Лекция матрицы план Понятие матрицы. Типы матриц. Алгебра матриц
![]()
|
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ ПланПонятие матрицы. Типы матриц. Алгебра матриц. 1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ Прямоугольную таблицуА= ![]() состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа ![]() ![]() Рассмотрим основные типы матриц: 1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n: А = ![]() Элементы ![]() ![]() Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю: А = ![]() ![]() Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1: Е = ![]() Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц. Приведем примеры единичных матриц: ![]() ![]() ![]() ![]() Квадратные матрицы А = ![]() ![]() называются верхней и нижней треугольными соответственно. 2. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид: ![]() 3. Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид: ![]() 4.Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0: 0 = ![]() Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел. 5. Матрица называется транспонированной к матрице ![]() ![]() ![]() Пример. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, если матрица А имеет порядок mn, то транспонированная матрица имеет порядок nm. 6. Матрица А называется симметричной, если А=А ![]() ![]() Пример. Исследовать на симметричность матрицы А и В. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В = ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть ![]() ![]() ![]() ![]() 2. АЛГЕБРА МАТРИЦ Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий. Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Пример. ![]() ![]() ![]() ![]() Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют. Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка mn, и ![]() ![]() ![]() Умножение матрицы на число. Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ: λА = ![]() ![]() Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Пример. Пусть матрица А = ![]() ![]() ![]() Пусть матрица В = ![]() ![]() ![]() Свойства умножения матрицы на число: 1) λА = Аλ; 2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ ![]() 3) (λА) ![]() ![]() 4) 0ּА = 0. Сумма (разность) матриц. Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mn. Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка mn называется матрица С того же порядка, где ![]() ![]() ![]() ![]() j = 1, 2, 3, …, n.). Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В. Пример. Найти сумму и разность матриц А и В. ![]() ![]() ![]() ![]() тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если же ![]() ![]() ![]() ![]() Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц: коммутативность А+В=В+А; ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С); дистрибутивность к умножению на число λ ![]() 0+А=А, где 0 – нулевая матрица; А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А; (А+В) ![]() ![]() ![]() Произведение матриц. Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных. |