Лекция Введение в предмет Основы гидравлики. Основные свойства жидкостей и газов
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
4. Сила давления на вертикальную прямоугольную стенку. Пусть прямоугольная стенка длиной l и высотой h сдерживает напор воды (жидкости) плотностью см. рис. 2.17). A B O D C z + dz z h df P l O z Рис. 2.17. Сила давления на вертикальную стенку Рассмотрим элемент стенки, находящейся на глубине z длиной l и шириной dz. Элемент испытывает давление df pdsn df направлена вертикально к поверхности и приложена в центре элемента на оси О (из соображения симметрии. Давление на глубине z: р Площадь ds = ldz. Тогда df gzdzln Сила давления P на стенку равняется сумме сил, действующие на элементарные площадки P df Все силы df горизонтальные, действуют водном направлении и приложены на одной вертикальной оси О. Сила также будет горизонтальна, направлена от жидкости, точка приложения находится на оси О. Можно посчитать силу давления 32 0 z h z P gzldzn или 2 2 glh P (2.14) Т.к. lh = S, то 2 h P gS (2.15) Определим точку приложения силы Р O h 2/3h M C z Рис. 2.18. Определение точки приложения силы Р Стенка испытывает воздействие всех сил df (см. рис. 2.18). Точка приложения С должна быть расположена таким образом, чтобы воздействие силы Р в этой точке равнялось воздействию всех сил df на площадку ds Те. P df и ( ) ( ) O O M P M d f , где ( ) O M P – момент силы относительно точки О f – сумма моментов сил d f относительно точки О. Для P момент силы ( ) O M P = P OC . Для силы d f , приложенной в точке М на глубине z: ( ) O M d f df OM , где ОМ = z. Таким образом 2 0 z h z P ОС dz : 2 3 glh P ОС или 2 ОС 3 glh , откуда 2 ОС) 5. Сила давления на криволинейную поверхность. Рассмотрим поверхность S, на которую с внешней стороны воздействует жидкость, создавая давление р, воздействие жидкости с внутренней стороны – р (см. рис. 2.19). Каждый элемент поверхности площадью ds испытывает воздействие силы давления с внешней стороны 1 1 df p dsn , где n – единичный вектор, направленный по нормали к ds, ориентированный в сторону внешней жидкости. n j p 2 p 1 dS Рис. 2.19. Определение силы давления на криволинейную поверхность Равнодействующая от суммы всех элементарных сил, действующих на поверхность изнутри 1 1 P df : 34 1 1 S Р p dsn Эту силу трудно подсчитать, т.к. векторы n не параллельны между собой. Проекция силы 1 P , по направлению единичного вектора j будет 1 Р j p n Если θ – угол между направлением Δ и нормалью к поверхности ds, то cos n j , тогда р Р j p В тоже время cos ds = тогда 1 Р j p ds , или 1 Р j p dS , где dS' – проекция поверхности S на поверхность, перпендикулярную выбранному направлению Δ. Таким образом, можно записать 1 Р j Р, как произведение двух векторов и 1 Р dS (2.17) Такой же результат мы получим для равнодействующей силы Р Р dS (2.18) 6. Сила давления на цилиндрическую поверхность Представим трубу длиной l, с внутренним радиусом и внешним радиусом 2 R (см. рис. 2.20). Толщина трубы e = 2 R – 1 R . В трубе находится жидкость с давление. Внешнее давление – р. Необходимо установить минимальную толщину e, при которой труба не разорвется. R 1 R 2 l Рис. 2.20. Определение силы давления в цилиндрической трубе Выберем направление Δ, совпадающее с одним из радиусов трубы. Равнодействующая сил внутреннего давления 1 Р dS , где S' – проекция поверхности S на плоскость, перпендикулярную направлению Δ. Поверхность S' является прямоугольником, площадь которого 2 1 R l, тогда 1 1 1 Р R Аналогичный результат можно получить для силы внешнего давления 36 2 2 Р R Для второй части трубы мы получим тот же результат. Если внутреннее давление будет больше внешнего 1 2 Р Р (сила 1 Р будет стремиться разорвать трубу, направление Δ было выбрано произвольно, поэтому можно сделать вывод, что разрыв может произойти по любому направлению. Материал трубы в силу своих физических свойств будет сопротивляться разрыву. Это сопротивление будет тем больше, чем толще будет труба. Величина, характеризующая способность материала сопротивляться его разрыву обозначается σ. Сила сопротивления материала сопр F S , где сопр S – площадь сопротивления. Таким образом, разрыв произойдет в случае, если 1 2 Р Р F , или 1 1 2 p R l 2 2 2 p R l сопр S , или 1 1 2 p R l 2 1 сопр 2( ) p R e l S , или 1 1 2 p R l 2 1 2 2 2 2 p R l p el el , или 1 1 p R 2 1 2 p ре, откуда следует, что при 1 1 2 2 ( ) R p p e p (2.19) произойдет разрыв трубы. 2.1.6 Относительный покой жидкости Относительным покоем жидкости называется такое ее состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося резервуара, в котором находится жидкость (см. рис. 2.21). dF r dF dF g Рис. 2.21. Относительное равновесие жидкости во вращающемся сосуде При относительном покое рассматриваются две задачи определяется форма поверхности уровня или равного давления и выясняется характер распределения давления. В данном случае необходимо учитывать силы инерции, дополняющих систему массовых сил, действующих в покоящейся жидкости. Рассмотрим случай, когда сосуд с жидкостью вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью. Для определения формы свободной поверхности и закона распределения давления выберем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой dm. На эту частицу действует массовая сила dF, направленная по нормали к поверхности. Разложим эту силу на две составляющие горизонтальную и вертикальную g dF dmg Разделив действующие силы на dm, получим дифференциальное уравнение поверхности уровня 2 2 0 xdx ydy gdz или 2 Проинтегрировав, получаем 38 Вывод При вращении резервуара с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси поверхностями равного давления будет семейство параболоидов вращения. Для точки М, находящейся на свободной поверхности жидкости 2 2 0 Закон распределения давления найдем из дифференциального уравнения гидростатики, которое в данном случае примет вид 2 ( ) dp rdr gdz После интегрирования с учетом граничных условий ( 0 0 0, , r z z p p ), получаем 2 2 0 0 ( ) 2 r p p g z z Если представить, что 2 2 0 0 2 i r p p , то получим уравнение 0 ( ) i p p g z z (2.21) 2 2 2 r gz const (2.20) Вывод Распределение давления подчиняется линейному закону для любой фиксированной цилиндрической поверхности. 2.1.7 Закон Архимеда 1. Равновесие твердого тела в жидкости На тело, находящееся в жидкости (см. рис. 2.22) действуют 1) сила тяжести 2) сила давления воды. G S M f d ds Рис. 2.22. Равновесие твердого тела в жидкости На каждый элемент поверхности площадью ds действует сила d f pnds , где n – единичный вектор, направленный по нормали внутрь тела. Давление p зависит только от положения точки M, соответственно, каждая элементарная сила d f будет зависеть от расположения элемента и от его формы. Таким образом, равнодействующая сил d f будет зависеть только от места нахождения тела в жидкости и от величины внешней поверхности тела S. 2. Равновесие жидкости 40 Рассмотрим равновесие жидкости, когда тело извлечено, и жидкость заняла его объем (см. рис. 2.23). Контур S в жидкости соответствует очертанию тела. Жидкость, находящаяся внутри этого контура находится в равновесии под действием собственного веса G'. 2) результирующей силы внешнего давления воды P. Рис. 2.23. Равновесие объема жидкости в жидкости Равновесие жидкости, находящейся внутри контура S можно записать в следующем виде G'+P = 0 или G' = – P. Возвращаясь к случаю плавающего в жидкости тела, мы можем сделать вывод, что, т.к. контуры тела S и жидкости, замещающей объем тела равны, то и силы давления жидкости в первом и во втором случаях должны быть равны. Тогда для тела плавающего в жидкости можно записать ж т ' A P G gV , (2.22) где A P – сила, действующая на погруженное в жидкость тело æ – плотность жидкости ò V – объем тела. Закон Архимеда На твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела. 3. Условия равновесия плавающих тел. Т.к. вес тела т т G gV , а архимедова сила ж т A P gV , тов случае неравенства плотностей тела жидкости, эти силы будут приложены к различным точкам. Для того чтобы плавающее тело было устойчивым, необходимо, чтобы центр приложения архимедовой силы (центр водоизмещения) находился выше центра приложения силы тяжести. 2.1.8 Основное уравнение гидростатики для сжимаемой жидкости Выведем основное уравнение гидростатики, учитывая влияние сжимаемости газа, те. изменение плотности газа под действием давления. Дифференциальное уравнение равновесия для среды переменной плотности после интегрирования примет вид dp gz const (2.23) Для вычисления интеграла необходимо задать закон изменения состояния газа. 2.1.9 Изотермическая атмосфера Если принять, что температура газа не изменяется с изменением высоты, а уравнение состояния записать в следующем виде , p p RT C 42 откуда p C – постоянная величина. Подставив последнее соотношение в предыдущее уравнение, получим ln C p gz const или ln p gz p const (2.24) Полученное уравнение отличается от основного уравнения гидростатики жидкости тем, что давление газа по высоте с учетом его сжимаемости в изотермических условиях распределяется не по линейному, а по логарифмическому закону. Запишем предыдущее уравнение для двух высот на поверхности земли, где z 0 = 0, давление p = p 0 , на высоте z давление будет р Обозначим z – z 0 = h и 0 0 p H g , учитывая, что 0 0 p p , получим 0 ln p h H p , откуда 0 h H p e p (2.25) Вывод Давление уменьшается по высоте по экспоненциальному закону. Примечание Полученной формулой можно пользоваться, если высота изменяется на небольшую величину, в пределах нескольких сот метров, т.к. в других случаях формула дает погрешность более 5%. 2.1.10 Неизотермическая атмосфера Обычно температура воздуха с увеличением высоты уменьшается. Температура дымовых газов также быстро уменьшается в трубе. Для того, чтобы проинтегрировать основное уравнение гидростатики в этом случае необходимо знать закон изменения температуры с изменением высоты. Чаще всего для атмосферного воздуха принимают, что температура уменьшается по линейному закону 0 , T T a h (2.26) где Т температура на поверхности земли a – градиент температуры. Можно записать дифференциальное уравнение равновесия в следующем виде 0 , dp dz g p R T az (2.27) тогда 0 0 0 ln ln T az p g p Ra T , или 0 0 0 g Ra T az p p T , или 0 0 g Ra T p p T (2.28) Пример Предположим, что температура понижается на С с увеличением высоты нам. Необходимо определить давление на вершине горы Монблан (z = м, если на уровне моря температура Т С. Решение На вершине горы температура Т = 30 – 4800·0,006. Т = 274,2 К, тогда 44 9,81 287 4800 0 274,3 Вывод Давление на вершине горы Монблан меньше почтив два раза. Примеры решения практических задач гидростатики Пример 2.1-1 К закрытому резервуару для определения давления на свободной поверхности р 0 присоединена стеклянная трубка. Спрашивается, какое давление в резервуаре р, если вода в трубке поднялась на высоту Нм Трубка присоединена на глубине 1 h = 2 м. атм h 2 h 1 H A A p 0 Рис. 2.24. К примеру 2.1-1 Ответ Давление на поверхности воды в резервуаре 0 p = 107910 Па. Пример 2.1-2 Определить разность давления в резервуарах Аи В, заполненных водой, если разность уровней ртути в образном манометре h = 15 см. h h 1 h 2 Рис. 2.25. К примеру 2.1-2 Ответ Разность давлений в резервуарах – 18394 Па. Пример 2.1-3 Определить суммарное усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка диаметром d = 0,5 м, расположенного на глубине h = 3 мот свободной поверхности, на которой давление 0,5 атм. Ответ Усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка Р = 15700 Н. Пример 2.1-4 При бурении скважины необходимо определить вес труб, опущенных в скважину, заполненную глинистым раствором плотностью р = 2800 кг/м 3 , длина труб l = 70 м. Один метр таких труб с муфтами в воздухе весит Н. Плотность стали ст = 7500 кг/м 3 Ответ: Полный вес труб будет равен 902776 Н. p 0 h d P p атм Рис. 2.26. К примеру 2.1-3 2.2 Тема 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа 2.2.1. Основные понятия кинематики жидкости Для описания движения жидкости используется математическая модель. В гидравлике наибольшее распространение получила модель Эйлера, суть которой можно объяснить следующим образом. Предположим, что точка М движется по некоторой траектории в системе неподвижных координат. Мгновенное значение составляющих скорости вдоль осей 46 координат будет зависеть от положения точки, те. от величины координат x, y, z и времени t. Для составляющих скоростей течения жидкости в рассматриваемой точке , , x y z u u см. рис. 2.32), можно записать функциональные зависимости M u x u y u z z x y Рис. 2.32. Скорость в точке 1 2 3 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x y z u f x y z t u f x y z t u f x y z t (2.29) Зная для конкретного случая течения значения этих функций, можно для любого момента времени получить распределение скоростей течения жидкости. Расход – количество жидкости, проходящей в единицу времени через данное сечение трубопровода. Различают объемный и массовый расходы. Объемный расход – объем жидкости, проходящий в единицу времени через данное сечение трубопровода мс (2.30) где V – объем жидкости. Массовый расход – масса жидкости, проходящая в единицу времени через данное сечение кг с (2.31) Соответственно, m Q Q , где ρ – плотность жидкости. Траектория кривая, вдоль которой происходит перемещение частицы жидкости. Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости движения частицы направлен по касательной к ней (см. рис. 2.33). Рис. Линия тока Трубка тока – поверхность, очерченная вдоль небольшого контура внутри которой вдоль линии тока перемещаются частицы жидкости. Стенки трубки тока непроницаемы. Площадь поперечного сечения трубки тока мала, поэтому скорости движения в каждой точке равны (см. рис. 2.34). Рис. 2.34. Трубка тока Элементарная струйка – поток жидкости, протекающий в трубке тока Элементарную струйку можно представить также как совокупность линий тока, проходящих через бесконечно малое сечение ds, а разность скоростей 48 соседних линий тока бесконечно мала. Расход элементарной струйки dq = uds. Поток жидкости можно представить как совокупность трубок тока, в которых движутся элементарные струйки. Средняя скорость потока – скорость, одинаковая в каждой точке потока в данном сечении, соответствует реальному расходу ср i u i , где i u – скорость в точке в данном сечении i – количество точек. |