Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
X = X i (x i − MX) 2 p i (6.4) и DX = +∞ Z −∞ (x − MX) 2 p(x) dx. (6.5) Пример 6.3 Пусть X — число выпавших очков при подбрасывании игральной кости. Так как MX = 3,5, то DX = 6 X i=1 (i − 3,5) 2 1 6 = 35 12 . Замечание 6.1 Из определения непосредственно следует, что дисперсия любой случайной вели- чины является неотрицательным числом. Дисперсия DX представляет собой второй момент центрированной (имеющей нулевое мате- матическое ожидание) случайной величины o X= X − MX. Поэтому иногда дисперсию называют вторым центральным моментом случайной величины. Дисперсия имеет аналог в теоретической механике — центральный (относительно центра масс) момент инерции массы, распределенной на оси с линейной плотностью p(x). В некоторых теоретических исследованиях встречаются моменты высших порядков. Определение 6.4 Моментом k-го порядка m k (k-м моментом) случайной величины X на- зывают математическое ожидание k-й степени случайной величины X: m k = MX k = X i x k i p i , если X — дискретная случайная величина, и m k = MX k = +∞ Z −∞ x k p(x) dx, если X — непрерывная случайная величина. Иногда k-й момент называют также начальным моментом k-го порядка. Определение 6.5 Центральным моментом k-го порядка o m k (k-м центральным момен- том) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени случайной величины o X= X − MX: o m k = M(X − MX) k = X i (x i − MX) k p i и o m k = M(X − MX) k = +∞ Z −∞ (x − MX) k p(x) dx для дискретной и непрерывной случайных величин X соответственно. Момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием, центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент второго порядка является дисперсией. Квантиль Определение 6.6 Квантилью уровня α, или α-квантилью, (0 < α < 1) случайной величины X (распределения случайной величины X) называют число Q α , удовлетворяющее неравенствам P{X < Q α } 6 α и P{X > Q α } 6 1 − α. 1/2-квантиль называют также медианой M случайной величины X. 28 Для непрерывной случайной величины X α-квантиль Q α является решением уравнения F (Q α ) = α, где F (x) — функция распределения случайной величины X. Таким образом, для непрерывной слу- чайной величины X квантиль Q α — это такое число, меньше которого X принимает значение с вероятностью α. Если известна плотность распределения p(x) случайной величины X, то, учитывая связь меж- ду функцией распределения и плотностью распределения, уравнение для определения α-квантили можно записать в виде Q α Z −∞ p(x) dx = α. Пример 6.4 Найдем α-квантиль и медиану экспоненциального распределения. В этом случае Q α представляет собой решение уравнения 1 − e −λQ α = α. Поэтому Q α = − ln(1 − α) λ . Медиана экспоненциального распределения M = ln 2 λ . Пример 6.5 Пусть случайная величина X представляет собой число успехов в одном испытании по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда, как видно на рис. 6.1, при 0 < α < q Q α = 0, при q < α < 1 Q α = 1, а q-квантилью является любое число от 0 до 1. Этот пример показы- вает, что, во-первых, квантили могут совпадать для разных α, а, во- вторых, для некоторых α квантили могут определяться неоднознач- но. Рис. 6.1. 29 Лекция 7 Основные законы распределения случайных величин Биномиальное распределение Дискретная случайная величина X распределе- на по биномиальному закону ,если она принимает значения 0, 1, 2, . . . , n в соответствии с распределени- ем, заданным формулой X 0 1 i n P q n C 1 n pq n−1 . . . C i n p i q n−i . . . p n Таблица 7.1. P{X = i} = P n (i) = C i n p i q n−i , i = 0, n, или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в таблице 7.1, где 0 < p, q < 1 и p + q = 1. Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно, P n (i) > 0 и n X i=0 P n (i) = n X i=0 C i n p i q n−i = (p + q) n = 1. Пример 7.1 Найдем математическое ожидание случайной величины X, распределенной по бино- миальному закону (число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p): MX = n X i=0 iP n (i) = n X i=0 iC i n p i q n−i = n X i=0 i n! i!(n − i)! p i q n−i = = n X i=1 np (n − 1)! (i − 1)!(n − i)! p i−1 q n−i = np n−1 X j=0 C j n−1 p j q n−1−j = np n−1 X j=0 P n−1 (j) = np. Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q = 1 − p (cм. 4). Пример 7.2 Пусть X — число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли. Дисперсию X можно подсчитать так же, как в примере 7.1 было подсчитано математическое ожидание, а именно непо- средственно воспользоваться определением 6.3 дисперсии. Однако мы поступим другим образом. Для этого представим X в виде суммы X = X 1 + . . . + X n , где X i — число успехов в i-ом испытании. Дисперсия каждого слагаемого равна: DX i = (0 − MX i ) 2 q + (1 − MX i ) 2 p = (−p) 2 q + (1 − p) 2 p = p 2 q + q 2 p = pq(p + q) = pq. Позднее (см. теор. 9.2) будет доказано, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий каждого слагаемого. Учитывая, что случайные величины X i являются независи- мыми, получаем DX = DX 1 + . . . + DX n = npq. Распределение Пуассона Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями P{X = i} = P (i; λ) = λ i i! e −λ , i = 0, 1, . . . , 30 или, по-другому, с вероятностями, представленными рядом распределения в таблице 7.2, где λ > 0 — пара- метр распределения Пуассона. Проверка корректности определения распределения X 0 1 2 n P e −λ λe −λ λ 2 2! e −λ λ n n! e −λ Таблица 7.2. Пуассона дает: ∞ X i=0 P (i; λ) = ∞ X i=0 λ i i! e −λ = e −λ ∞ X i=0 λ i i! = e −λ e λ = 1. Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероят- ностью происходит “редкое” событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества. Пример 7.3 Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона. Тогда MX = ∞ X i=0 i λ i i! e −λ = λ ∞ X i=1 λ i−1 (i − 1)! e −λ = λ ∞ X j=0 λ j j! e −λ = λe λ e −λ = λ. Пример 7.4 Найдем дисперсию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание MX = λ было найдено в примере 7.3. Определим второй момент: MX 2 = ∞ X i=0 i 2 λ i i! e −λ = λ ∞ X i=1 i λ i−1 (i − 1)! e −λ = = λ ∞ X j=0 (j + 1) λ j j! e −λ = λ ∞ X j=0 j λ j j! e −λ + ∞ X j=0 λ j j! e −λ = λ(MX + 1) = λ 2 + λ. Таким образом (см. далее теор. 9.2), DX = λ 2 + λ − λ 2 = λ, и, значит, дисперсия X, так же как и математическое ожидание, совпадает с параметром λ. Геометрическое распределение Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X — число испытаний, которое необходимо прове- сти, прежде чем появится первый успех. Тогда X — дискретная случайная величина, принимаю- щая значения 0, 1, 2, . . . , n, . . . Определим вероятность события {X = n}. Очевидно, что X = 0, если в первом же испытании про- изойдет успех. Поэтому P{X = 0} = p. Далее, X = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором — X 0 1 2 n P p qp q 2 p . . . q n p . . . Таблица 7.3. успех. Но вероятность такого события (см. теорему 4.3), равна qp, т.е. P{X = 1} = qp. Аналогич- но X = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем — успех, и, значит, P{X = 2} = qqp. Продолжая эту процедуру, получаем P{X = i} = p q i , i = 0, 1, . . . Таким обра- зом, случайная величина X имеет ряд распределения, представленный в таблице. Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геомет- рическому закону . Правильность составления таблицы вытекает из равенства ∞ X i=0 P{X = i} = ∞ X i=0 pq i = p ∞ X i=0 q i = p 1 − q = 1. Пример 7.5 Найдем математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение: MX = ∞ X i=0 ipq i = pq ∞ X i=0 iq i−1 = pq ³ ∞ X i=0 q i ´ 0 q = pq µ 1 1 − q ¶ 0 = pq (1 − q) 2 = pq p 2 = q p . Можно показать, что DX = q p 2 . 31 Равномерное распределение Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность распределения p(x) и функция распределения F (x) равны p(x) = ( 1 b − a , a 6 x 6 b; 0, x < a или x > b. , F (x) = 0, x < a; x − a b − a , a 6 x 6 b; 1, x > b. Графики плотности распределения p(x) и функции распределения F (x) приведены на рис. 7.1. Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интер- вал (x 1 , x 2 ), лежащий внутри отрезка [a, b], рав- на F (x 2 ) − F (x 1 ) = (x 2 − x 1 )/(b − a), т.е. пропор- циональна длине этого интервала. Таким обра- зом, равномерное распределение реализует схе- Рис. 7.1. му геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a, b]. Пример 7.6 Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [a, b] слу- чайной величины X. Поскольку в этом случае p(x) = 0 при x < a и x > b, то MX = +∞ Z −∞ x p(x) dx = b Z a x b − a dx = 1 b − a · x 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ x=b x=a = b + a 2 . Как и следовало ожидать, MX совпадает с серединой отрезка [a, b]. Пример 7.7 Дисперсия равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины X опре- деляется формулой DX = b Z a ³ x − b + a 2 ´ 2 1 b − a dx = ³ x − b + a 2 ´ 3 1 3(b − a) ¯ ¯ ¯ ¯ x=b x=a = (b − a) 3 12(b − a) = (b − a) 2 12 . Экспоненциальное распределение Случайная величина распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет плотность распределения p(x) и функцию распределения F (x) p(x) = ( 0, x < 0; λe −λx , x > 0, , F (x) = ( 0, x < 0; 1 − e −λx , x > 0. , где λ > 0 — параметр экспонен- циального распределения. Гра- фики плотности распределения и функции распределения экс- поненциально распределенной случайной величины приведены на и 7.2. Рис. 7.2. Пример 7.8 Найдем математическое ожидание и дисперсию экспоненциально распределенной слу- чайной величины X. Применяя формулу интегрирования по частям, получим MX = +∞ Z −∞ x p(x) dx = +∞ Z 0 λxe −λx dx = 1 λ , DX = +∞ Z −∞ (x − M X) 2 p(x) dx = +∞ Z 0 µ x − 1 λ ¶ 2 λe −λx dx = 1 λ 2 . 32 Нормальное распределение Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову ) закону, или имеет нор- мальное (гауссово) распределение, если ее плотность ϕ m,σ (x) = 1 σ √ 2π e − (x − m) 2 2σ 2 (−∞ < m < +∞, σ > 0). Нормальное распределение зависит от двух параметров: m и σ. Всюду в далее запись X ∼ N (µ, σ 2 ) будет означать, что X — нормальная случайная величина с параметрами µ и σ. Графики плотности ϕ m,σ (x) и функции Φ m,σ (x) = 1 σ √ 2π |