Лекция Введение в предмет Основы гидравлики. Основные свойства жидкостей и газов
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
3.4 Конечно-разностная форма уравнения Навье-Стокса Напряженное состояние жидкости. Законы движения и покоя жидкостей и газов основываются на законах механики сплошной среды, что позволяет рассматривать равновесие и течение жидкости в целом без учета механизма молекулярного движения. В массе жидкости, которая рассматривается как сплошная среда, под влиянием внешних сил возникают соответствующие внутренние силы. Оценим порядок значений сил, действующих на элементарный изолированный объем, имеющий форму параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz см. рис. 3.2). Вся система движущейся массы отнесена к координатам x, y, z. На плоскостях граней изолированного параллелепипеда возникают напряжения. Составляющие напряжений, направленные перпендикулярно грани, называются нормальными напряжениями. Составляющие, находящиеся в плоскости граней, называются касательными напряжениями. 2 1 3 1 1 3 2 2 2 1 3 3 z z y y x Рис. 3.2. Силы, действующие на элементарный изолированный объем На поверхности граней элементарного параллелепипеда возникают три различных по величине касательных напряжения и три нормальных составляющих напряжений вдоль осей x и y – напряжение 1 , вдоль осей x и z – 2 и вдоль осей y и z – 3 . Вдоль оси x действует нормальная составляющая напряжения 1 , вдоль оси y – 2 и вдоль оси z – 3 . На массу жидкости, находящуюся в изолированном объеме, действуют массовые силы, которые пропорциональны третьей степени размера выделенного объема. При прохождении жидкости через изолированный элементарный объем происходит изменение количества движения массы жидкости. Это изменение вызывает соответствующий импульс сил, действующий на массу жидкости в изолированном объеме. Изменение количества движения жидкости, протекающей через рассматриваемый неподвижный объем, пропорционально массе, заключенной в этом объеме и третьей степени его линейного размера. Силы, действующие на поверхности граней и равные возникающим напряжениям, умноженным на соответствующие площади, пропорциональны квадрату характерного линейного размера. При стягивании рассматриваемого элементарного объема в точку остаются только силы, связанные с возникающими в этой точке напряжениями. 80 Рассматривая элементарный объем, можно считать, что он находится в равновесии только под действием сил, возникающих за счет напряжений на его поверхности. При течении реальных жидкостей в потоке возникают напряжения, которые раскладываются на нормальные и касательные составляющие к площадкам, на которых они действуют. В таком потоке можно рассматривать две системы напряжений нормальные напряжения (давление, определяемые в любой точке потока дополнительные напряжения, состоявшие из трех нормальных и трех касательных составляющих эта система напряжений зависит в каждой точке потока от ориентации площадки, на которой возникают напряжения. Выберем в точке, находящейся внутри потока и определяемой координатами x, y, z, систему прямоугольных координат x , y , z . В плоскостях координат возникнут кроме давления еще три нормальные 1 , 2 , 3 и три касательные 1 , 2 , 3 составляющие дополнительного напряжения. Значения дополнительного напряжения зависит от физических свойств и характера течения жидкости. Изолированная элементарно малая масса жидкости находится в момент времени t вначале координат. Элементарная масса имеет форму параллелепипеда с гранями, параллельными плоскостям координат. Стороны параллелепипеда имеют размеры dx, dy, dz. Рассмотрим проекцию сил, возникающих на гранях изолированного параллелепипеда под действием дополнительных напряжений, на ось x. В момент, когда он вместе с потоком движется мимо центра координат, на гранях, нормальных коси. действуют силы 1 dydz и 1 1 x dx dydz . Суммарная проекция силы, определяемая нормальными составляющими напряжения, 1 1 1 1 x dx dydz dydz dxdydz x (3.7) На гранях, параллельных плоскости координат x0z, действуют напряжения, а, следовательно, и силы вдоль оси x: и 3 3 y dy dxdz . Эти напряжения приводят к составляющей вдоль оси x, равной На гранях, параллельных плоскости координат x0y, на ось 0x проектируются силы 2 dxdy и 2 2 y dz dxdy . Вдоль оси эти напряжения дадут составляющую Суммарная составляющая сил, возникающих на гранях изолированного элемента жидкости за счет дополнительного напряжения в проекции на ось равна 3 1 2 dxdydz x y z (3.8) Аналогично составляющие дополнительного напряжения, действующие на остальных гранях, в проекциях на оси 0y и 0z дадут составляющие сил 3 2 1 dxdydz y x z и 3 1 2 dxdydz z y x (3.9) Прибавляя эти силы, отнесенные к единице массы жидкости к правой части уравнений Эйлера, получим условия динамического равновесия в точке потока при течении реальной жидкости. 82 3 1 2 3 2 1 3 1 1 1 ; 1 1 ; 1 1 x x x x x y z y y y y x y z z z z z x y z u u u u p u u u X dxdydz t t y z x x y z u u u u p u u u Y dxdydz t t y z y y x z u u u u p u u u Z t t y z y z y 2 dxdydz x (3.10) Определим теперь силы, возникающие в точке потока за счет вязкости. Проекция на ось 0x сил вязкости, отнесенных к единице объема и действующих в точке, определяемой в потоке координатами x, y, z. Проекция на ось 0x сил вязкости, отнесенных к единице объема и действующих в точке, определяемой в потоке координатами x, y, z: 2 3 1 2 2 2 y x x x z u u u u u x y z x y x y z z y (3.11) Дифференцируя уравнение неразрывности по x, получим или y x z u u u x x x y z (3.12) Тогда уравнение сил, возникающих за счет вязкости жидкости, равно 2 2 2 2 2 2 x x x u u u x y z (3.13) Аналогично в проекции на оси 0y и 0z дополнительная проекция сил, которые следует учитывать при течении вязких жидкостей, составит 2 2 2 2 2 2 y y y u u u x y z и 2 2 2 2 2 2 z z z u u u x y z (3.14) Уравнения Эйлера с учетом этих дополнительных сил примут вид 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ; 1 ; 1 x x x x x x x x y z y y y y y y y x y z z z z z z z x y z u u u u u u u p u u u X t t y z x x y z u u u u u u u p u u u Y t t y z y x y z u u u u u u p u u u Z t t y z y x 2 2 2 z u y z (3.15) Полученная система уравнений называется уравнениями Навье- Стокса. Уравнение Навье-Стокса, как и уравнение Зйлера, интегрируются только для некоторых частных случаев, нов последние годы, в связи с развитием различных методов решения подобных задач, полученные уравнения используются все чаще и являются идеальным инструментом, позволяющим получить хороший результат. Наиболее часто для решения уравнений Навье-Стокса применяются численные методы. 3.5 Общая схема применения численных методов и их реализация на ЭВМ На практике найти точное решение данного уравнения довольно сложно, так как искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных функциях. С появлением ЭВМ у исследователей появилась возможность решать подобные задачи численными методами. Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическими логическим действиям над числами, тек тем действиям, которые выполняет ЭВМ. В зависимости от сложности задачи, заданной точности и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков до многих миллиардов действий. В первом случае для 84 получения решения достаточно иметь калькулятор, во втором – потребуется мощная ЭВМ, особенно, если необходимо получить решение в сжатые сроки. Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, те. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности являются 1) несоответствие математической задачи изучаемому реальному явлению 2) погрешность исходных данных 3) погрешность метода решения 4) ошибки округлений в арифметических и других действиях над числами. Погрешность в решении, обусловленная первыми двумя источниками называется неустранимой Эта погрешность может присутствовать, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно. Вопрос о том, насколько хорошо описывает математическая модель исследуемое явление, проверяется путем сравнения результатов. Влияние погрешности исходных данных часто удается оценить, применяя различные методы наименьших квадратов, метод Лагранжа и др. Численные методы в большинстве случаев сами по себе являются приближенными. Такие погрешности называются погрешностями метода. Это происходит потому, что численным методом решается более простая задача, аппроксимирующая исходную задачу. В ряде случаев используемый численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе приводит к искомому решению. Однако процесс вычисления всегда прерывается на некотором шаге, что дает приближенное решение. При решении задач на ЭВМ чаще всего встречаются две ситуации 1) если количество выполняемых арифметических действий невелико, то, обычно, ошибки округления не проявляются, так как в ЭВМ числа представляются си более десятичными значащими цифрами, а окончательный результат редко бывает нужен более чем с 5 десятичными значащими цифрами. 2) если задача сложная (уравнения с частными производными, тов этом случае погрешности округления в каждом действии не учитываются, так как они взаимокомпенсируются. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные приближенные методы, в зависимости от требуемой точности вычисления. Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность, возникающая за счет округлений, называемая вычисленной погрешностью, в несколько раз меньше погрешности метода. Если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной неточности. К численному методу предъявляется еще ряд других требований. Предпочтение отдается методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньшей памяти ЭВМ, является логически более простым, что способствует более быстрой его реализации на ЭВМ. Большинство численных методов основано на замене более сложных объектов, уравнений более простыми. Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраический многочлен. Чтобы задать многочлен, нужно задать только конечное число его коэффициентов. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения функций. Применяются многочлены четырех видов Тейлора, интерполяционные, равномерного приближения, наилучшего среднеквадратичного приближения (метод наименьших квадратов. Для интегрирования дифференциальных уравнений, которые не выражаются элементарными функциями, используются различные методы Рунге-Кутта, Монте-Карло, Эйлера, Гауса и др. Нелинейные уравнения решаются методом итераций, деления отрезка пополам и др. Существует большое число задач, где есть хорошо отработанные численные методы и созданные на их основе стандартные программы 86 решения задач. Существует библиотека таких программ. Исследователь, которому впервые встретилась единичная задача, как правило, вначале ищет стандартную похожую программу, а затем пытается внести в нее изменения, исходя из имеющихся условий. На первоначальном этапе исследования обычно используют более простую модель явления, которая позволяет воспользоваться более простыми методами решения с применением стандартных программ. Затем постепенно переходят к более сложным методами моделям, добиваясь положительного конечного результата. Наиболее широко численные методы используются в вычислительных экспериментах – исследовании естественнонаучных проблем, средствами вычислительной математики. Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, те. решение вопросов о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. Далее проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента, в котором выделяют несколько этапов 1. Формируется задача, выбирается физическая модель процесса, решается вопрос о том, какие физические величины надо учитывать. Проводится описание физической модели математическим способом дифференциальные, интегральные и другие уравнения. Полученную математическую модель исследуют методами математической физики, чтобы установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно. 2. Построение приближенного численного метода решения задачи, те. выбора вычислительного алгоритма. Вычислительный алгоритм – последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное решение математической задачи, сформулированной на первом этапе. 3. Программирование вычислительного алгоритма на ЭВМ. 4. Проведение расчетов на ЭВМ. 5. Анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели. 3.6 Измерительные приборы, используемые при проведении экспериментальных работ 1. Жидкостные манометры прямого действия. Чувствительность манометра (см. рис. 3.3) определяется последующей формуле 1 h s p g , те. чувствительность тем больше, чем меньше плотность жидкости. Давление определяется по разности уровней жидкости в трубках Аи В p g h (3.16) H A B Рис. 3.3. Жидкостный манометр |