механика. МЕХАНИКА_лекции final1. Литература по лекциям 4 2 методические указания по решеню задач 5

• Название: Литература по лекциям 4 2 методические указания по решеню задач 5
• Анкор: механика
• Дата: 23.12.2020
• Размер: 1.26 Mb.
• Имя файла: МЕХАНИКА_лекции final1.doc
• Тип: Литература; #163554
• страница: 7 из 8

3.5Элементы механики жидкостей и газов.

3.5.1Давление в жидкости и газе.

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое дви­жение, не связаны или слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стре­мятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т.е. объем газа определяется объемом того сосуда, кото­рый газ занимает.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в кото­рый она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинако­выми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и дви­жение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми или твердыми телами — использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике жидкости и газы рассматриваются как сплош­ные, непрерывно распределенные тела в занятой ими части про­странства.

Плотность жидкости мало зависит от давления и во многих задачах можно пользоваться понятием несжимаемой жид­кости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не из­меняется со временем.

Жидкости имеют следующие наиболее характерные свойства.

Типичные жидкости (вода, бен­зин, спирт и т.п.) не имеют трения покоя, частицы их очень подвижны. В других жидкостях имеется вязкость (внутреннее трение) — это мед, масло, вар и т.п. Однако при продолжитель­ном действии силы частицы вязкой жидкости тоже становятся подвиж­ными. Это свойство выражается так: жидкости не имеют упругости формы, для них модуль сдвига равен нулю.

Практически все жидкости не­сжимаемы. Это значит, что для них коэффициенты сжатия имеют очень малые значения. Следовательно,

приближенно можно считать все жид­кости невязкими и несжимаемыми: такие жидкости назы­ваются идеальными.





[P]=Па=н/м²

Действие силы тяжести приводит к возникновению разности давлений между горизон­тальными слоями жидкости находящимися на различной глубине. Разность сил давления в слоях АВ и СД (рис. 1.27) равна весу вертикального столба жидкости с основанием S и высотой h₁. При поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности  сила давления на слой находящийся на глубине h находится по формуле:

F =ghS, а давление на нижнее основание

<sub>давление столба жидкости

(1.64)</sub>

Если давление на поверхности P₀, то в любом го­ризонтальном слое давление постоянно и будет зависеть от глубины слоя АВ:

_(1.65)

Согласно формуле (1.82) сила давления на нижние слои жид­кости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погружен­ное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), дей­ствует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх вы­талкивающая сила, равная весу жидкости (газа) вытесненной телом.

_(1.66)

где — плотность жидкости, V — объем погруженного в жид­кость тела.

3.5.2Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.

Абсолютно несжимаемая и абсолютно невязкая жидкость называется идеальной жидкостью.

Всю жидкость можно представить в виде поля вектора скорости. Тогда в поле вектора скорости можно провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости частицы жидкости в этой же точке. Такие линии называются линиями тока жидкости (рис. 1.29). Линии тока приня­то проводить так, что густота их была бы больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость те­чет медленнее.

Установившееся течение жидкости называют стационарным течением.

В случае стационарного течения скорость жидкости в любой точке объе­ма остается неизменной. Линии тока при стационарном течении остаются неизменными и совпадают с траекто­рией отдельных частиц жидкости.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока

Возьмем трубку тока и выберем два нормальных сечения S₁ и S₂ (рис. 1.29). Обозначим через скорость течения жидкости в том месте, где проведено сечение S₁, — скорость в сечении S₂. Тогда за е диницу времени через сечение S₁ пройдет объем жид­кости, равный , а через сечение S₂ объем . Посколь­ку жидкость несжимаемая, то

_(1.67)

Это соотношение справедливо для любых двух сечений труб­ки тока. уравнением неразрывности для не­сжимаемой жидкости

_(1.68)

где - объемный расход.

По теореме о неразрывности струи в тех местах, где труба шире, жидкость будет протекать медленней, а в тех местах, где труба уже, скорость течения жидкости будет больше. Другим вы­водом является то, что давление в широких местах больше, чем в узких.

3.5.3Уравнение Бернулли

При протекании некоторой массы жидкости m, будет совершаться механическая работа, т.к. на эту массу жидкости действует сила, обу­словленная наличием давления Р. По закону сохранения энергии

<sub>Е2 – Е1 = А

(1.69)

; ;

(1.70)</sub>

Для переноса массы жидкости m в месте расположения первого сечения жидкость должна продвинуться на отрезок l₁ = ₁t, во втором сечении на отрезок .

Силы, дей­ствующие на оба конца выделенного участка жидкости, соответ­ственно равны

<sub>и (1.71)

, (1.72)

(1.73)</sub>

Перепишем последнее уравнение в виде

_(1.74)

Согласно закону о неразрывности струи

где V - объем жидкости, заключенный между сечениями S₁ и S₂.

_(1.75)

Разделим на V

и, принимая во внимание, что плотность жидкости  = m/V, имеем

_(1.76)

т.к. сечения выбирались произвольно, то можем записать уравнением Бернулли

_(1.77)

Уравнение Бер­нулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Р -статическое давле­ние (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела),

— динамическое давление.

gh -гидростатическое давле­ние.

Если трубка тока расположена горизонтально (h₁ = h₂), то уравнение Бернулли имеет следующий вид:

<sub>(1.78)

или

, (1.79)</sub>

где – называется полным давлением.

3.5.4Измерение давлений

3.5.5Следствия из уравнения Бернулли

Трубка Вентури

_{, (1.80)}

т.к. , то и следовательно

<sub>(1.81)

трубка Пито-Прандтля

Р0 – Р = 0gh (1.82)</sub>

где ₀ — плотность жидкости в манометре.

согласно уравнению Бернулли,

_(1.83)

Из формул (1.58) и (1.59) получаем искомую скорость пото­ка жидкости

_(1.84)



3. Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса рис.1.36.

Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100мм.рт.ст. (1 мм рт.ст. =133,32 Па)

4. 
   Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Возьмем цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 1.37). Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли
   

_(1.85)

Так как давление Р₁ и P₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т.е. Р₁ =P₂, то уравнение будет иметь вид

_(1.86)

Из уравнения неразрывности (1.62) следует, что .

где S₁ и S₂ - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S₁S₂ то членом можно пренебречь и ;

- это выражение получило название формулы Торричелли,

т.е. скорость истечения жидкости из отверстия (бокового или донного) равна скорости тела при свободном паде­нии его с высоты уровня жидкости. Эта скорость не зависит ни от плотности жидкости, ни от давления.

3.5.6Применение закона сохранения импульса для текущей жидкости

,

 ' = - .

На законе сохранения импульса основано действие гребных винтов, работа реактивных двигателей и т.п.

3.5.7Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей

Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.

_{, (1.87)}

В результате инерции частиц в этих слоях появляются силы, противодействующие происходящим в них изменениям движения, а это и есть трение (внутреннее).

Сила внутреннего трения

_{, (1.88)}

где  коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью).

=[Па^.с].

Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей  c увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18-40⁰С падает в четыре раза. Русский физик П. Капица (1894-1984) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверхтекучее состояние, в котором его вязкость равна нулю.

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Английский ученый О. Рейнольдс (1842-1912) установил, что характер течения зависит от безразмерной величины, называемой

числом Рейнольдса:

_(1.89)

где  = / - кинематическая вязкость;  — плотность жидкости;

< > — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например, диаметр трубы.

Вычисляя числа Рейнольдса для разных жидкостей и газов, нашли, что переход от ламинарного движения к турбулентному происходит

при значении Rе  1160:

если Re  1160 — движение ламинарное;

если Re> 1160 — движение турбулентное.

Для воды в водопроводных трубах 1200 < Re< 2000.

Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.

3.5.8Методы определения вязкости

Метод Стокса.

Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

Сила тяжести

Р = r³g,

Сила архимеда

F_A=4r³’g/3,

где ' — плотность жидкости;

Сила сопротивления, (формула Стокса)

F = 6r,

где r — радиус шарика, и  - его скорость.

При равномерном движении шарика.

_{P=FA+F (1.90)}

или

_{r3g = r3’g +6r, (1.91)}

откуда

_(1.92)

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа).

Метод Пуазейля.



Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l.

В жидкости мысленно выдели цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис.3). сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя,

_{, (1.93)}

где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя, поэтому

_(1.94)

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место

прилипание жидкости, т.е. скорость на расстоянии R от оси равнанулю, получим

 = (R²-r²).

Отсюда видно, что скорости частиц в жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы Откуда За время t из трубы вытекает жидкость объем которой можно определить по следующей формуле

(1.95)

Тогда вязкость определяется по следующей формуле

_{= . (1.96)}