физика. KVANTOVAYa_OPTIKA (копия). Лекция 1 Тепловое излучение. Законы теплового излучения. Фотонный газ. Давление света
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
До прохождения щели  компонента импульса частицы имеет точное значение  =0, так как ось ОХ направлена перпендикулярно ее движению, следовательно, неопределенность импульса тоже равна нулю  . Координата же частицы в этот момент является совершенно неопределенной. После прохождения щели появляется неопределенность координаты равная  , но достигается это потерей определенности импульса, так как вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла равного  . Угол  соответствует положению первого дифракционного максимума. Максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность будет мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума. Таким образом, неопределенность импульса будет равна:  .Из теории дифракции известно, что краю центрального дифракционного максимума (это первый дифракционный минимум) соответствует угол, синус которого равен:  .Подставив синус в неопределенность импульса, получим величину, оговоренную в принципе неопределенности:  . Соотношение неопределенностей обусловлено корпускулярно-волновым дуализмом микрочастиц. Оно указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к объектам микромира, которые подчиняются более тонким закономерностям, основанным на вероятностном подходе. Следствиями соотношения неопределённостей является то, что у микрочастицы точно может быть определена лишь одна из величин, либо координата, либо скорость, но никогда то и другое одновременно. Ещё одним важным следствием является то, что при учете волновых свойств частицы теряется смысл деления полной энергии на кинетическую и потенциальную, поскольку координата и импульс одновременно не могут быть точно определены.  Волновая функция и ее интерпретации. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния.Поскольку любая частица обладает корпускулярно - волновым дуализмом, следовательно, для полного описания состояния микрочастицы надо использовать как стандартные характеристики корпускул (массу, импульс), так и волновые ( частоту, амплитуду). Одной из основных характеристик, описывающих волну, является ее амплитуда. В квантовой механике состояние микрочастицы задают волновой функцией  .Физический смысл волновой функции: 1. Если рассматривать частицу как волну материи, то  - это заданная в любой точке пространства и в любой момент времени амплитуда волны материи, подобно тому, как вектор  есть амплитуда электромагнитной волны.2.Если волновая функция  описывает ансамбль, состоящий из большого количества частиц, то  в любой точке пространства пропорциональна числу частиц, которые могут быть обнаружены в данной точке в данный момент времени. 3. Если волновая функция  описывает поведение одной частицы, то квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dW того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:  Интеграл от этого выражения, взятый по всему объему должен быть равен единице, так как он дает вероятность того, что частица находится в одной из точек объема V, а вероятность достоверного события всегда равна единице:  Это соотношение называется условием нормировки. Волновые функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. Из физического смысла волновой функции вытекают стандартные условия, накладываемые на нее: 1.  должна быть однозначной, непрерывной и конечной во всех точках пространства (кроме особых точек).2. Производная от волновой функции  тоже должна быть непрерывной и конечной во всех точках пространства.Статистическое описание поведения одной частицы из ансамбля осуществляется посредством функции  , которую называют плотностью вероятности нахождения частицы в данной точке в данный момент.  .В развитие идей де Бройля о волновых свойствах материи австрийский физик Шрёдингер в 1926 году получил уравнение, которое позволяет найти вид волновых функций, описывающих движение отдельных частиц в различных силовых полях. Шрёдингер вывел свое уравнение исходя из оптико-механических аналогий, которые заключаются в сходстве уравнений, описывающих ход светового луча с уравнениями, определяющими траектории движения частиц в классической механике. Это уравнение является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть получено из других соотношений и его справедливость доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными данными. Для свободно двигающейся частицы (нет силового поля) уравнение Шрёдингера имеет вид:  ,где  - оператор Лапласа.Если частица двигается в силовом поле, то уравнение Шрёдингера имеет вид:   ,где U- потенциальная энергия частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида:  ,имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям лишь при некоторых избранных значениях энергии, которые называются собственными. Совокупность собственных значений энергии называется спектром этой величины. Если средние значения всех физических величин, характеризующих состояние микрочастицы, не зависят от времени, состояние называется стационарным, и оно описывается функцией вида:  .Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний имеет вид:  ,или  , где Е – полная энергия частицы. В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими уравнениями, называя их просто уравнениями Шрёдингера. Решения этого уравнения образуют дискретный энергетический спектр, определяемый номером состояния n, каждое из этих состояний является стационарным. Основным состоянием называется состояние, описываемое волновой функцией, которая соответствует наименьшему значению энергии Е  .Иногда одному и тому же значению энергии Е соответствует несколько различных состояний частицы. Такие состояния называются вырожденными, а их число называют кратностью вырождения. Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из уравнения Шрёдингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, т.е. частиц, двигающихся со скоростями меньше скорости света в вакууме. В квантовой механике переход к релятивистским скоростям для электрона был осуществлен в 1928 году англичанином Дираком. При этом были использованы принципиально новые физические идеи для описания квантовых состояний частиц, двигающихся со скоростями близкими к скорости света в вакууме. В основе релятивистской квантовой механики лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шрёдингера.  Частица в одномерной потенциальной яме.Пусть некоторая микрочастица находится в одномерной потенциальной яме шириной  с бесконечно высокими стенками. В такой яме частица может перемещаться только вдоль оси ОХ, следовательно:   . Между стенками ямы потенциальная энергия частицы равна нулю, т.е. при 0<  U=0; за стенками ямы эта энергия бесконечно велика, т.е. при  и   .Определим возможные значения энергии, выражения для собственных волновых функций частицы и распределение вероятности нахождения её по ширине потенциальной ямы. Уравнение Шрёдингера в данном случае будет иметь вид:  .Обозначив  , получим:  .Уравнение по виду аналогично уравнению свободных незатухающих колебаний, но переменной в нем является координата, так как стационарные состояния от времени не зависят. Граничные условия и условие непрерывности волновой функции позволяют записать:  .Решение уравнения будем искать в виде:  .Из граничных условий следует, что:  ,  ; ,  ,  ,где принимает целочисленные значения n=1,2,3,…, но не может быть равно нулю, так как в этом случае  при любых х, это означает, что частицы в яме нет.Получили, что  , откуда  .  То есть, частица в потенциальной яме может принимать дискретный ряд разрешенных значений энергии. Теперь найдем собственные значения волновой функции. Поскольку энергетический спектр является дискретным, следовательно, и значения волновой функции будут тоже образовывать дискретный ряд:  .Амплитуду волновой функции A найдем из условия нормировки:  . Воспользовавшись теоремой о среднем  , получим:  ,  .Окончательно собственные значения волновой функции для данного случая можно записать:  .Плотность вероятности обнаружения частицы в состояниях, описываемых найденной  - функцией, по определению равна:  = = .Пусть n =1, учитывая, что  вероятность обнаружить частицу на краях ямы практически равна нулю; при  функция  , то есть, вероятность обнаружить частицу максимальна в центре ямы и убывает по синусоиде к её краям. Пусть n =2, тогда  и ,  и  . Отсюда следует, что максимальная вероятность обнаружить частицу соответствует двум точкам одновременно, что противоречит классическим представлениям. Графики изменения значений энергий, волновых функций и распределения плотностей вероятности по ширине ямы при различных n приведены на рис.53
 Движение частицы в областях потенциального барьера. Туннельный эффект. а) Рассмотрим движение частицы массой m в силовом поле (Рис.65.а), в котором её потенциальная энергия описывается уравнениями:  при   при  Такое поле называют потенциальным порогом или бесконечным потенциальным барьером. Характеризовать поведение частицы в силовом поле будем коэффициентами отражения частицы от барьера R и коэффициентом прозрачности барьера D.
Рассмотрим вначале поведение классической частицы. Если полная энергия частицы Е  < , то она отразится от него и полетит в обратную сторону, с той же энергией, которую имела до столкновения с барьером. Если  , частица пройдет над барьером, потеряв лишь часть своей кинетической энергии.Иначе будет вести себя квантовая частица. Такая частица с энергией  , налетев на ступенчатый барьер, проникает в него на некоторую глубину и лишь, затем поворачивает в обратную сторону. Вероятность проникновения частицы в барьер определяется коэффициентом D.Под глубиной проникновения квантовой частицы в барьер понимают расстояние х  , на котором вероятность обнаружения частицы уменьшается в е раз.Функция, определяющая глубину проникновения частицы в барьер, имеет вид:  .Обозначим область с  цифрой I, а область с  - II.Уравнение Шредингера для этой частицы в таком поле имеет вид: I область  II область  Пусть  , обозначив  и  , перепишем уравнения Шредингера:  ;  Решения этих уравнений будут иметь вид:  ;  1-ое слагаемое в  описывает плоскую волну де Бройля, распространяющуюся из  до  ; 2-ое слагаемое описывает плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси ОХ (от х = 0 до х =  ). Таким образом, волновая функция  представляет собой сумму падающей на бесконечный барьер и отраженный от него волн де Бройля.Функция  характеризует движение частицы в области II.Согласно стандартным условиям, накладываемым на волновую функцию, она должна быть ограниченной (конечной), в тоже время, слагаемое  при  растёт тоже до бесконечности, поэтому можно считать, что  .Из условия непрерывности волновой функции и её производной следует что:  ;  Откуда  Основываясь на физическом смысле искомых величин (коэффициенты отражения и прозрачности барьера), которые определяются через отношения коэффициентов  и  , мы можем считать, что  .Тогда  ;  Подставив эти коэффициенты в соответствующие волновые функции, получим:  (х<0)  (х >0)Определим коэффициент отражения волны де Бройля от бесконечного барьера, который определяет вероятность того, что данная частица отразится от границы барьера.  , где  и  - векторы плотности потока вероятности для отраженной и падающей волн.  Проделав все эти математические операции, получим  Коэффициент прозрачности барьера (коэффициент проникновения частицы в барьер) в общем случае можно определить как отношение векторов плотности вероятности для волн прошедших в барьер и падающих на него.  Однако  = 0, следовательно, и  должно быть равно нулю, но анализ вида волновой функции  показывает, что она отлична от нуля в области х >0, хотя и убывает по экспоненте с ростом х.Это означает, что существует отличная от нуля вероятность, что частица проникнет в барьер на некоторую глубину. Таким образом, хотя R =1, т.е. отражение полное, оно не обязательно происходит на границе  . С определенной вероятностью частица проникнет в область II и затем выйдет из нее. Для наиболее быстрых электронов в металле глубина проникновения составляет величину порядка десятых долей нанометра, что соизмеримо с межатомными расстояниями в металлическом кристалле. Б) Если  . В этом случае коэффициент отражения от барьера определяется выражением:  Коэффициент прохождения частицы через барьер (по аналогии обозначим его D) принимает вид:  .Можно сделать вывод, что существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального барьера. Этот эффект является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств. Следует отметить, что волна де Бройля, описывающая движение частицы в области барьера, на границе раздела областей I и II испытывает преломление, связанное с изменением скорости частицы  и её длины волны  .Относительный показатель преломления n будет равен:  . где  - скорости волн де Бройля в областях I и II соответственно.Выразив скорости через кинетическую энергию частицы, получим:  В) Еще удивительней поведение квантовой частицы, встречающей на своем пути потенциальный барьер произвольной формы и конечной ширины. В этом случае частица может оказаться за барьером даже при E < U  и отразиться от него при E > U . ( - высота потенциального барьера).Эти утверждения вытекают из уравнения Шредингера и стандартных условий, накладываемых на волновые функции. Проанализируем случай прохождения частицы через потенциальный барьер прямоугольной формы. (рис.65.б) Уравнения Шредингера запишем в виде:  ;  ;  где  и  .Волновые функции, являющиеся решениями этой системы уравнений запишем в виде:  ;  ;  Считая  , из условий непрерывности волновой функции и её производной получим:  ;  Решив данную систему уравнений относительно  и рассчитав плотности потока вероятности для падающей и прошедшей через барьер волны, а также учитывая выражения для  и  , получим для коэффициента прозрачности барьера:  где  - медленно изменяющаяся функция относительно  , её численное значение сравнимо с единицей. Получается, что основной вклад в зависимость коэффициента прозрачности от параметров барьера дает экспонента, поэтому при оценке коэффициента прозрачности можно полагать  .Для барьера произвольной формы функция, описывающая зависимость коэффициента прозрачности от параметров барьера имеет вид:  ,где х и х - координаты входа и выхода частицы из барьера. При преодолении потенциального барьера, высота которого превышает энергию частицы, она проходит в нем как бы по туннелю, поэтому этот эффект и называется туннельным. С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица «находящаяся в туннеле» должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле  ). Туннельный эффект явление чисто квантовое, он не имеет аналогов в классической физике. В квантовой механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Если частица имеет определенную кинетическую энергию, значит она обладает определенным импульсом, если частица обладает определенной потенциальной энергией, то она имеет определенную координату. А это для квантовой частицы невозможно. Таким образом, хотя полная энергия частицы и имеет определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы определенных значений Е и U. Туннельный эффект позволяет объяснить автоэлектронную эмиссию, радиоактивный  распад и др. Гармонический осциллятор.Гармоническим осциллятором называют частицу массой m, совершающую одномерное колебательное движение под действием квазиупругой (упругой) силы, подчиняющейся закону:  . Потенциальная энергия такой частицы равна:  .Учитывая, что  , где  частота собственных колебаний осциллятора, потенциальную энергию можно представить в виде:  .Т.Е, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к решению задачи о движении частицы в параболической яме. Поскольку движение одномерное, то оператор Лапласа будет иметь вид:  , и тогда уравнение Шрёдингера, описывающее движение гармонического осциллятора можно записать:  , где Е – полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при:  , где n = 0,1,2,3…. Следовательно, гармонический осциллятор также имеет дискретный спектр энергетических уровней, которые являются эквидистантными, т.е. расположенными относительно друг друга на одинаковом расстоянии равном  .Наименьшее возможное значение энергии осциллятора, равное  называется нулевой энергией.Существование нулевой энергии у квантового осциллятора вытекает из принципа неопределенности. Согласно классической теории полная энергия осциллятора равна:  .Поскольку у квантового осциллятора импульс и координата не могут одновременно иметь определенные значения, то одновременно они не могут быть равны нулю. Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света на кристаллах при низких температурах. Оказалось, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, что указывает на то, что при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются. Квантовая механика позволяет вычислить вероятность переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления для квантового осциллятора показали, что для него возможны переходы только между соседними уровнями, отстоящими друг от друга на величину энергии равной  . При таких переходах квантовое число n меняется на единицу,  .Условия, накладываемые на изменение квантовых чисел при переходах из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, квантовая механика достаточно строго доказала, что атомы (а именно они являются квантовыми осцилляторами) излучают энергию порциями, величина которых равна  . Этот результат Планк в своё время вынужден был постулировать, чтобы объяснить тепловое излучение. |
