Лекция. лекция 5m. Лекция Векторные дифференциальные операции в криволинейных координатах

• Название: Лекция Векторные дифференциальные операции в криволинейных координатах
• Анкор: Лекция
• Дата: 20.12.2019
• Размер: 79.13 Kb.
• Имя файла: лекция 5m.docx
• Тип: Лекция; #101267
• страница: 2 из 6

метрическими коэффициентами, или коэффициентами Ламэ. Вообще метрические коэффициенты являются функциями координат. В тех случаях, когда приращения длины и приращения соответствующих координат идентичны, эти коэффициенты равны единице.

Заметим, что если в криволинейных координатах рассматривается поле вектора



то дифференциал длины силовой линии выражается в отличие от (2.6) по формуле (6.3) и, соответственно, вместо пропорции (2.7) получается:

(6.7)

или подставляя (6.6):

(6.8)

2. Цилиндрические и сферические координаты. Из всех ортогональных криволинейных систем координат чаще всего иcпользуют цилиндрическую и сферическую, которые мы уже упоминали. Цилиндрические координаты r, φ, z(см. рис. 6.2) - это расстояние точки наблюдения от оси цилиндра (z), угол ориентации плоскости, проходящей через эту точку и ось, по отношению к некоторой фиксированной плоскости (x0z) и расстояние точки от горизонтальной плоскости (х0у). Заметим, что радиальное направление здесь не совпадает с радиус-вектором.

Сферические координаты r, θ, φ(см. рис. 6.3) имеют соответственно следующий смысл: расстояние от начала координат (0), угол ориентации радиального направления по отношению к некоторой оси (z)и угол ориентации плоскости, проходящей через ось и точку наблюдения, по отношению к фиксированной плоскости (x0z).

Основные характеристики цилиндрической и сферической систем сведены в следующую таблицу:

Таблица 6.1

Номер координаты, i	Система координат коорди* ат
	Цилиндрическая ическая					Сферическая
	qi		hi	dli	qi			hi	dli
1	r		1	dr	r			1	dr
2	α		r	rdα	θ			r	rdθ
3	z		1	dz	α			rsinθ	rsinθdα

Орты здесь обозначены теми же буквами, что и соответствующие координаты, и порядок перечисления координат выбран таким, что орты образуют правую тройку векторов; орты угловых координат направлены в сторону возрастания соответствующих углов (рис. 6.6 а, б).

Метрические коэффициенты легко находятся из геометрических соображений (рис. 6.6а, б). Как видно, отвечающие угловым координатам q_iкоэффициенты h_i- это просто радиусы окружностей, дугами которых являются элементы длины dl_i.

Рис.6.6

Элемент объема ΔV = Δl₁Δl₂Δl₃ в цилиндрических координатах есть rΔrΔαΔz, а в сферических r²sinθΔrΔθΔα. Элемент поверхности координатного цилиндра есть rΔαΔz, а координатной сферы r²sinθΔθΔα.

3.