функции y = F (x) есть ψ(y) = F −1 (y). Функция ψ(y) при y ∈ [0, 1], очевидно, удовлетворяет тождеству F (ψ(y)) = y, и, следовательно, в соответствии с формулой (5.6) имеем для y ∈ [0, 1]: F Y (y) = F (F −1 (y)) = y. При y < 0 событие {Y < y} является невозможным. Поэтому при y < 0 F Y (y) = P{Y < y} = 0. При y > 1 событие {Y < y} является достоверным и поэтому при y > 1 F Y (y) = P{Y < y} = 1. Итак, F Y (y) = 0, y < 0; y, 0 6 y 6 1; 1, y > 1. Таким образом, случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1] (см. опре- деление равномерного распределения на с. 32). Переходя к обратной функции, видим, что случайная величина X = F −1 (Y ) (5.9) имеет функцию распределения F (x), если случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1] . Полученный результат широко применяют при моделировании случайных величин с заданной функцией распределения F (x). Действительно, если нужно смоделировать такую случайную ве- личину, то достаточно иметь датчик случайных чисел Y , распределенных равномерно на отрезке [0, 1], и каждое такое число преобразовать по формуле (5.9). Например, пусть нужно смоделировать реализацию случайной величины X с экспоненциальной функцией распределения (см. определение экспоненциального распределения на с. 32) F (x) = 1 − e −λx , x > 0, 24 при известном параметре λ. Тогда, учитывая, что F −1 (y) = − 1 λ ln(1 − y), реализацию X можно получить по формуле X = − 1 λ ln(1 − Y ), где Y — случайное число с равномерным в интервале (0, 1) законом распределения. # Пример 5.5 Пусть случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение (см. определение нормального распределения на с. 33), т.е. p X (x) = 1 √ 2π e − x 2 2 , −∞ < x < +∞. Найдем распределение случайной величины Y = X 2 . Воспользуемся формулой (5.8). В данном случае ϕ(x) = x 2 . Заметим, что функция ϕ(x) = x 2 принимает только неотрицательные значения и, следовательно, при y < 0 уравнение ϕ(x) = y не имеет решений. Поэтому случайная величина Y = Y (X) = X 2 не может принимать отрицательные значения и, следовательно функция распреде- ления F Y (y) = 0 при y < 0. Отсюда дифференцированием получаем p Y (y) = F 0 Y (y) = 0, y < 0. Далее, при y > 0 уравнение y = x 2 имеет два решения: x = ψ 1 (y) = − √ y и x = ψ 2 (y) = √ y, при- чем первое решение принадлежит интервалу (−∞, 0) убывания функции ϕ(x) = x 2 , а второе — ин- тервалу (0, +∞) возрастания этой функции. Подставляя ψ 1 (y), ψ 2 (y) и плотность стандартного нормального распределения в формулу (5.8), получаем p Y (y) = 1 √ 2π e − 1 2 (− √ y) 2 1 2 √ y + 1 √ 2π e − 1 2 ( √ y) 2 1 2 √ y = 1 √ 2πy e −y/2 , y > 0. 25 Лекция 6 Числовые характеристики случайных величин Из результатов предыдущих лекций следует, что вероятности любых событий, связанных с каж- дой случайной величиной (в том числе многомерной), полностью определяются ее законом распре- деления, причем закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать в виде ряда распределения, а непрерывной — в виде плотности распределения. Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случай- ной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами. Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей лекции. Отметим, что основную роль на практике играют мате- матическое ожидание, задающее “центральное” значение случайной величины, и дисперсия, харак- теризующая “разброс” значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Отметим, что эти характеристики, как и все остальные, рассматриваемые в настоящей лекции, по сути дела, являются характеристиками законов распределений случайных величин. Поэтому в дальнейшем вместо слов “характеристика случайной величины, имеющей некоторое распределение (закон распределения)” будем говорить “характеристика распределения”. Математическое ожидание случайной величины Определение 6.1 Математическим ожиданием (средним значением) MX дискретной случайной величины X называют сумму произведений значений x i cлучайной величины и вероят- ностей p i = P{X = x i }, с которыми случайная величина принимает эти значения: MX = X i x i p i . При этом, если множество возможных значений cлучайной величины X счетно, предполагается, что ∞ X i=1 |x i |p i < +∞, т. е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно; в противном случае гово- рят, что математическое ожидание случайной величины X не существует. Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической меха- нике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами p i ( P i p i = 1) и пусть x i — координата i-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату X = P i x i p i P i p i = P i x i p i 1 = X i x i p i , совпадающую с математическим ожиданием MX случайной величины X. Пример 6.1 Пусть X — число выпавших очков при подбрасывании игральной кости. Так как p i = P{X = i} = 1 6 , i = 1, 6, то MX = 6 X i=1 i 1 6 = 7/2 = 3,5. 26 Определение 6.2 Математическим ожиданием (средним значением) MX непрерывной случайной величины называют интеграл MX = +∞ Z −∞ xp(x) dx. При этом предполагается, что +∞ Z −∞ |x|p(x) dx < +∞, т. е. несобственный интеграл, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно. Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке x равна p(x). Пример 6.2 Случайная величина X имеет распределение Коши, т. е. распределение с плотно- стью p(x) = 1 π(1 + x 2 ) . Тогда +∞ Z −∞ |x| dx π(1 + x 2 ) = +∞, поскольку подынтегральная функция эквивалент- на 1/(πx) при x → +∞. Поэтому математическое ожидание случайной величины X не существует. Математическое ожидание функции от случайной величины. Найдем математическое ожидание функции случайной величины (случайного вектора). Пусть Y = ϕ(X) является функцией от случайной величины X. Рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, принимающую значения x 1 , . . . , x n , . . . с вероятностями p n = P{X = x n }, n = 1, 2, . . .. Тогда случайная величина Y = ϕ(X) принимает значения ϕ(x n ) с вероятностями p n = P{X = x n }, n = 1, 2, . . ., и ее математическое ожидание определяется формулой MY = Mϕ(X) = ∞ X i=1 ϕ(x i )p i , (6.1) при этом требуется выполнение условия ∞ X i=1 |ϕ(x i )|p i < +∞. (6.2) Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения p(x), математиче- ское ожидание случайной величины Y = ϕ(X) можно найти, используя аналогичную (6.1) формулу MY = Mϕ(X) = +∞ Z −∞ ϕ(x)p(x) dx , (6.3) причем и здесь требуется выполнение условия +∞ R −∞ |ϕ(x)|p(x) dx < +∞. Дисперсия. Моменты высших порядков Две случайные величины могут иметь одинаковые средние значения, но их возможные значения будут по-разному рассеиваться вокруг этого среднего. Например, средний балл на экзамене в двух группах равен “4”, но в первой группе почти все студенты получили “4”, а во второй группе “чет- верочников” нет вообще, но есть как “пятерочники”, так и “троечники”. Поэтому, наряду со средним значением, хотелось бы иметь и число, характеризующее “разброс” случайной величины относительно своего среднего значения. Такой характеристикой обычно слу- жит дисперсия. Определение 6.3 Дисперсией DX случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее среднего значения, т. е. DX = M(X − MX) 2 . 27 |