Лекция. лекция 5m. Лекция Векторные дифференциальные операции в криволинейных координатах

• Название: Лекция Векторные дифференциальные операции в криволинейных координатах
• Анкор: Лекция
• Дата: 20.12.2019
• Размер: 79.13 Kb.
• Имя файла: лекция 5m.docx
• Тип: Лекция; #101267
• страница: 1 из 6

Лекция 5. Векторные дифференциальные операции в криволинейных координатах

1. Криволинейные ортогональные координаты. В декартовой системе координат положение в пространстве некоторой точки М(х', у', z') определяется пересечением трёх взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 6.1)

х = х', у = у', z = z'.

Через точку М, таким образом,, проходят три прямые, каждая из которых принадлежит двум координатным плоскостям. Они называются координатными прямыми; положение точки на каждой из них зависит от одной координаты х, у или z. Произвольно перемещая точку М в пространстве, можно построить сколько угодно координатных плоскостей и соответствующих координатных прямых. Изменению положения точки М соответствует изменение направленного отрезка , соединяющего её с началом координат О, т. е. радиус-вектора (§ 1 п. 3).

Рис 6.1

Понятно, что точка в пространстве может быть с тем же успехом определена как пересечение трёх произвольных однозначно заданных поверхностей. Так, в цилиндрической системе координат фиксируется пересечение поверхности кругового цилиндра и двух плоскостей, одна из которых проходит через его ось, а другая ей перпендикулярна (рис. 6.2). В сферической системе пересекаются полуплоскость, поверхность конуса и поверхность сферы (рис. 6.3). Мы пришли, таким образом, к понятию координатных поверхностей. Последние в общем случае можно описать уравнениями

q₁(x, у, z) = const, q₂(x, у, z) = const и q₃(x, у, z) = const, (6.1)

где в левых частях равенств стоят некоторые однозначные функции декартовых координат.

На линии пересечения двух координатных поверхностей (рис. 6.4) выполняются одновременно два равенства из (6.1), а следовательно, её точки определяются только одной из функций q₁, q₂, q₃. Поэтому каждая такая линия называется координатной, а эти функции - криволинейными координатами.

Для произвольной точки М в системе криволинейных координат устанавливается обозначение М(q₁, q₂, q₃).



Рис. 6.2 Рис. 6.3

В каждой точке можно рассматривать единичные векторы (орты), касательные координатным линиям и направленные в сторону возрастания соответствующих координат; они будут обозначены символами .



Рис. 6.4

В дальнейшем мы будем использовать только ортогональные системы координат, т. е. такие, орты которых в любой точке взаимно перпендикулярны:

(6.2)

Перемещение точки М (рис. 6.5 а) выражается приращением её радиус-вектора . Разлагая дифференциал no opтам , имеем:

, (6.3)

где dl₁, dl₂и dl₃- дифференциалы длины по соответствующим криволинейным координатам. С другой стороны,

. (6.4)



Рис. 6.5

Причём (рис. 6.5 б) частные производные радиус-вектора по координатам - это векторы, параллельные их ортам:

. (6.5)

Сопоставляя равенства (6.3) и (6.4) с учётом (6.5), видим, что дифференциалы длины криволинейных координат отличаются от дифференциалов самих координат множителями h₁,h₂и h₃:

.(6.6)

Множители эти называются