Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события

• Название: Лекция 1 Случайные события
• Анкор: Лекции по теории вероятности
• Дата: 13.04.2022
• Размер: 1.66 Mb.
• Имя файла: Лекции Тер. Вер..pdf
• Тип: Лекция; #470380
• страница: 9 из 21

q
2
(табл. 8.2). Далее, X
1
= 1 и X
2
= 0,
если в первом испытании произошел успех, а во втором — неудача, и, значит,
P{X
1
= 1, X
2
= 0} = pq.
Аналогично заполняем второй столбец:
P{X
1
= 0, X
2
= 1} = qp,
P{X
1
= 1, X
2
= 1} = p
2
.
Наконец, на пересечении столбца “P
X
1
” и строки “0” должно стоять
P{X
1
= 0} = q
2
+ pq = q(q + p) = q,
а на пересечении столбца “P
X
1
” и строки “1” —
P{X
1
= 1} = pq + p
2
= p(p + q) = p.
Построим теперь совместную функцию распределения случайных величин X
1
и X
2
:
F (x
1
, x
2
) = P{X
1
< x
1
, X
2
< x
2
}.
Поскольку при x
1 6 0 или x
2 6 0 нет ни одного элементарного исхода ω, для которого или X
2
(ω) <
x
2
, то для таких x
1
и x
2
событие {X
1
< x
1
, X
2
< x
2
} невозможное, и, значит F (x
1
, x
2
) = 0 при x
1 6 0
или x
2 6 0.
Далее, если 0 < x
1 6 1 и 0 < x
2 6 1, то событие {X
1
< x
1
, X
2
< x
2
} эквивалентно событию {X
1
=
0, X
2
= 0}, которое, как видно из табл. 8.2, происходит с вероятностью q
2
, и F (x
1
, x
2
) = q
2
.
Если же 0 < x
1 6 1, а x
2
> 1, то событие {X
1
< x
1
, X
2
< x
2
} совпадает с объединением непересека-
ющихся событий {X
1
= 0, X
2
= 0} и {X
1
= 0, X
2
= 1}. Тогда F (x
1
, x
2
) = q
2
+ qp = q. Аналогично
F (x
1
, x
2
) = q
2
+ qp = q при x
1
> 1 и 0 < x
2 6 1.
Наконец, если x
1
> 1 и x
2
> 1, то событие {X
1
< x
1
, X
2
< x
2
} достоверно, и, следовательно,
F (x
1
, x
2
) = 1.
Непрерывные случайные векторы
Определение 8.4 Непрерывной двумерной случайной величиной (X; Y ) называют такую двумерную случайную величину (X; Y ), совместную функцию распределения которой F (x
1
, x
2
) =
P{X < x
1
, Y < x
2
} можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:
F (x
1
, x
2
) =
x
1
Z
−∞
x
2
Z
−∞
p(y
1
, y
2
) dy
1
dy
2
=
x
1
Z
−∞
dy
1
x
2
Z
−∞
p(y
1
, y
2
) dy
2
=
x
2
Z
−∞
dy
2
x
1
Z
−∞
p(y
1
, y
2
) dy
1
.
Функцию p(x
1
, x
2
) = p
X,Y
(x
1
, x
2
) называют совместной (двумерной) плотностью распре-
деления случайных величин X и Y , или плотностью распределения случайного вектора (X; Y ).
Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что p(x
1
, x
2
) непрерывная (или непре- рывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в со- ответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании
37

интеграла с переменным верхним пределом совместная плотность распределения представляет со- бой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную совместной функции распреде- ления:
p(x
1
, x
2
) =
∂
2
F (x
1
, x
2
)
∂x
1
∂x
2
=
∂
2
F (x
1
, x
2
)
∂x
2
∂x
1
.
(8.1)
Заметим, что аналогичный смысл имеет совместная (n-мерная) плотность распреде-
ления случайных величин X
1
, . . . , X
n
, или плотность распределения случайного вектора
(X
1
; . . . ; X
n
):
p(x
1
, . . . , x
n
) =
∂
n
F (x
1
, . . . , x
n
)
∂x
1
. . . ∂x
n
.
Теорема 8.2 Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами.
1. p(x
1
, x
2
) > 0.
2. P{a
1
< X < b
1
, a
2
< Y < b
2
} =
b
1
Z
a
1
dx
1
b
2
Z
a
2
p(x
1
, x
2
) dx
2
.
3.
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
p(x
1
, x
2
) dx
1
dx
2
= 1.
4. P{x
1
< X < x
1
+
∆
x
1
, x
2
< Y < x
2
+ ∆x
2
} ≈ p(x
1
, x
2
)∆x
1
∆x
2
.
5. P{X = x
1
, Y = x
2
} = 0.
6. P{(X; Y ) ∈ D} =
ZZ
D
p(x
1
, x
2
) dx
1
dx
2
.
7. p
X
(x) =
+∞
Z
−∞
p
X,Y
(x, y) dy.
8. p
Y
(y) =
+∞
Z
−∞
p
X,Y
(x, y) dx.
Доказательство. Свойства 1 — 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения.
Свойство 6 является обобщением свойства 2.
Докажем утверждения 7 и 8.
Из свойства 7 двумерной функции распределения и определения 8.4 двумерной плотности рас- пределения вытекает:
F
X
(x) = F
X,Y
(x, +∞) =
x
Z
−∞
+∞
Z
−∞
p
X,Y
(y
1
, y
2
) dy
1
dy
2
,
F
Y
(y) = F
X,Y
(+∞, y) =
+∞
Z
−∞
y
Z
−∞
p
X,Y
(y
1
, y
2
) dy
1
dy
2
,
откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая формулу (5.2),
получаем утверждения 7 и 8 для одномерных плотностей распределения p
X
(x) и p
Y
(y) случайных величин X и Y .
Пример 8.4 Рассмотрим двумерную случайную величину, плотность распределения которой име- ет вид
p(x
1
, x
2
) =



A,
x
2 1
+ x
2 2
6 R
2
;
0,
x
2 1
+ x
2 2
> R
2
.
Для определения коэффициента A воспользуемся свойством 3 двумерной плотности распределения.
Поскольку p(x
1
, x
2
) = 0 при x
2 1
+ x
2 2
> R
2
, то
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
p(x
1
, x
2
) dx
1
dx
2
=
ZZ
x
2 1
+x
2 2
6R
2
A dx
1
dx
2
= πAR
2
= 1,
38

и, значит, A =
1
πR
2
. Таким образом,
p(x
1
, x
2
) =



0,
x
2 1
+ x
2 2
> R
2
;
1
πR
2
,
x
2 1
+ x
2 2
6 R
2
.
Нетрудно найти одномерную плотность распределения случайной величины X
1
:
p
X
1
(x) =
+∞
Z
−∞
p(x, y) dy =
√
R
2
−x
2
Z
−
√
R
2
−x
2 1
πR
2
dy =





0,
|x| > R;
2
√
R
2
− x
2
πR
2
,
|x| 6 R.
Аналогичное выражение можно получить и для p
X
2
(y).
Независимые случайные величины
Определение 8.5 Случайные величины X и Y называют независимыми, если совмест-
ная функция распределения F
X,Y
(x, y) является произведением одномерных функций распределения
F
X
(x) и F
Y
(y):
F
X,Y
(x, y) = F
X
(x)F
Y
(y).
В противном случае случайные величины называют зависимыми.
Из определения 8.5 вытекает, что для независимых случайных величин X и Y события {X < x}
и {Y < y} являются независимыми. Можно показать, что независимыми являются и все события
{x
1 6 X < x
2
} и {y
1 6 Y < y
2
}.
Теорема 8.3 Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для всех x и y p
X,Y
(x, y) = p
X
(x)p
Y
(y).
Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимые. Тогда, согласно определе- нию 5.5, F
X,Y
(x, y) = F
X
(x)F
Y
(y). С учетом формул (8.1) и (5.2) имеем
p
X,Y
(x, y) =
∂
2
F
X,Y
(x, y)
∂x∂y
=
µ
dF
X
(x)
dx
¶ µ
dF
Y
(y)
dy
¶
= p
X
(x)p
Y
(y).
Тем самым необходимость утверждения доказана.
Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением 8.4 двумерной плот- ности распределения и определением 5.1.
F
X,Y
(x, y) =
ZZ
−∞
−∞
p
X,Y
(v, w) dvdw =


x
Z
−∞
p
X
(v) dv




y
Z
−∞
p
Y
(w) dw

 = F
X
(x)F
Y
(y).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 8.4 Если случайные величины X и Y независимыми, а функции ϕ(t) и ψ(t) кусочно-
непрерывны, то случайные величины ϕ(X) и ψ(Y ) также независимы.
Пример 8.5 а. Рассмотрим двумерный вектор (X
1
; X
2
), совместная плотность распределения ко- торого имеет вид
p(x
1
, x
2
) =
(
1,
x
1
∈ [0, 1] и x
2
∈ [0, 1];
0,
x
1
6∈ [0, 1] или x
2
6∈ [0, 1].
Легко показать, что одномерные плотности распределения p
X
1
(x) и p
X
2
(x) случайных величин X
1
и X
2
задаются формулой
p
X
1
(x) = p
X
2
(x) =
(
1,
x ∈ [0, 1];
0,
x 6∈ [0, 1].
Очевидно, что в данном случае совместная плотность распределения p(x
1
, x
2
) для всех x
1
, x
2
явля- ется произведением одномерных плотностей p
X
1
(x
1
) и p
X
2
(x
1
). Значит, случайные величины X
1
и
X
2
являются независимыми.
б. Также нетрудно показать, что случайные величины X
1
и X
2
из примера 8.4 являются зави- симыми.
39

Теорема 8.5 Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только
тогда, когда для всех возможных значений x
i
и y
j
p
i,j
= P{X = x
i
, Y = y
j
} = P{X = x
i
}P{Y = y
j
} = p
X
i
p
Y
j
. #
Пример 8.6 В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 8.3)
P{X
1
= 0, X
2
= 0} = q
2
= P{X
1
= 0}P{X
2
= 0}, P{X
1
= 0, X
2
= 1} = qp = P{X
1
= 0}P{X
2
= 1},
P{X
1
= 1, X
2
= 0} = pq = P{X
1
= 1}P{X
2
= 0}, P{X
1
= 1, X
2
= 1} = p
2
= P{X
1
= 1}P{X
2
= 1}.
Таким образом, числа успехов X
1
и X
2
в первом и втором испытаниях представляют собой неза- висимые случайные величины. Впрочем, в силу определения схемы Бернулли иного нельзя было ожидать. Убедитесь самостоятельно в том, что независимыми в совокупности являются случайные величины X
1
, . . . , X
n
— числа успехов в первом, втором, . . . , n-м испытаниях по схеме Бернулли. #
Определение 8.6 Случайные величины X
1
, . . . , X
n
, заданные на одном и том же вероятност- ном пространстве, называют независимыми в совокупности, если
F
X
1
,...,X
n
(x
1
, . . . , x
n
) = F
X
1
(x
1
) . . . F
X
n
(x
n
).
Замечание 8.1 Теоремы 8.3 и 8.5 распространяются на любое число случайных величин.
Разумеется, как и для событий, из попарной независимости не следует независимость случайных величин в совокупности.
Пример 8.7 Свяжем с бросанием тетраэдра из примера 3.5 три случайные величины: X
1
, X
2
и X
3
,
каждая из которых может принимать значения 0 или 1, причем X
1
= 1, если тетраэдр упал на грань,
на которой присутствует цифра 1, и X
1
= 0 в противном случае. Аналогично X
2
характеризует наличие цифры 2, а X
3
— цифры 3. Покажем, что случайные величины X
1
, X
2
и X
3
будут попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности.
Действительно,
P{X
i
= 1} = P{X
i
= 0} =
1 2
,
i = 1, 2, 3,
и
P{X
i
= 1, X
j
= 1} =
1 4
= P{X
i
= 1}P{X
j
= 1},
i 6= j,
т.е. X
i
попарно независимы. Однако, например,
P{X
1
= 1, X
2
= 1, X
3
= 1} =
1 4
6= P{X
1
= 1}P{X
2
= 1}P{X
3
= 1} =
1 8
,
т.е. X
i
, i = 1, 2, 3, не являются независимыми в совокупности.
40

Лекция 9
Функции от случайных величин
Скалярные функции от случайного векторного аргумента
Скалярную функцию от случайного векторного аргумента определяют так же, как и функцию от
одномерной случайной величины. Для простоты изложения ограничимся рассмотрением функции от двух случайных аргументов, хотя приведенные ниже выводы можно полностью перенести на случай любого числа аргументов.
Рассмотрим на вероятностном пространстве (Ω, B, P) двумерный случайный вектор

X =
(X
1
; X
2
) и числовую функцию y = ϕ(x
1
, x
2
) числовых аргументов x
1
и x
2
Определение 9.1 Случайную величину
Y = ϕ(X
1
, X
2
) = ϕ(X
1
(ω), X
2
(ω))
называют функцией (скалярной) от двумерной случайной величины (двумерного слу-
чайного вектора) (X
1
; X
2
).
Ясно, что функция Y = ϕ(X
1
, X
2
) от двумерной дискретной случайной величины (X
1
; X
2
) явля- ется дискретной случайной величиной, принимающей значения ϕ(x
1i
, x
2j
) с вероятностью
p
i j
= P{X
1
= x
1i