механика. МЕХАНИКА_лекции final1. Литература по лекциям 4 2 методические указания по решеню задач 5
![]()
|
3.4Динамика твердого тела.3.4.1Момент силы и момент импульса относительно оси.![]() ![]() ![]() ![]() 3.4.1.1Уравнение движения вращающегося тела![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Момент силы – псевдовекторная величина равная произведению силы действующей на тело, на плечо этой силы В кинематике мы представляли угловое ускорение вектором, параллельным оси вращения. Так как правая часть равенства есть модуль векторного произведения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Величина М называется моментом силыF относительно оси вращения или вращающим моментом. Момент силы - псевдовектор – его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от Rк F. ![]() F2 = Fsin, будет создавать вращение, сообщая телу ускорение. dS = Rd = Rdt ( - угловое перемещение) dA = ![]() ![]() dW = Id = dA. ![]() ![]() I = RF2 = RFsin. Основное уравнение динамики вращательного движения ![]() ![]() Это уравнение по форме аналогично второму закону Ньютона: ![]() ![]() Если на тело действует несколько внешних сил, лежащих в плоскости вращения, то суммарный вращающий момент по принципу суперпозиции равен: ![]() По II закону Ньютона miai = Fi; ; ![]() ![]() ![]() Jz ![]() ![]() Мz = 0, ![]() ![]() Jz ![]() 3.4.1.2Вычисление момента инерции некоторых телJ = ![]() ![]() 1. Момент инерции однородного обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр. Будем считать толщину обруча постоянной, разобьем обруч на малые элементы mi;. Момент инерции относительно оси выразится выражениями ![]() ![]() 2. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс и через один из концов стержня. Разобьем стержень на малые элементы. Момент инерции относительно оси одной половины стержня равен ![]() ![]() ![]() Если S - сечение стержня, - плотность материала, то m = Sr; JC=2Sri2r=2Sri2r в пределе операция суммирования переходит в интегрирование ![]() Так как m = Sl - масса стержня, то момент инерции стержня относительно центра JC = ![]() Момент инерции шара ![]() Момент инерции сплошного цилиндра или диска ![]() ![]() Момент инерции тела зависит от формы тела, относительно какой оси вращается тело и от распределения массы по объему тела. Теорема Штейнера: Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту инерции JC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния между осями d. ![]() ![]() 3.4.2Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.3.4.2.1Работа внешних сил при вращении твердого тела.Рассмотрим теперь вращение тела с энергетической точки зрения. Допустим, что в некоторой точке тела приложена сила (в плоскости, перпендикулярной оси вращения), направление которой совпадает с вектором линейной скорости этой точки. Поэтому речь идет о силе ![]() ![]() Элементарная работа этой силы равна dA = Fds, где ds — элемент дуги окружности, связанный, как известно, с ее радиусом ![]() dS = rd; Тогда dA = Frd или dA = Md. Если М = const, то при повороте тела на конечный угол , формула для работы имеет вид A = M; Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Очевидно, эта энергия должна быть равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек, т.е. WК = ![]() i = ri и, принимая во внимание, что момент инерции тела относительно оси вращения ![]() WK= ![]() Сравнивая полученное выражение с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно WK = ![]() Работа А, совершенная моментом внешних сил на протяжении угла поворота = 2 - 1, связана с изменением кинетической энергии вращения тела следующим образом A = ![]() где 2 и 1 — угловые скорости тела в моменты, когда его угловые координаты равны соответственно 2 и 1. В случае, например, скатывающегося цилиндра с наклонной плоскости без скольжения энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения WK = ![]() ![]() где т — масса катящегося тела; C — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; - угловая скорость тела. |