Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
x Z −∞ e − (x − m) 2 2σ 2 dx нормального распределения для различных значений m и σ приведены на рис. 7.3. Как следует из этих рисунков, па- раметр m определяет положение “цен- тра симметрии” плотности нормаль- ного распределения, т.е. график плот- ности нормального распределения сим- метричен относительно прямой x = m, а σ — разброс значений случайной вели- Рис. 7.3. чины относительно центра симметрии. Если m = 0 и σ = 1, то такой нормальный закон называ- ют стандартным и его функцию распределения обозначают Φ(x), а плотность распределения — ϕ(x). Как известно из курса математического анализа, интеграл Z e −x 2 /2 dx не может быть выра- жен через элементарные функции. Поэтому во всех справочниках и в большинстве учебников по теории вероятностей приведены таблицы значений функции стандартного нормального распреде- ления. Покажем, как, используя эту таблицу, найти вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону с произвольными параметрами m и σ, в интервал (a, b). В соответствии со свойством 2 плотности распределения (см. теорему 5.2) вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m и σ, в интервал (a, b) задается формулой P{a < X < b} = b Z a ϕ m,σ (y) dy = b Z a 1 σ √ 2π e −(y−m) 2 /(2σ 2 ) dy. Проводя замену x = (y − m)/σ, этот интеграл можно записать в виде P{a < X < b} = (b−m)/σ Z (a−m)/σ 1 √ 2π e −x 2 /2 dx = (b−m)/σ Z (a−m)/σ ϕ(x) dx. Таким образом, окончательно получаем P{a < X < b} = Φ µ b − m σ ¶ − Φ µ a − m σ ¶ . (7.1) Пример 7.9 Найдем математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нор- мальному закону c параметрами m и σ: MX = +∞ Z −∞ xϕ m,σ (x) dx = +∞ Z −∞ x σ √ 2π e −(x−m) 2 /(2σ 2 ) dx. Делая замену y = (x − m)/σ, получаем MX = +∞ Z −∞ σy + m √ 2π e −y 2 /2 dy = +∞ Z −∞ σy √ 2π e −y 2 /2 dy + m +∞ Z −∞ 1 √ 2π e −y 2 /2 dy = σ √ 2π +∞ Z −∞ ye −y 2 /2 dy + m +∞ Z −∞ ϕ(y) dy. Первый интеграл равен нулю в силу нечетности подынтегральной функции, а второй равен единице как интеграл от стандартной нормальной плотности. Таким образом, MX = m, т. е. параметр m имеет смысл математического ожидания случайной величины X. 33 Пример 7.10 Дисперсия случайной величины X, распределенной по нормальному закону с пара- метрами m и σ, имеет вид DX = +∞ Z −∞ (x − m) 2 ϕ m,σ (x) dx = +∞ Z −∞ (x − m) 2 σ √ 2π e − (x − m) 2 2σ 2 dx. Делая замену y = (x − m)/σ, получаем DX = σ 2 +∞ Z −∞ y 2 √ 2π e −y 2 /2 dy. Полагая u = y/ √ 2π, dv = ye −y 2 /2 dy и интегрируя по частям, находим DX = σ 2 +∞ Z −∞ 1 √ 2π e −y 2 /2 dy = σ 2 +∞ Z −∞ ϕ(y) dy = σ 2 . Таким образом, дисперсия нормально распределенной случайной величины совпадает с квадратом второго параметра. 34 Лекция 8 Случайные векторы Функция распределения случайного вектора Определение 8.1 Совокупность случайных величин X 1 = X 1 (ω), . . . , X n = X n (ω), заданных на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, B, P), называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. При этом сами случайные ве- личины X 1 , X 2 , . . . , X n называют координатами случайного вектора. Пример 8.1 Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X; Y ), где X — отклонение по дальности, а Y — отклонение в боковом направлении. При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случайный вектор (X; Y ; Z), где X, Y , Z — координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки при- целивания в некоторой пространственной системе координат. Пример 8.2 При испытании прибора на надежность совокупность внешних воздействий в некото- рый момент времени можно описать случайным вектором (X; Y ; Z; . . .). Здесь, например, X — тем- пература окружающей среды, Y — атмосферное давление, Z — амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой. # Cвойства многомерных случайных векторов мы будем в основном изучать на примере двумер- ного случайного вектора, делая, если это потребуется, пояснения для случайного вектора произ- вольной размерности. Напомним, что рассмотрение одномерной случайной величины начиналось с обсуждения спо- соба задания ее закона распределения. В частности, закон распределения одномерной случайной величины можно задать с помощью функции распределения. То же можно сказать и по отно- шению к n-мерному случайному вектору. Отметим, что в дальнейшем для пересечения событий {X 1 < x 1 }, . . . , {X n < x n } вместо записи {X 1 < x 1 } ∩ . . . ∩ {X n < x n } будем использовать запись {X 1 < x 1 , . . . , X n < x n }. Определение 8.2 Функцией распределения (вероятностей) F (x 1 , . . . , x n ) = F X 1 ,...,X n (x 1 , . . . , x n ) (n-мерного) случайного вектора (X 1 ; . . . ; X n ) называют функцию, значение которой в точ- ке (x 1 ; . . . ; x n ) ∈ R n равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X 1 < x 1 }, . . . , {X n < x n }, т.е. F (x 1 , . . . , x n ) = F X 1 ,...,X n (x 1 , . . . , x n ) = P{X 1 < x 1 , . . . , X n < x n }. Функцию распределения F (x 1 , . . . , x n ) называют также совместной n-мерной функцией распределения случайных величин X 1 , . . . , X n . Значение двумерной функции распределения в точке (a 1 ; a 2 ), согласно определению 8.2, представляет собой не что иное, как вероятность попада- ния точки с координатами (X 1 ; X 2 ) в квадрант с вершиной в точке (a 1 ; a 2 ). 35 Теорема 8.1 Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам. 1. 0 6 F (x 1 , x 2 ) 6 1. 2. F (x 1 , x 2 ) — неубывающая функция по каждому из аргументов x 1 и x 2 . 3. F (−∞, x 2 ) = F (x 1 , −∞) = 0. 4. F (+∞, +∞) = 1. 5. P{a 1 6X 1 < b 1 , a 2 6X 2 < b 2 } = F (b 1 , b 2 ) − F (b 1 , a 2 ) − F (a 1 , b 2 ) + F (a 1 , a 2 ). 6. F (x 1 , x 2 ) — непрерывная слева в любой точке (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 по каждому из аргументов x 1 и x 2 функция. 7. F X 1 ,X 2 (x, +∞) = F X 1 (x), F X 1 ,X 2 (+∞, x) = F X 2 (x). Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и в одномерном случае (см. теорему 5.1). События {X 1 < −∞} и {X 2 < −∞} являются невозможными, а пересечение невозможного со- бытия с любым событием, как известно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Отсюда с учетом определения 8.2 вытекает утверждение 3. Аналогично из того, что события {X 1 < +∞} и {X 2 < +∞} так же, как и их пересечение, являются достоверными, вероят- ность которых равна единице, вытекает утверждение 4. Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной ве- личины (X 1 , X 2 ) в прямоугольник {a 1 6 x 1 < b 1 , a 2 6 x 2 < b 2 } (на рис. 8.1 заштрихован), сначала определим вероятность по- падания в полуполосу {x 1 < a 1 , a 2 6 x 2 < b 2 } (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность Рис. 8.1. попадания в квадрант {x 1 < a 1 , x 2 < b 2 } за вычетом вероятности попадания в квадрант {x 1 < a 1 , x 2 < a 2 }, т.е. P{X 1 < a 1 , a 2 6 X 2 < b 2 } = F (a 1 , b 2 ) − F (a 1 , a 2 ). Аналогично, P{X 1 < b 1 , a 2 6 X 2 < b 2 } = F (b 1 , b 2 ) − F (b 1 , a 2 ).Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник {a 1 6 x 1 < b 1 , a 2 6 x 2 < b 2 } совпадает с вероятностью попадания в полуполосу {x 1 < b 1 , a 2 6 x 2 < b 2 } из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу {x 1 < a 1 , a 2 6 x 2 < b 2 }, откуда следует утверждение 5. Подобно одномерному случаю доказывается и утверждение 6. Наконец, событие {X 2 < +∞} является достоверным, поэтому {X 1 < x 1 } ∩ {X 2 < +∞} = {X 1 < x 1 }. Аналогично {X 1 < +∞} ∩ {X 2 < x 2 } = {X 2 < x 2 }. Отсюда приходим к утверждению 7, которое устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения F X 1 ,X 2 случайно- го вектора (X 1 ; X 2 ) и функциями F X 1 и F X 2 , которые называют одномерными (говорят также частными, или маргинальными) функциями распределения случайных величин X 1 и X 2 Дискретные двумерные случайные векторы Определение 8.3 Двумерную случайную величину (X; Y ) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной. Так же как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар (x i ; y j ) значений координат слу- чайного вектора (X; Y ) и соответствующих вероятностей, с ко- торыми эти пары значений принимают случайные величины X и Y (для простоты ограничимся конечным множеством возмож- ных значений, когда случайная величина X может принимать только значения x 1 , . . . , x n , Y — значения y 1 , . . . , y m , а коор- динаты двумерного случайного вектора (X; Y ) — пары значений (x i , y j ), i = 1, n, j = 1, m. Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 8.1). В этой таблице в верхней строке пере- числены все возможные значения y 1 , . . . , y j , . . . , y m случайной Y X y 1 y 2 . . . y m P X x 1 p 11 p 12 . . . p 1m p X1 x 2 p 21 p 22 . . . p 2m p X2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . x n p n1 p n2 . . . p nm p Xn P Y p Y 1 p Y 2 . . . p Y m Таблица 8.1. величины Y , а в левом столбце — значения x 1 , . . . , x i , . . . , x n случайной величины X. На пере- сечении столбца “y j ” со строкой “x i ” находится вероятность p ij = P{X = x i , Y = y j } совместного осуществления событий {X = x i } и {Y = y j }. В этой таблице обычно добавляют еще одну строку “P Y ” и столбец “P X ”. На пересечении столбца “P X ” со строкой “x i ” записывают число p Xi = p i1 + . . . + p im . Но p Xi представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина X примет значе- ние x i , т.е. p Xi = P{X = x i }. Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины X. Аналогично, в последней строке “P Y ” помещены значения p Y j = p 1j + . . . + p nj , а первая и по- следняя строки дают ряд распределения случайной величины Y . Используя таблицу 8.1, нетрудно 36 определить совместную функцию распределения F X,Y (x, y). Ясно, что для этого необходимо про- суммировать p ij по всем тем значениям i и j, для которых x i < x, y j < y, т.е. F (x, y) = X i: x i j: y j p ij . Пример 8.3 В соответствии со схемой Бернулли (см. определение 4.2) с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q = 1 − p проводятся два ис- пытания. Выпишем распределение двумерного случайного вектора (X 1 ; X 2 ), где X i , i = 1, 2, — число успехов в i-м испытании. Каждая из случайных ве- личин X 1 и X 2 может принимать два значения: 0 или 1. Числа успехов в обоих испытаниях равны нулю тогда, когда произойдут две неудачи, а это в силу независимости испытаний происходит с вероятностью q q. Поэтому X 2 X 1 0 1 P X 1 0 q 2 qp q 1 pq p 2 p P X 2 q p Таблица 8.2. P{X 1 = 0, X 2 = 0} = q 2 , и на пересечении столбца “0” со строкой “0” нужно записать |