Лекция Введение в предмет Основы гидравлики. Основные свойства жидкостей и газов
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
2.2.2 Уравнение неразрывности Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, те. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов. Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через x u . Скорость жидкости, вытекающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна dx x u u x x dx dz dy u x i j k y z x Рис. 2.35. Движение жидкости через контур Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не зависит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой x u dydz , а вытекает через правую грань x x u u dx Значит, за 1 сиз параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем втекает, на Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю 0 y x z u u u dxdydz dxdydz dxdydz x y z (2.33) 50 Это уравнение называют уравнением неразрывности, т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой. Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь 1 s ив этом сечении скорость жидкости 1 u , а ее плотность 1 . Площадь сечения на выходе из трубки тока 2 s , скорость течения жидкости 2 u , и ее плотность 2 . Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу времени масса жидкости 1 1 1 1 m Q s u . Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости 2 2 2 2 m Q s u . В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левыми правым сечениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет 1 m Q 2 m Q const. Если плотность жидкости по длине трубки тока не изменяется, те. 1 = 2 , то можно записать для левого и правого сечений 1 1 s u 2 2 s u = const или 1 Q 2 Q const. (2.35) Полученное уравнение является уравнением неразрывности для трубки тока. Для потока реальной жидкости уравнение неразрывности записывается в следующем виде 1 1 2 2 ср ср S S const , (2.36) где 1 S и 2 S – площади сечения потока в сечениях на входе и на выходе ср1 и ср2 – средние скорости потока в этих сечениях. Можно сделать два важных вывода 1. При установившемся движении жидкости объемный расход не меняется 2. При увеличении площади сечения потока жидкости средняя скорость уменьшается, и, наоборот, приуменьшении сечения - скорость увеличивается. 2.2.3 Виды движения жидкости Все случаи течения жидкости можно разделить на виды, представленные на рисунке 2.36. Рис. 2.36. Виды движения жидкости Установившееся движение жидкости – движение жидкости, при котором все параметры жидкости (давление, температура, скорость и др) не изменяются повремени Для неустановившегося движения ( , , , ) u f x y z t (2.38) Равномерное движение – установившееся движение, при котором скорость по всей длине потока не изменяется u const (2.39) Напорное движение устанавливается в закрытых гидравлических системах, в которых жидкость течет в, основном, под действием силы давления, безнапорное движение наблюдается в открытых системах, в которых движение жидкости происходит под действием силы тяжести. 2.2.4 Интегральная формула количества движения В теоретической механике изучается теорема о количестве движения материальных точек, которую можно применить в гидравлике. Будем считать движение жидкости в канале (см. рис 2.37) установившемся. Распределение давления в сечениях 1-1 и 2-2 гидростатическое. В сечении 1-1 действует сила давления, направленная внутрь выделенного объема жидкости 1 1 1 P p s , в сечении 2-2 – сила 2 2 2 P p s ( 1 2 , p p – давление в сечениях 1-1 и 2-2, 1 2 , s s – площади сечений. На элементарной площадке стенки канала действуют сила реакции стенки, равная силе давления pds и сила вязкого трения τds. Проекция этих сил на ось движения равна pds sin α + τds cos α(α – угол наклона элементарной стенки какала к его оси. Суммарная проекция внешних сил, действующих на изолированную массу жидкости, равна 1 1 2 2 sin cos S S p ds ds p s p s pds ds P 1 P 2 1 1 Рис. 2.37. Силы, действующие на поток жидкости в канале Примем, что ось канала наклонена под углом θ к горизонту. Проекция веса жидкости, заключенной между выбранными сечениями равна gρVsin θ (V – объем выделенной массы жидкости. Проекция всех сил, действующих на изолированную массу, равна 1 1 2 2 sin cos S S p ds ds p s p s – gρVsin θ. (2.40) Распределение скорости в контрольных сечениях может быть неравномерным. Через элементарную площадку ds контрольной поверхности в единицу времени переносится количество движения, равное 2 u ds (u – местная скорость течения. Суммарное количество движения равно Средняя скорость в контрольном сечении ср 0 / s ds s . Количество движения, подсчитанное по средней скорости равно 2 ср s Отношение количества движения, действительно перенесенного потоком, к количеству движения, определенного по средней скорости, называется коэффициентом Буссинеска 2 2 0 ср s s s В единицу времени при установившемся движении изменение количества движения составит 54 2 2 02 ср2 2 01 ср1 1 02 ср2 01 ср1 s s Q , где Q – расход жидкости. Импульс действующих сил должен равняться изменению количества движения массы, на которую данный импульс действует. Следовательно, при течении жидкости в канале с учетом принятых условий соблюдается равенство 1 1 2 2 sin cos S S p ds ds p s p s – gρVsin θ = 02 ср2 01 ср1 Q Q (2.41) Нами получено гидравлическое уравнение количества движения. Вывод При переходе отсечения к сечению 2-2 проекция секундного количества движения потока изменяется на величину, равную сумме проекций всех внешних сил, действующих на объем потока, заключенный между сечениями 1-1 и Применяя уравнение количества движения, можно решить ряд задач гидравлики, например теоретически определить коэффициент местного сопротивления при внезапном расширении трубы изменение давления в трубе при равномерном отборе жидкости на одном ее участке определение расхода газа при всасывании его через цилиндрическую трубу. 2.2.5 Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости уравнение Эйлера) Предположим, что в жидкости движется элементарный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 2.38). На параллелепипед действуют поверхностные силы давления и массовые силы с проекциями X, Y, Z, отнесенными к единице массы. При движении объема возникают силы инерции. Проекции этих сил на оси координат, отнесенные к единице массы, равны соответственно , , y x z du du du dt dt dt dydz p p dx dz dy y z x pdydz 0 Рис. 2.38. Схема равномерного движения объема жидкости Рассмотрим условие равновесия сил, в проекции на ось х. Сила давления на левую грань – pdydz, на правую грань –(p + p dx x )dydz, где p dx x =Δp – изменение давления вдоль оси x. Массовая сила равна Xρdxdydz. Уравнение равновесия запишется в виде pdydz – (p + p dx x ) dydz + Xρdxdydz x du dt ρdxdydz = 0, или – p x dxdydz + Xρdxdydz x dv dt ρdxdydz = 0. 56 Разделив каждый член уравнения на ρdxdydz, получим X – 1 x du p x dt Соответственно для осей и уравнение равновесия будет выглядеть следующим образом Y – 1 y du p y dt , Z – 1 z du p z dt Объединив полученные уравнения, получим систему уравнений Эйлера – 1 x du p x dt , Y – 1 y du p y dt , (2.42) Z – 1 z du p z dt Можно получить полный дифференциал уравнений Эйлера для установившегося движения, если рассматривать перемещение частиц жидкости вдоль линии тока. Для этого надо умножить каждое из уравнений системы на соответствующую проекцию элементарного перемещения частиц dx, dy, dz, и сложить их (Xdx + Ydy + Zdz) – 1 p p p dx dy dz x y z – y x z du du du dx dy dz dt dt dt = 0. Т.к. для установившегося течения линии тока совпадают с траекториями движения частиц, то Тогда y x z du du du dx dy dz dt dt dt = x x y x z z u du u du u du = 2 2 2 1 ( ) 2 x y z d u u u 2 Для установившегося движения давление зависит только от координат, поэтому второй член уравнения есть полный дифференциал давления dp. Получим (Xdx + Ydy + Zdz) – 1 dp – 2 1 2 du = 0 (2.43) Мы получили дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости. В поле силы тяжести X = 0, Y = 0, Z = – g, тогда уравнение запишется в следующем виде – gdz – dp – 2 2 du = 0. 58 После интегрирования этого уравнения получаем (при ρ = const) уравнение gz + p + 2 2 u = const, (2.44) которое называется уравнением Бернулли для струйки невязкой жидкости. 2.2.6 Общее уравнение энергии в интегральной форме(Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости) Для двух сечений струйки невязкой жидкости это уравнение будет выглядеть следующим образом 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 p u p u gz gz (2.45) Сумма слева представляет полную удельную энергию струйки в сечении 1-1, сумма справа – полную удельную энергию струйки в сечении 2- 2. Можно записать, что 1 На практике энергия струйки вначале больше энергии струйки в конце, т.к. часть энергии теряется на преодолении сил вязкости. В процессе движения вязкой жидкости запас ее механической энергии уменьшается, и на самом деле 1 Е Обозначим энергию, затрачиваемую на преодоление сил сопротивления пот. пот – это та часть механической энергии, которая, вследствие вязкости, переходит в тепловую энергию. Другими словами можно сказать, что пот – это часть энергии, которая израсходована на преодоление гидравлических сопротивлений. ЕЕ пот) При выводе уравнения Бернулли для элементарной струйки можно было пренебречь изменением скорости и давления в пределах нормальных сечений благодаря их малым величинам. В потоке жидкости скорости и давления в пределах живых сечений различны, и это необходимо учитывать. Согласно гипотезе Ньютона, жидкость как бы прилипает к стенкам канала, по которому она течет и ее скорость равна нулю. Нос увеличением расстояния от стенки, скорость струек увеличивается. Так называемая мощность потока складывается из энергии отдельных струек S N dN , где N – мощность потока dN – мощность струйки S – площадь живого сечения потока. Для мощности струйки можно записать dN = Ed m Q = (gz + p + 2 2 u ) где ds – площадь живого сечения струйки. 60 Величина удельной энергии потока равна частному отделения мощности потока на массовый расход m Q 2 2 S m p u gz uds E Q Это уравнение можно разбить на два интеграла E п кин E Е = S m p gz uds Q 2 2 S m u uds Q , где п – удельная потенциальная энергия потока относительно выбранной плоскости сравнения кин Е – удельная кинетическая энергия потока. Для вычисления п E надо знать закон изменения давления по живому сечению. Для плавноизменяющихся течений ускорения и силы инерции незначительны, поэтому ими можно пренебречь. Экспериментально доказано, что в плавноизменяющемся потоке давления распределяются по закону гидростатистики gz p = const. п gz p (2.47) Для вычисления интеграла 2 2 S m u uds Q нужно знать закон распределения скоростей по сечению. Умножим и поделим это выражение на 3 ср S 2 2 S m u uds Q 3 ср 3 ср S S = 2 ср ср 2 S 3 3 ср 2 S m u ds SQ = 2 ср 2 m m Q Q , где α – коэффициент, который учитывает неравномерность распределения скоростей в сечении, называется коэффициент Кориолиса. Получаем выражение для удельной кинетической энергии потока кин Е = 2 ср 2 (2.48) Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости 2 2 1 1 ср 2 2ср 1 2 1 2 2 пот (2.49) Полученное уравнение позволяет сделать следующие выводы 1. При увеличении кинетической энергии потока от одного сечения к другому потенциальная энергия уменьшается, и, наоборот, с увеличением потенциальной энергии, кинетическая уменьшается. 2. Коэффициент α тем больше, чем больше скорости отдельных струек отличаются от величины средней скорости. Если скорости всех элементарных струек будут равны средней скорости, то α = 1. 62 2.2.7 Три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жидкости Представленное выше уравнение Бернулли является уравнением Бернулли, записанное в форме удельной энергии, где 1 gz и 2 gz – удельная энергия положения в сечениях 1-1 и 2-2 потока 1 p и 2 p – удельная энергия давления в этих сечениях 2 1 1 ср 2 и 2 2 2ср 2 – удельная кинетическая энергия. На практике при выполнении инженерных расчетов обычно применяют две другие формы представления уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли в форме напоров можно получить, если разделить уравнение в форме удельной энергии на g, обозначив пот 2 1 1 ср 2 2ср 1 2 1 2 2 2 w p p z z h g g g g (2.50) Каждый член этого выражения имеет размерность длины и может быть представлен некоторой высотой (напором) (см. рис. Здесь 1 z и 2 z – высота положения или геометрический напор расстояние от плоскости сравнения до центра сечения потока 1 1 p p g и 2 2 p p g – пьезометрическая высота или пьезометрический напор (высота поднятия жидкости в пьезометрической трубке под действием давления 2 1 1 ср 2g и 2 2 2ср 2g – скоростной напор (разность показаний трубки Пито и пьезометрической трубки. Сумма трех высот 2 1 1 ср 1 1 1 2 p z H g g и 2 2 2ср 2 2 2 2 p z H g g – полный напор потока жидкости. 0 H h h d 1 d 2 d 1 z p g 2 2 l l 1 1 2 2 3 3 0 Рис. 2.39. Опытная демонстрация уравнения Бернулли в форме напоров Разность полных напоров двух живых сечений потока – потеря напора между этими сечениями 1 2 w h H H (2.51) С помощью уравнения Бернулли в форме напоров можно найти высотные отметки жидкостей, которые могут быть достигнуты в данной трубопроводной системе. Это уравнение широко используется при проектировании и гидравлических расчетах водопроводов. Уравнение Бернулли в форме давлений получаем, если уравнение Бернулли в форме удельной энергии умножим на плотность ρ. 2 2 1 1 ср 1 2ср 1 1 2 2 2 2 w gz p gz p gh (2.52) 64 Здесь каждый член имеет размерность давления и 2 gz – гравитационное давление, те. давление, создаваемое силой тяжести 1 p и статическое давление 2 1 1 ср 2 и 2 2 2ср 2 – динамическое давление w gh – потери давления на преодоление сил трения и местные сопротивления. Вывод при увеличении скорости движения потока давление на этом участке падает и, наоборот – приуменьшении скорости давление увеличивается. Уравнение Бернулли в форме давлений применяется для расчета систем вентиляции, газовых стояков внутри зданий и т.д. |