Лекция 9 Планирование эксперимента. Лекция Планирование эксперимента
 Скачать 183.51 Kb.
|
1 2 Лекция 9. Планирование эксперимента 9.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Экспериментом называют целенаправленное воздействие на объект исследования с целью получения о нем достоверной информации. В науке эксперимент играет важную роль, являясь источником познания и критерием истинности теорий и гипотез. Объекты исследования разнообразны, но методы экспериментальных исследований имеют много общего. Организация и проведение исследований обычно содержит следующие этапы: выбор плана проведения эксперимента; сокращение числа рассматриваемых переменных с целью уменьшения объема проводимых экспериментов; контроль хода эксперимента; исключение влияния случайных внешних воздействий; оценка точности средств измерений и точности результатов эксперимента; анализ и интерпретация полученных результатов. План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Планированием эксперимента называется выбор плана эксперимента, удовлетворяющего поставленным требованиям. Современные методы планирования эксперимента и обработки его результатов, разработанные на основе математической статистики и теории вероятностей, позволяют существенно сократить число необходимых для проведения опытов. Знание и использование этих методов делает работу экспериментатора целенаправленной и повышает надёжность получаемых им результатов. По цели проведения и форме представления полученных результатов различают качественные и количественные эксперименты. Качественный эксперимент устанавливает только сам факт существования какого-либо явления, но при этом не даёт никаких количественных характеристик объекта исследования. Результатом такого эксперимента является словесное описание объекта. Это не самый эффективный и информативный способ представления результатов эксперимента, поскольку не позволяет дать количественных рекомендаций, проанализировать свойства объекта в различных условиях. Количественный эксперимент не только фиксирует факт существования того или иного явления, но и позволяет установить соотношения между количественными характеристиками явления и количественными характеристиками способов внешнего воздействия на объект исследования. По способу проведения различают пассивные и активные эксперименты. Пассивный эксперимент основан на регистрации входных и выходных параметров, характеризующих объект исследования, без вмешательства в эксперимент в процессе его проведения. Обработка экспериментальных данных осуществляется только после окончания эксперимента. При использовании методов активного эксперимента математическое описание строится в виде совокупности статических и динамических выходных характеристик объекта, которые регистрируются при подаче на его входы специальных возмущающих воздействий по заранее спланированной программе. К требованиям, предъявляемым при планировании активного эксперимента, относят степень точности и надёжности результатов, полученных после проведения эксперимента, сроки и средства, имеющиеся в распоряжении исследователя и др. По условиям проведения эксперименты делят на лабораторные и промышленные. В лабораторном эксперименте меньше влияние случайных погрешностей, проще обеспечить запланированные условия проведения опытов, большая возможность варьировать входные переменные. В промышленных условиях усложняются измерения и сбор информации, значительно большее влияние на объект исследования и средства измерений оказывают различного рода помехи, поэтому в промышленном эксперименте необходимо использовать специальные статистические методы обработки результатов. Кроме того, на производстве всегда желательно по возможно меньшему числу измерений получить наиболее достоверные результаты. Так называемый Машинный эксперимент проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть получена как для анализа характеристик, так и для синтеза структуры, алгоритмов и параметров системы S. В зависимости от поставленных целей моделирования системы S на ЭВМ имеются различные подходы к организации имитационного эксперимента. Эффективность машинных экспериментов с моделями Ммсущественно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Планирование эксперимента – это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме; средство построения математической модели реального процесса; и способ сокращения средств и времени. Основная задача планирования машинных экспериментов с моделью Мм формулируется следующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования. К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, относятся задачи уменьшения затрат машинного времени на моделирование, увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т. д. Таким образом, при машинном моделировании целесообразно планировать и проектировать не только саму модель Мм системы S, но и процесс ее использования, т. е. проведение экспериментов. Несмотря на то что цели экспериментального моделирования на ЭВМ и проведения натурных экспериментов совпадают, между ними существуют различия, поэтому для планирования эксперимента наиболее важное значение имеет следующее: 1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью Ммсистемы S; 2) возможность управления экспериментом с моделью Мм, включая его прерывание и возобновление; 3) легкость варьирования условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды Е); 4) наличие корреляции между последовательностью точек в процессе моделирования; 5) трудности, связанные с определением интервала моделирования (0, Т). Преимуществом машинных экспериментов перед натурными является возможность полного воспроизведения условий эксперимента с моделью исследуемой системы S. Простота прерывания и возобновления машинного эксперимента позволяет применять последовательные и эвристические приемы планирования, которые могут оказаться нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. Недостатком машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выходных последовательностях, т. е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях. Так как в большинстве существующих методов планирования экспериментов предполагается независимость наблюдений, то многие из этих методов нельзя применять непосредственно для машинных экспериментов. Рассмотрим основные понятия теории планирования экспериментов. В связи с тем, что математические методы планирования экспериментов основаны на кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента, наиболее общей моделью последнего является абстрактная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетическом подходе различают входные и выходные переменные: х1 х2, ..., xk, y1, y2, ..., yi. Модели динамических систем делятся на детерминированные и статистические. Статистической моделью системы управления является и детерминированная модель с добавлением к выходной величине случайной ошибки. Эти модели бывают стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные модели могут быть эргодические и неэргодические. Для эргодического процесса, если взять достаточно большой интервал времени, то по одной реализации можно создать представление о случайном процессе в целом. Для неэргодического процесса среднее значение для каждой реализации своё и здесь нельзя с помощью одной реализации описать процесс. B зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, то х — фактор, а у — реакция. В экспериментах с машинными моделями Мм системы S фактор является независимая или управляемой (входной) переменной, а реакция — зависимой (выходной) переменной. Каждый фактор хi i=1, k может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Функцию, связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции,— поверхностью реакции.  (4.1)Эти функции заранее неизвестны, поэтому используют приближения  , (4.2)которые находятся по данным эксперимента. Факторы могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными. Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются. Неуправляемый фактор также можно наблюдать. Наблюдаемые неуправляемые факторы называются сопутствующими. Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель Ммдля изучения свойств системы S, а не для вспомогательных целей. Фактор будет количественным, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Фактор называется фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются: – требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требование непосредственного воздействия на объект имеет значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. – требование совместимости и независимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других. Эксперименты могут быть реализованы лишь в тех точках факторного пространства, которые принадлежат допустимой области. Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации, так как в этой области находят локальную подобласть для планирования эксперимента. Интервалом варьирования факторов называют некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни факторов. Т.е. это расстояние на координатной оси между основным и верхним (либо нижним) уровнем. После этого выбирают основной уровень. За основной уровень принимаются те значения факторов, при которых выходная величина принимает лучшее значение, причем эта точка не должна лежать близко к границам области. Через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем для каждого фактора выбирают масштабы по новым осям.  Рис. 4.1. Геометрическое представление поверхности реакции На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, которая допускается при фиксации уровня фактора, так как в этом случае верхний и нижний уровни будут неразличимы. И, с другой стороны, интервал варьирования ограничен сверху пределами области определения. Например, температура принципиально не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются таким образом, чтобы верхний уровень соответствовал +1, а нижний -1, основной – нулю. Уровни, записанные в таких обозначениях, называются кодированными:  (4.3)где  – кодированное значение фактора; j – номер фактора;  – натуральное значение фактора;  – натуральное значение основного уровня;  – интервал варьирования.Пример. l1=2; =3. Рис. 4.2 После определения интервалов варьирования выбирают значения факторов, т.е. число уровней для каждого фактора. Это число не может быть меньше двух, т.е. если сделать один уровень, то фактор окажется постоянным во всех опытах. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). При двух уровнях факторов получают полный факторный эксперимент типа 2К. Число опытов для данного случая будет равно  .Условия эксперимента записываются в виде таблицы. Ее строки соответствуют различным опытам (вектор-строка), а столбцы – значениям факторов в кодированном виде (вектор-столбцы). Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента (МПЭ). Таблица 4.1
План эксперимента можно представить геометрически (рис. 4.3, 4.4). Для плана 22 каждая комбинация факторов представляет собой вершину квадрата.  Рис. 4.3. Геометрическая интерпретация эксперимента  :а – без масштабирования, б – с масштабированием  Рис. 4.4. Геометрическая интерпретация эксперимента  К свойствам МПЭ типа  относятся те, которые определяют качество модели, т.е. эти свойства дают наилучшие оценки коэффициентов модели. Первые два свойства вытекают из построения матрицы. К ним отностся:1. Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равно нулю  , где j- номер фактора, N - число опытов.2. Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов  .3. Ортогональность матрицы. Сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю  , где  .Ортогональные планы делают эксперимент более эффективным. Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами. Однако, если имеет место нелинейность, то столбцы взаимодействий окажутся неразличимы, закоррелироваными с некоторыми столбцами линейных эффектов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента становится невозможным разделить коэффициенты регрессии между линейными и нелинейными факторами. 4. Рототабельность планов. Это такие планы, для которых дисперсия  одинакова для всех точек пространства переменных x, лежащих на одинаковых расстояниях от центра.Достаточно часто имеет место взаимодействие факторов, тогда в таблице эксперимента перемножают соответствующие столбы. Таблица 4.2.
9.2. 1 2 |