Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
![]()
|
qp(x 1 , x 2 ) = ∂ 2 F (x 1 , x 2 ) ∂x 1 ∂x 2 = ∂ 2 F (x 1 , x 2 ) ∂x 2 ∂x 1 . (8.1) Заметим, что аналогичный смысл имеет совместная (n-мерная) плотность распреде- ления случайных величин X 1 , . . . , X n , или плотность распределения случайного вектора (X 1 ; . . . ; X n ): p(x 1 , . . . , x n ) = ∂ n F (x 1 , . . . , x n ) ∂x 1 . . . ∂x n . Теорема 8.2 Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами. 1. p(x 1 , x 2 ) > 0. 2. P{a 1 < X < b 1 , a 2 < Y < b 2 } = b 1 Z a 1 dx 1 b 2 Z a 2 p(x 1 , x 2 ) dx 2 . 3. +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ p(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = 1. 4. P{x 1 < X < x 1 + ∆ x 1 , x 2 < Y < x 2 + ∆x 2 } ≈ p(x 1 , x 2 )∆x 1 ∆x 2 . 5. P{X = x 1 , Y = x 2 } = 0. 6. P{(X; Y ) ∈ D} = ZZ D p(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 . 7. p X (x) = +∞ Z −∞ p X,Y (x, y) dy. 8. p Y (y) = +∞ Z −∞ p X,Y (x, y) dx. Доказательство. Свойства 1 — 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2. Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения и определения 8.4 двумерной плотности рас- пределения вытекает: F X (x) = F X,Y (x, +∞) = x Z −∞ +∞ Z −∞ p X,Y (y 1 , y 2 ) dy 1 dy 2 , F Y (y) = F X,Y (+∞, y) = +∞ Z −∞ y Z −∞ p X,Y (y 1 , y 2 ) dy 1 dy 2 , откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая формулу (5.2), получаем утверждения 7 и 8 для одномерных плотностей распределения p X (x) и p Y (y) случайных величин X и Y . Пример 8.4 Рассмотрим двумерную случайную величину, плотность распределения которой име- ет вид p(x 1 , x 2 ) = A, x 2 1 + x 2 2 6 R 2 ; 0, x 2 1 + x 2 2 > R 2 . Для определения коэффициента A воспользуемся свойством 3 двумерной плотности распределения. Поскольку p(x 1 , x 2 ) = 0 при x 2 1 + x 2 2 > R 2 , то +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ p(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = ZZ x 2 1 +x 2 2 6R 2 A dx 1 dx 2 = πAR 2 = 1, 38 1 πR 2 . Таким образом, p(x 1 , x 2 ) = 0, x 2 1 + x 2 2 > R 2 ; 1 πR 2 , x 2 1 + x 2 2 6 R 2 . Нетрудно найти одномерную плотность распределения случайной величины X 1 : p X 1 (x) = +∞ Z −∞ p(x, y) dy = √ R 2 −x 2 Z − √ R 2 −x 2 1 πR 2 dy = 0, |x| > R; 2 √ R 2 − x 2 πR 2 , |x| 6 R. Аналогичное выражение можно получить и для p X 2 (y). Независимые случайные величины Определение 8.5 Случайные величины X и Y называют независимыми, если совмест- ная функция распределения F X,Y (x, y) является произведением одномерных функций распределения F X (x) и F Y (y): F X,Y (x, y) = F X (x)F Y (y). В противном случае случайные величины называют зависимыми. Из определения 8.5 вытекает, что для независимых случайных величин X и Y события {X < x} и {Y < y} являются независимыми. Можно показать, что независимыми являются и все события {x 1 6 X < x 2 } и {y 1 6 Y < y 2 }. Теорема 8.3 Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необ- ходимо и достаточно, чтобы для всех x и y p X,Y (x, y) = p X (x)p Y (y). Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимые. Тогда, согласно определе- нию 5.5, F X,Y (x, y) = F X (x)F Y (y). С учетом формул (8.1) и (5.2) имеем p X,Y (x, y) = ∂ 2 F X,Y (x, y) ∂x∂y = µ dF X (x) dx ¶ µ dF Y (y) dy ¶ = p X (x)p Y (y). Тем самым необходимость утверждения доказана. Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением 8.4 двумерной плот- ности распределения и определением 5.1. F X,Y (x, y) = ZZ −∞ −∞ p X,Y (v, w) dvdw = x Z −∞ p X (v) dv y Z −∞ p Y (w) dw = F X (x)F Y (y). Справедлива следующая теорема. Теорема 8.4 Если случайные величины X и Y независимыми, а функции ϕ(t) и ψ(t) кусочно- непрерывны, то случайные величины ϕ(X) и ψ(Y ) также независимы. Пример 8.5 а. Рассмотрим двумерный вектор (X 1 ; X 2 ), совместная плотность распределения ко- торого имеет вид p(x 1 , x 2 ) = ( 1, x 1 ∈ [0, 1] и x 2 ∈ [0, 1]; 0, x 1 6∈ [0, 1] или x 2 6∈ [0, 1]. Легко показать, что одномерные плотности распределения p X 1 (x) и p X 2 (x) случайных величин X 1 и X 2 задаются формулой p X 1 (x) = p X 2 (x) = ( 1, x ∈ [0, 1]; 0, x 6∈ [0, 1]. Очевидно, что в данном случае совместная плотность распределения p(x 1 , x 2 ) для всех x 1 , x 2 явля- ется произведением одномерных плотностей p X 1 (x 1 ) и p X 2 (x 1 ). Значит, случайные величины X 1 и X 2 являются независимыми. б. Также нетрудно показать, что случайные величины X 1 и X 2 из примера 8.4 являются зави- симыми. 39 |