Кудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 1]. Математический анализ, Т. 1
 Скачать 18.39 Mb.
|
|
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, Т. 1. Кудрявцев Л. Д. Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений. ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Глава первая. Дифференциальное исчисление функций одного переменного § 1. Вещественные числа 11 1.1. Свойства вещественных чисел 11 1.2. Обозначения 20 § 2. Верхние и нижние грани множеств 22 2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств 22 2.2. Сечения в множестве вещественных чисел 27 § 3. Предел последовательности 28 3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства 28 3.2. Пределы монотонных последовательностей 31 3.3. Теорема Больцано—Вейерштрасса и критерий Коши 35 3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 39 3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями 41 3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями 47 3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел 52 3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей 55 § 4. Функции и их пределы 60 4.1. Понятие функции 60 4.2. Способы задания функции 64 4.3. Элементарные функции и их классификация 68 4.4. Первое определение предела функции 69 4.5. Второе определение предела функции 72 4.6. Свойства пределов функций 76 4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 78 4.8. Пределы монотонных функций 80 4.9. Критерий Коши существования предела функции 81 § 5. Непрерывность функции в точке 84 5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции 84 5.2. Свойство функций, непрерывных в точке 88 § 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках 89 6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений 89 6.2. Промежуточные значения непрерывной функции 91 6.3. Обратные функции 93 § 7. Непрерывность элементарных функций 96 7.1. Многочлены и рациональные функции 96 7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции 97 7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 105 § 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 106 8.1. Некоторые замечательные пределы 106 8.2. Сравнение функций 111 8.3. Эквивалентные функции 116 8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов 117 § 9. Производная и дифференциал 121 9.1. Определение производной 121 9.2. Дифференциал функции 124 9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 127 9 4. Физический смысл производной и дифференциала 131 9.5. Правила вычисления производных, 133 связанные с арифметическими действиями над функциями 9.6. Производная обратной функции 137 9.7, Производная и дифференциал сложной функции 139 9.8. Гиперболические функции и их производные 145 § 10. Производные и дифференциалы высших порядков 148 10.1. Производные высших порядков 148 10.2. Свойства производных высших порядков. ... 149 10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически. 151 10.4. Дифференциалы высших порядков. 154 §11, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 156 11.1. Теорема Ферма 156 11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях 158 § 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 164 12.1. Неопределенности вида 0 0 165 12.2. Неопределенности вида ∞ ∞ 168 § 13. Формула Тейлора 173 13.1. Вывод формулы Тейлора 173 13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки 176 13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора 179 13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части 181 § 14. Исследование поведения функции 184 14.1. Критерий монотонности функции 184 14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций 184 14.3. Выпуклость и точки перегиба 190 14.4. Асимптоты 196 14.5. Построение графиков функций 198 § 15. Вектор-функция 209 15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции 209 15.2. Производная и дифференциал вектор-функции. 212 § 16. Длина дуги кривой 216 16.1. Понятие кривой 216 16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции 221 16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги 224 16.4. Плоские кривые 231 16.5. Физический смысл производной вектор-функции 233 § 17. Кривизна кривой 234 17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие 234 17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 237 17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 239 17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 241 17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых 241 Глава вторая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 18. Множества на плоскости и в пространстве 247 18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек 247 18.2. Различные типы множеств 261 § 19. Предел и непрерывность функций многих переменных 265 19.1. Предел функции 265 19.2. Непрерывность функций 270 19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций 272 19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах 273 19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности 276 § 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 283 20.1. Частные производные и частные дифференциалы 283 20.2, Дифференцируемость функции в точке 286 20.3. Дифференцирование сложной функции 293 20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, Правила вычисления дифференциалов 296 20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала 302 20,6. Производная по направлению 305 § 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков 310 21.1. Частные производные высших порядков 310 21.2. Дифференциалы высших порядков 313 Глава третья. Интегральное исчисление функций одного переменного § 22. Определение и свойства неопределенного интеграла 318 22.1. Первообразная и неопределенный интеграл 318 22.2. Табличные интегралы 321 22.3. Интегрирование подстановкой 323 22.4. Интегрирование по частям 325 § 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах 327 23.1. Комплексные числа 327 23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел 332 23.3. Разложение многочленов на множители 336 23.4. Общий наибольший делитель многочленов. 338 23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные 343 § 24. Интегрирование рациональных дробей 350 24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей 350 24.2. Общий случай 352 24.3. Метод Остроградского 354 § 25. Интегрирование некоторых иррациональностей 359 25.1. Интегралы вида dx d cx b ax d cx b ax x R s r r ] ) ( ,..., ) ( , [ 1 + + + + ∫ 360 25.2. Интегралы вида ∫ + + dx c bx ax x R ) , ( 2 363 Подстановка Эйлера 363 25.3. Интегралы от дифференциального бинома 366 25.4. Интегралы вида ∫ + + dx c bx ax x P n 2 ) ( 369 § 26. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций 371 26.1. Интегралы вида ∫ dx x x R ) cos , (sin 371 26.2. Интегралы вида ∫ xdx x m n cos sin 373 26.3. Интегралы вида ∫ β α xdx x cos sin , ∫ β α xdx x sin sin , ∫ β α xdx x cos cos 374 26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям 375 26.5. Интегралы вида ∫ dx chx shx R ) , ( 376 26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные 377 функции § 27. Определенный интеграл 379 27.1. Определение интеграла по Риману 379 27.2. Ограниченность интегрируемой функции 382 27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу Верхний и нижний интегралы Дарбу 383 27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости 386 27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций... 388 § 29. Свойства интегрируемых функций 390 28.1. Свойства определенного интеграла 390 28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла. 399 28.3. Интегрируемость кусочно- непрерывных функций 403 § 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 405 29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. 405 29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции 406 29.3. Формула Ньютона—Лейбница 408 § 30. Методы вычисления определенного интеграла 409 30.1. Замена переменного 409 30.2. Интегрирование по частям 411 § 31. Мера плоских открытых множеств 413 31.1. Определение меры (площади) открытых множеств 413 31.2. Монотонность меры открытых множеств 415 § 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 423 32.1. Вычисление площадей 423 32.2. Объем тел вращения 429 32.3. Вычисление длины кривой 431 32.4. Площадь поверхности вращения 434 32.5. Работа силы 438 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой 439 § 33. Интегралы от неограниченных функций 442 33.1, Определение интеграла от неограниченной функции 442 33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке 447 33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функций 449 33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке 457 § 34, Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 459 34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами. 459 34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов 461 34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций 465 34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегралов 469 Глава четвертая. Ряды § 35. Числовые ряды 477 35.1. Определение ряда и его сходимость 477 35.2. Свойства сходящихся рядов 480 35.3. Критерии сходимости рядов 482 35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части n-го члена ряда 484 35.5. Знакопеременные ряды 496 35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов 499 35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся 506 абсолютно. Признак Дирихле 506 § 36. Функциональные последовательности и ряды. 514 36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов 514 36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 518 36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 529 § 37. Степенные ряды 536 37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши—Адамара 536 37.2. Аналитические функции 543 37.3. Вещественные аналитические функции 544 37.4. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора 547 37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 552 37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования 560 § 38. Кратные ряды 562 38.1. Кратные числовые ряды 38.2. Кратные функциональные ряды 562 568 Алфавитный указатель Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой—ее сила, универсализм и общность. В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований — это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода—залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков. Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики. Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках. При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входит в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому оста- лись им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдывает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать. Лучший и кратчайший способ разъяснить какое-либо математическое понятие—это дать его точную формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения объяснить теорему, выявить ее смысл, установить ее связь с ранее изученными фактами—это доказать теорему. Безусловно, при приобретении достаточно хорошей математической культуры вполне допустимо знакомство с рядом утверждений, ограничиваясь лишь их формулировкой без проведения доказательства. Однако на первом этапе обучения это явно нецелесообразно. Косвенная польза от изучения математики состоит в том, что оно (изучение) совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает точность и обстоятельность аргументации. Математика учит не загромождать исследование ненужными подробностями, не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение для существа изучаемого вопроса. Все это дает возможность эффективно исследовать и осмысливать новые задачи, возникающие в различных областях человеческой деятельности. Умение логически мыслить, владение математическим аппаратом, правильное использование математических методов дают большую экономию мышления, дают в руки человека мощный метод исследования. Овладеть в достаточной мере математическим методом, математической культурой мышления— далеко не простая задача. Но для того, кто сумеет этого достичь, труд не пропадет зря. Для него откроются новые перспективы человеческой деятельности, заманчивые дороги в неизвестное, откроются качественно новые возможности творчества, качественно новые возможности познания мира. Причем важно отметить, что все это доступно для каждого, кто хочет овладеть математикой, кто серьезно и последовательно займется ее изучением. |