Кудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 1]. Математический анализ, Т. 1
 Скачать 18.39 Mb.
|
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий курс является учебником, в котором излагаются основные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление и теория рядов. Курс написан на основе лекций по математическому анализу, которые читаются автором с 1956 г. в Московском физико-техническом институте. Математический анализ изучает функциональные зависимости и является той частью классической математики, которая является основой почти для любой математической дисциплины. Поэтому не случайно, что он обычно является первым серьезным курсом высшей математики, с которым приходится сталкиваться учащемуся. Задачей этого курса является не только сообщение известного запаса сведений (определений, теорем, их доказательств, связей между ними, методов решения задач) и обучение их применению. В его задачу входят развитие у учащихся логического мышления и математической культуры, необходимых для изучения математики (да и вообще для проведения научно-исследовательской работы), развитие математической (аналитической и геометрической) интуиции. Наконец, курс математического анализа идейно готовит читателя к изучению других математических методов, других математических дисциплин. Запас сведений, сообщаемых в предлагаемой книге, автор старался сделать по возможности минимальным. Он состоит из изложения лишь тех фактов, которые рассматриваются обычно на лекциях, и необходимых дополнений к ним, которые предназначены ответить на вопросы и рассеять неясности, могущие возникнуть у части слушателей лекций, и этим помочь преодолеть неизбежные затруднения. Материал в книге автор старался изложить так, чтобы максимально помочь учащемуся овладеть различными математическими методами, сделать их простыми и естественными, научить свободно их применять. С этой целью в учебнике довольно много места отводится разбору решения задач на основе рассмотренных общих методов. Имеется также много упражнений, которые позволяют лучше усвоить изложенный материал, по существу разобраться в его содержании, проконтролировать его понимание, развить математическую культуру мышления, научить применять математический аппарат к решению простейших задач. В упражнениях формулируются факты, которые могут быть легко доказаны методами разобранными в курсе, причем эти факты иногда используются в дальнейшем. К упражнениям отнесены такие задания, которые посильны каждому учащемуся. Весьма рекомендуется при изучении курса делать все упражнения по мере того, как они появляются в тексте, ибо они составляют неотъемлемую часть всего изложения. Если какое-либо из упражнений вызывает затруднение, это означает, что соответствующая часть курса не усвоена и целесообразно вернуться назад. Кроме упражнений, в курсе изредка попадаются и задачи, решения которых, в отличие от упражнений, отнюдь не являются необходимым условием усвоения курса. Они предназначаются для тех учащихся, у которых появится желание померить свои силы на решении более серьезных и глубоких вопросов, часто требующих новых идей и методов, не рассматриваемых в курсе. Эти задачи весьма различны по своей трудности, и среди них имеются такие, решение которых может потребовать весьма длительного времени. Некоторые упражнения и задачи в известной мере имеют своей целью ответить на вопросы, которые могут возникнуть у учащегося при изучении основных понятий математического анализа. Примеров на применение методов математического анализа к решению задач из смежных дисциплин приводится лишь небольшое количество, поскольку курсы этих дисциплин читаются в высших учебных заведениях параллельно с курсом математического анализа и предполагается, что последний используется в них в достаточной степени. Изложение материала ведется на уровне строгости, принятом в настоящее время в классической математике. Исключение сделано лишь для некоторых вопросов теории поля, связанных, например, с так называемым правилом штопора, изложенным менее строю. Наведение здесь математической строгости существенно увеличило бы объем изложения этого круга вопросов. Понятие математической строгости в определенном смысле следует считать пока историческим понятием. Уровень строгости при изложении математических методов определяется потребностью практики в широком смысле слова. Невозможность решить ту или иную задачу на прежнем уровне строгости или возникающие противоречия приводят к возникновению новых логических концепций, нового понятия строгости. Во всяком случае, мы в нашем курсе нигде не останавливаемся на вопросах существования (непротиворечивости) возникающих в процессе наших рассуждений множеств и понятий, не подвергаем сомнению принцип произвольного выбора. Мы не будем приводить соответствующих примеров, дабы не посеять у неискушенного учащегося излишних сомнений, которые могут затруднить на первых порах изучение предлагаемого курса. Отметим некоторые особенности построения нашего курса. Начинается он, как обычно, с изучения основных понятий анализа: числа, функции, предела, непрерывности, производной, интеграла и т. д. Теория вещественного числа излагается аксиоматическим методом. Этот метод, являясь наиболее коротким, логически равноправен другим методам введения понятия числа: с помощью ли бесконечных десятичных дробей, с помощью ли классов фундаментальных последовательностей рациональных чисел, с помощью ли сечений в множестве рациональных чисел. Равноправен в том смысле, что ни при одном из этих способов не доказывается существование (непротиворечивость) множества вещественных чисел. При изучении свойств функций большое внимание обращается на метод выделения главной части: показывается, что этот метод является универсальным для решения многих задач анализа; он применяется, например, при исследовании поведения функции (пределы, экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т. п ), при исследовании сходимости рядов, как числовых, так и функциональных, при исследовании сходимости интегралов, при изучении отображений многомерных областей, при приближенных вычислениях и т. п. По возможности в курсе производится ознакомление учащегося с методами, выходящими, собственно говоря, за рамки классического анализа и находящими свое дальнейшее развитие в других отделах математики. Это делается там, где это полезно, где это в какой-то мере лучше разъясняет рассматриваемые свойства и, конечно, принципиально не усложняет изложения. Сюда относятся идеи теории функций вещественной переменной, метрической топологии, функционального анализа. Благодаря этому учащемуся будет легче в дальнейшем усваивать другие математические дисциплины, которые ему встретятся в процессе обучения или работы. Существенным для последней части курса является введение пространства L 2 , как пополнения пространства непрерывных функций в соответствующей метрике. Такой подход к пространству L 2 является достаточно коротким. Его недостаток, состоящий в том, что исходное пространство непрерывных функций дополняется некоторыми идеальными элементами, уменьшается за счет доказательства того, что всякая кусочно-непрерывная функция с интегрируемым квадратом (вообще говоря, в несобственном смысле) может быть рассматриваема как элемент пространства L 2 Этого вполне достаточно для широкого круга прикладных задач. Введение пространств L 2 позволяет с достаточной полнотой изложить теорию рядов Фурье по ортогональным системам и сказывается полезным во многих дальнейших математических курсах (интегральные уравнения, уравнения с частными производными, теория вероятностей и др.). Порядок изложения материала максимально приближен к порядку изложения его на лекциях в МФТИ. Этим объясняется, например, то, что дифференциальное исчисление функций многих переменных излагается в двух разных главах (гл. II и V). Автор считает своим приятным долгом поблагодарить профессора С. М. Никольского, в беседах с которым в продолжение многих лет совместной работы обсуждалось преподавание различных вопросов математического анализа. Автор приносит глубокую и искреннюю благодарность профессору В. С. Владимирову и преподавателям кафедры математики Московского физико-технического института К. А. Бежанову, И. А. Борачинскому, Б. И. Голубову, В. Б. Демьянову, Ю. П. Иванилову, С. И. Колесниковой, А. А. Крумингу, В. Ю. Крылову, Ф. Г. Маслова, Б. В, Федосову, Т. X. Яковлевой и студентке МГУ И. Ф. Бывшевой, взявших на себя труд прочитать рукопись отдельных глав и параграфов. Автор особенно благодарит рецензентов профессора В. А. Ильина и доцента И. С. Аршона, прочитавших рукопись всей книги. Большую благодарность автор приносит редакторам книги А. И. Селиверстовой и доценту Г. Н. Яковлеву, проделавшим большую работу по ее улучшению. Все сделанные замечания были учтены автором при окончательном редактировании книги. Трудную работу по подготовке рукописи проделали ст. лаборанты кафедры Г. Е. Пономарева и Е. З. Лобанова, за что автор выражает им свою сердечную благодарность. Автор считает также своим долгом отметить, что на него безусловно оказал влияние ряд курсов математического анализа, с которыми он знакомился в то или иное время. Из них следует отметить курсы Ш. Ж. де ла Валле—Пуссена «Курс математического. анализа бесконечно малых (Москва, ГТТИ, 1933), Г. П. Толстова «Курс математического анализа» (Москва, ГИТТЛ, 1954), Г. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (Москва, ГИТТЛ, 1947). АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля неравенство 511 — преобразование 511 — теорема о сходимости степенного ряда 536 Абсолютная величина числа 16 Абсолютно сходящийся интеграл 458, 469 — — ряд 499, 516, 565 Аддитивность интеграла 320 Аксиоматическое определение вещественных чисел 19 Алгебраическая функция 68 Алгоритм Евклида 342 Аналитическая функция 543 Аргумент (независимая переменная) 61 — комплексного числа 328 Архимеда свойство вещественных чисел 17 — спираль 442 Асимптота 196, 201, 203 — вертикальная 197, 198 — наклонная 196, 198 Ассоциативный (сочетательный) закон сложения 12 — — — умножения 14 Астроида 244, 433, 434, 442 Безу теорема 336 Бесконечная геометрическая прогрессия 479, 483 — десятичная дробь 47, 49, 50 — — — допустимая 49 — производная 122 Бесконечно большая последовательность 40 — — функция 79 — малая последовательность 39, 333, 334 — — функция 78, 114 Бесконечность 20 Бесконечный промежуток 20 Бесконечный предел 40 — частичный предел 55 Билинейная форма 313 Бином дифференциальный 366 Больцано — Вейерштрасса теорема 36, 256 Бореля лемма (о покрытии) 417 Вейерштрасса признак равномерной сходимости 522, 524 — теорема об ограниченности непрерывной функции 90, 274 — — об экстремальных значениях непрерывной функции 90 Векторное представление (вектор- представление) кривой 216 Вектор-функция (векторная функция) 209, 210 — — дифференцируемая 213 — — непрерывная 212 Величина мгновенной скорости 132 — скорости 131 — средней скорости 131, 132 Вертикальная асимптота 197, 198 — касательная 128 Верхний интеграл Дарбу 386 — предел последовательности 56 Верхняя грань множества 22, 23 — — последовательности 32 — — функции 63 Верхняя подходящая десятичная дробь 48 — сумма Дарбу 384 Вещественная функция одного переменного 61 — часть комплексного числа 327 Вещественные (действительные) числа 11, 19, 52 Винтовая линия 230 Внутренняя точка множества 257 Вторая производная 148 Второй дифференциал, 154, 315 Выпуклая область 265 — функция 191 Гамильтона символ (набла) 307 Гармонический ряд 483 Геометрическая прогрессия 479, 483 Гиперболические функции 145, 146 Гиперболический косинус 145, 146 — котангенс 146 — синус 145, 146 — тангенс 146 Главная нормаль 239 — часть функции 117, 118 Гладкая кривая 224 Годограф вектор-функции 216 Градиент функции 171, 196 Граница множества 262 Граничная точка множества 262 График функции 65, 198, 266 Даламбера признак 493 Дарбу интегралы 386 — интегральные суммы 384 Дедекинда принцип 27 Действительные (вещественные) числа 11, 19 Декарта лист 209 Деление вещественных чисел 14 — комплексных чисел 330 Делитель многочлена 338 Десятичная дробь 47, 49, 50 — — допустимая 49 Диаметр множества 282 Дини теорема 532 Дирихле признак 472, 473, 512, 528 — функция 65, 383 Дистрибутивный (распределительный) закон умножения 15 Дифференциал вектор-функции 213 — функции 124, 141, 287, 293, 300 — — полный 287 — — частный 284 Дифференциалы высших порядков 154, 315, 317 Дифференциальный бином 366 Дифференцируемая вектор-функция 213 — функция 124, 127, 286 Длина кривой 225, 431 Допустимое преобразование параметра 218 Дуга простая 216 е (число) 34, 108 Евклида алгоритм 342 Евклидово пространство 248 Единица 14 Единичная сфера 260 Единичный шар 260 Жордана теорема 217 Зависимая переменная 61 Зависимость функциональная 60 Замкнутая кривая (контур) 217 — область 265 Замкнутое множество 259 Замкнутый шар 258 Замыкание множества 258 Знакопеременный ряд 496 Знакочередующийся ряд 496 Изолированная точка множества 258 Изоморфизм 52 Инвариантность формы первого дифференциала 141, 299 Интеграл неопределенный 319 — несобственный 443—446, 459— 462 — определенный 380, 381 — с переменным верхним пределом 405 Интеграл табличный 322 Интегралы Дарбу 386 — эллиптические 377, 378 Интегральная сумма Римана 380 — теорема о среднем 400, 402, 403 Интегральные суммы Дарбу 384 Интегральный признак сходимости рядов 485 Интегрирование подстановкой 323 — по частям 325, 411 Интегрируемая функция 380 Интервал 20 — выпуклости вверх 191 — — вниз 191 — сходимости ряда 545 Иррациональное число 11 Кантора теорема о несчетности вещественных чисел 55 — — о равномерной непрерывности 277 Кардиоида 246, 429 Касательная 128, 222 — вертикальная 128 — наклонная 128 — плоскость 304 Квадратичная форма 314 Квадраты ранга m 413 Квадрильяж плоскости 413 Колебание функции на множестве 282 Коммутативный (переместительный) закон сложения 12 Коммутативность умножения 14 Комплексное число 11, 327 — — сопряженное 31 Комплекснозначная функция комплексного переменного 62 Конечная производная 122 Конечное покрытие 417 Контур (замкнутая кривая) 217 — простой 217 Концевой экстремум 189 Координатное представление кривой 216 Координаты полярные 244 Корень многочлена 336 Косинус гиперболический 145, 146 Котангенс гиперболический 146 Коши-Адамара формула 540 Коши критерий для последовательностей 37 — — для функций 82 — — равномерной сходимости 521, 524 — — для несобственных интегралов 457, 469 — — для рядов 482 — признак 495 — теорема о промежуточных значениях непрерывной функции 91 — — о среднем 163 — условие для последовательностей 37 — — для функций 82, 84 — форма остаточного члена формулы Тейлора 176, 549 — формула конечных приращений 164 Коши — Шварца неравенство 248 Коэффициенты степенного ряда 536 Кратная точка кривой 216 Кратность корня 336 Кратный ряд 562, 568, 569 Кривая 216, 218, 263 — гладкая 224 — кусочно-гладкая 224 — непрерывно дифференцируемая 219 — ориентированная 217 — — противоположно 220 — открытая 221 — параметрически заданная 216 — плоская 217, 231 — спрямляемая 225 Кривизна кривой 237 Круг сходимости степенного ряда 577 Куб n-мерный 252 Кубильяж пространства 423 Кусочно-гладкая кривая 224 Кусочно непрерывная функция 403 Кусочно-непрерывно дифференцируемая функция 411 Лагранжа теорема о среднем 159 — форма остаточного члена формулы Тейлора 176, 549 — формула конечных приращений 161 Левая производная 122 Лейбница признак 496 — формула 149 Лемма Бореля (о покрытии) 417 — о сохранении знака 271 Лемниската 442 Линейная плотность 133, 439 Линейная функция n-переменных 292 — — точки 292 Лист Декарта 269 Логарифмическая производная 144 — функция 104 Логарифмическая спираль 434 Ломаная, вписанная в кривую 225 Лопиталия правило 165—168 Луч 264 Маклорена формула 175 Максимальный (наибольший) элемент множества 23 Мгновенная скорость, величина 132 Мелкость разбиения 379 Мера (площадь) открытого множества 414 Метод выделения главной части 117, 118, 176, 181, 182 — неопределенных коэффициентов 348 — Остроградского 354, 357 — улучшения сходимости 472 Минимальный (наименьший) элемент множества 23 Мнимая часть комплексного числа 327 Многозначная функция 64 Многочлен (полином) 68, 96 — Тейлора 175 Множество 20 — замкнутое 258 — значений функции 61 — — элементов последовательности 31 — неограниченное 22 — ограниченное 22, 256 Множество, ограниченное сверху 22 Множество, ограниченное снизу 22 — открытое 257 — пустое 20 — связное 264 — счетное 53 — элементов последовательности 31 Модуль комплексного числа 327 Модуль непрерывности 279 Момент кривой относительно оси 440 Моменты точки 439 Монотонная последовательность 33 Монотонно возрастающая последовательность 33 — — функция 80, 93, 184 — убывающая последовательность 33 — — функция 80, 93, 184 Монотонность меры 415 Набла (символ Гамильтона) 307 Наибольший (максимальный) элемент множества 23 Наибольшее значение функции 63, 64 Наименьший (минимальный) элемент множества 23 Наименьшее значение функции 63, 64 Наклонная асимптота 196, 198 — касательная 128 Направление касательной 223 Направляющие косинусы прямой 309 Натуральные числа 14 Натуральный ряд чисел 11 Независимая переменная (аргумент) 61 Необходимое условие сходимости ряда 483 — — равномерной сходимости ряда 524 Неограниченная последовательность 32 Неопределенный интеграл 319 Неособая точка кривой 224 Непрерывная функция 83, 85, 86, 270, 335 — вектор-функция 212 Непрерывно дифференцируемая кривая 219 — — функция 148, 290 Непрерывность вещественных чисел 17, 18, 27, 28 Неравенство Абеля 511 — Коши—Шверца 248 — треугольника 248 Несобственный интеграл 443—446, 459—462 |