Лекции по теории вероятности. Лекции Тер. Вер.. Лекция 1 Случайные события
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
n изделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как пра- вило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставлены идентичные образцы. При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероят- ности события A k , состоящего в том, что в n испытаниях успех наступит ровно k раз, k = 0, n. Для решения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность P(A k ) через P n (k). Теорема 4.3 Вероятность P n (k) того, что в n испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно k успехов, определяется формулой Бернулли P n (k) = C k n p k q n−k , k = 0, n. (4.3) Доказательство. Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей из n букв “У” и “Н”, причем буква “У” на i-м месте означает, что в i-м испытании произошел успех, а “Н” — неудача. Пространство элементарных исходов Ω состоит из 2 n исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. Каждому элементарному исходу ω =УНН...У можно поставить в соответствие вероятность P(ω) = P(УНН...У). В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем P(ω) = p i q n−i , i = 0, n, если в n испытаниях успех “У” имел место i раз, а неуспех “Н”, следо- вательно, n − i раз. Событие A k происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ω, в котором i = k. Вероятность любого такого элементарного исхода равна p k q n−k Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить k букв “У” на n местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно C k n Так как A k есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности P(A k ) = P n (k) формулу (4.3). Формулу (4.3) называют также биномиальной, так как ее правая часть представляет собой (k + 1)-й член формулы бинома Ньютона. 1 = (p + q) n = C 0 n q n + C 1 n p 1 q n−1 + . . . + C k n p k q n−k + . . . + C n n p n . Набор вероятностей P n (k), k = 0, n, называют биномиальным распределением вероятностей. Из формулы Бернулли вытекают два следствия. 1. Вероятность появления успеха (события A) в n испытаниях не более k 1 раз и не менее k 2 раз равна: P{k 1 6 k 6 k 2 } = k 2 X k=k 1 C k n p k q n−k . (4.4) 18 Это следует из того, что события A k при разных k являются несовместными. 2. В частном случае при k 1 = 1 и k 2 = n из (4.4) получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в n испытаниях: P{k > 1} = 1 − q n . (4.5) Пример 4.3 Монету (симметричную) подбрасывают n = 10 раз. Определим вероятность выпаде- ния “герба”: а) ровно пять раз; б) не более пять раз; в) хотя бы один раз. В соответствии с формулой (4.3) Бернулли имеем: а) P 10 (5) = C 5 10 µ 1 2 ¶ 10 = 252 1024 = 0,246; б) P{k 6 5} = C 0 10 + C 1 10 + C 2 10 + C 3 10 + C 4 10 + C 5 10 1024 = 638 1024 ≈ 0,623; в) P{k > 1} = 1 − µ 1 2 ¶ 10 ≈ 0,999. Пример 4.4 Вероятность выигрыша на один лотерейный билет равна 0,01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша в лотерее была не менее заданного значения P з = 0,9. Пусть куплено n билетов. Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью p = 0,01. Тогда вероятность получить k вы- игрышных билетов можно определить, используя формулу Бернулли. В частности, согласно (4.5), имеем при q = 1 − p: P{k > 1} = 1 − q n = 1 − (1 − p) n > P з , откуда получаем n > ln(1 − P з ) ln(1 − p) = ln 0,1 ln 0,99 ≈ 230. Таким образом, нужно купить не менее 230 лотерейных билетов. # 19 Лекция 5 Одномерные случайные величины Определение случайной величины Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от то- го, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исхо- дом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют мно- жеством возможных значений этой случайной величины. Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход. Рассмотрим примеры. Пример 5.1 В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид {x 1 = 1; x 2 = 2; . . . ; x 6 = 6}. Если вспомнить, как выглядит пространство элементарных исходов в этом опыте, то будет очевид- но следующее соответствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X: ω = ω 1 ω 2 . . . ω 6 ↓ ↓ . . . ↓ X = 1 2 . . . 6 . Иными словами, каждому элементарному исходу ω i , i = 1, 6, ставится в соответствие число i. Пример 5.2 Монету подбрасывают до первого появления “герба”. В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X — число бросаний до первого появления “герба” с множе- ством возможных значений {1; 2; 3; . . .} и Y — число “цифр”, выпавших до первого появления “герба”, с множеством возможных значений {0; 1; 2; . . .} (ясно, что X = Y + 1). В данном опыте пространство элементарных исходов Ω можно отождествить с множеством {Г; ЦГ; ЦЦГ; . . . ; Ц . . . ЦГ; . . .}, причем элементарному исходу Ц . . . ЦГ ставится в соответствие число m + 1 или m, где m — число повторений буквы “Ц”. Пример 5.3 На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность по- падания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние X от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния Y = X 2 , угол Z в полярной системе координат и т.д. # Определение 5.1 Скалярную функцию X(ω), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x ∈ R множество исходов, для которых X(ω) < x, т.е. {ω : X(ω) < x} — является событием. Функция распределения случайной величины Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позво- ляющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей, или рас- пределением (вероятностей) случайной величины. Законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения. 20 Определение 5.2 Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X назы- вают функцию F (x), значение которой в точке x равно вероятности события {X < x}, т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых X(ω) < x: F (x) = P{X < x}. Теорема 5.1 Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам. 1. 0 6 F (x) 6 1. 2. F (x 1 ) 6 F (x 2 ) при x 1 < x 2 , т.е. F (x) — неубывающая функция. 3. F (−∞) = lim x→−∞ F (x) = 0; F (+∞) = lim x→+∞ F (x) = 1. 4. P{x 1 6 X < x 2 } = F (x 2 ) − F (x 1 ). 5. F (x) = F (x − 0), где F (x − 0) = lim y→x−0 F (y), т.е. F (x) — непрерывная слева функция. Доказательство. При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, дока- занные в теореме 2.1. Поскольку значение функции распределения в любой точке x является вероятностью, то из свойства 4 вероятности вытекает утверждение 1. Если x 1 < x 2 , то событие {X < x 1 } включено в событие {X < x 2 } и, согласно свойству 3, P{X < x 1 } 6 P{X < x 2 }, т.е. в соответствии с определением 5.2 выполнено утверждение 2. Пусть x 1 , . . . , x n , . . . — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +∞. Со- бытие {X < +∞}, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны, представляет собой объединение событий {X < x n }. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утверждении 3. Аналогично доказывают и первое равенство. Событие {X < x 2 } при x 1 < x 2 представляет собой объединение двух непересекающихся собы- тий: {X < x 1 } — случайная величина X приняла значение, меньшее x 1 , и {x 1 6 X < x 2 } — случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x 1 , x 2 ). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4. Наконец, пусть x 1 , . . . , x n , . . . — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к x. Событие {X < x} является объединением событий {X < x n }. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5. Замечание 5.1 Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция F (x), удо- влетворяющая условиям F (−∞) = 0 и F (+∞) = 1, является функцией распределения некоторой случайной величины X. # Дискретные случайные величины Определение 5.3 Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределе- ния. Определение 5.4 Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной вели- чины X называют таблицу (табл. 5.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней — вероятности p i = P{X = x i } того, что случайная величина примет эти значения. Для проверки правильности составления табл. 5.1 рекоменду- ется просуммировать вероятности p i . В силу аксиомы нормиро- ванности эта сумма должна быть равна единице: n P i=1 p i = 1. X x 1 x 2 . . . x i . . . x n P p 1 p 2 p i p n Таблица 5.1. Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функ- цию распределения F (x). Пусть X — дискретная случайная величина, заданная своим рядом распре- деления, причем значения x 1 , x 2 , . . . , x n расположены в порядке возрастания. Тогда для всех x 6 x 1 событие {X < x} является невозможным и поэтому в соответствии с определением 5.2 F (x) = 0. (Если x 1 < x 6 x 2 , то событие {X < x} состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых X(ω) = x 1 , и, следовательно, F (x) = p 1 . Аналогично при x 2 < x 6 x 3 событие {X < x} состоит из элементарных исходов ω, для которых либо X(ω) = x 1 , либо X(ω) = x 2 , т.е. {X < x} = {X = x 1 } + {X = x 2 }, 21 а следовательно, F (x) = p 1 + p 2 и т.д. Наконец, при x > x n событие {X < x} достоверно и F (x) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно- постоянной функцией, принимающей на промежутке (−∞, x 1 ] значение 0, на промежутках (x i , x i+1 ], 1 6 i < n, — значение p 1 + . . . + p i и на промежутке (x n , +∞) — значение 1. Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распреде- ления и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы. Например, распределение игральной кости (см. пример 5.1) описывают формулой P{X = i} = 1 6 , i = 1, 6. Непрерывные случайные величины Определение 5.5 Непрерывной называют случайную величину X, функцию распределения которой F (x) можно представить в виде F (x) = x Z −∞ p(y) dy. (5.1) Функцию p(x) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X. Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (5.1) сходится. Все реально встречающиеся плотности распределения случайных величин являются непрерывными (за исключе- нием, быть может, конечного числа точек) функциями. Сле- довательно, функция распределения для непрерывной слу- чайной величины является непрерывной на всей числовой оси и в точках непрерывности плотности распределения p(x) имеет место равенство Рис. 5.1. p(x) = F 0 (x), (5.2) что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом. Только такие случайные вели- чины мы и будем рассматривать в дальнейшем. На рис. 5.1 изображен типичный вид плотности распределения. Теорема 5.2 Плотность распределения обладает следующими свойствами. 1) p(x) > 0. 2) P{x 1 6 X < x 2 } = x 2 R x 1 p(x) dx. 3) +∞ R −∞ p(x) dx = 1. 4) P{x 6 X < x + ∆x} ≈ p(x)∆x в точках непрерывности плотности распределения. 5) P{X = x} = 0. Доказательство. Утверждение 1 следует из того, что плотность распределения является произ- водной от функции распределения, в силу свойства 1 функции распределения она является неубы- вающей функцией, а производная неубывающей функции неотрицательна. Согласно свойству 2 функции распределения, P{x 1 6 X < x 2 } = F (x 2 ) − F (x 1 ). Отсюда в соот- ветствии с определением непрерывной случайной величины и свойством аддитивности сходящегося несобственного интеграла имеем F (x 2 ) − F (x 1 ) = x 2 Z −∞ p(x) dx − x 1 Z −∞ p(x) dx = x 2 Z x 1 p(x) dx, что и доказывает утверждение 2. В частности, если x 1 = −∞, x 2 = +∞, то событие {−∞ < X < ∞} является достоверным, и поэтому справедливо утверждение 3. Согласно свойству 4 (см. теорему 5.1), P{x 6 X < x + ∆x) = F (x + ∆x) − F (x) = ∆F (x). Если ∆x “мал´о” (см. рис. 5.1), то имеем ∆ |