мат введение. Математическое введение. Математическое введение. Векторная алгебра
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
Примеры решения задач Задача Найти скалярное произведение G a ⋅ G b , если длины векторов | G a | = 2 мима угол между ними α = Дано | G a | = 2 мм. Найти По определению скалярного произведения = | G a | ⋅ | G b | ⋅ cosα = 2 ⋅ 1 ⋅ cos120° = 2 ⋅ 1 ⋅ (− 1 2 ) = −1 м 2 Ответ: скалярное произведением. Векторная алгебра Задача Определить работу А силы K F , модуль которой | K F | = 5 Н. Длина вектора перемещениям. Сила K F действует под углом к перемещению Дано | K F | = 5 Нм. Найти По определению работа А силы K F A F = G S ⋅ K F = | G S | ⋅ | K F | ⋅ cosα = 4 ⋅ 5 ⋅ 2 2 = 10 ⋅ 2 ≈ 14,1 Дж. Ответ: работа силы A F ≈ 14,1 Дж. Задача Автомобиль массой m = 1000 кг перемещается прямолинейно под действием силы тяги F = 5000 Н. Найти работу А, совершаемую силами тяги G F , трения F G тр , нормальной реакции опоры G N и тяжести mg G на перемещении S = 1 км. Коэффициент трения μ = 0,1. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 Дано: m = 1000 кг F = 5000 Н S = 1 км = 1000 мм с 2 Найти: A F , тр F A , A N , Работа силы тяги A F = F ⋅ S ⋅ cosα = 5000 ⋅ 1000 ⋅ cos0° = 5000 ⋅ 1000 ⋅ 1= 5 ⋅ 10 6 Дж между векторами силы тяги G F и перемещения угол α = Работа силы трения тр F A = F тр ⋅ S ⋅ cosα = μmg ⋅ S ⋅ cosα = 0,1 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos180° = = 0,1 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ (–1) = –10 6 Дж (между векторами силы трения три перемещения угол α = Работа силы тяжести A mg = mg ⋅ S ⋅ cosα = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° 0 = 0 Дж (между векторами силы тяжести mg G и перемещения угол α = 90°). 26 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Работа силы реакции опоры A N = N ⋅ S ⋅ cosα = mg ⋅ S ⋅ cosα = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° = = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° = 0 Дж (между векторами нормальной реакции опоры G N и перемещения угол α = Ответ работа, совершаемая силами тяги G F , трения F G тр , нормальной реакции опоры G N и тяжести mg G , A F = 5⋅10 6 Дж, тр F A = −10 6 Дж, A N = 0 Дж, A mg = 0 Дж соответственно. Задача Человек тянет сани, прикладывая силу F = 10 Н под углом α = 30° к горизонту. Под действием этой силы сани перемещаются горизонтально со скоростью v = 5 мс. Найти мощность P, развиваемую силой. Дано: F = 10 Нм с. Найти: Р. Мощность P = G F ⋅ G v = F ⋅ v ⋅ cosα = = 10 ⋅ 5 ⋅ cos30° = 10 ⋅ 5 ⋅ 3 2 = 42 Вт. Ответ: развиваемая силой мощность P = 42 Вт. Задача Рамка площадью S = 1 м расположена в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 –3 Тл так, что между векторами нормали G n и индукции G B угол α = 60°. Определить поток Ф вектора G B через рамку. Дано: S = 1 мВ Тл. Найти: Ф. По определению магнитного потока Ф = В ⋅ S ⋅ cosα = 10 –3 ⋅ 1 ⋅ cos60° = 0,5 ⋅ 10 –3 Вб. Ответ: магнитный поток Ф = 0,5 ⋅ 10 –3 Вб. 1. Векторная алгебра 27 1.9. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ Если известны координаты двух векторов G a 1 = {a x1 , a y1 , a z1 } и G a 2 = {a x2 , a y2 , a z2 }, то скалярное произведение этих векторов ⋅ G a 2 = a x1 ⋅ a x2 + a y1 ⋅ a y2 + a z1 ⋅ a z2 . (Примеры решения задач Задача Найти длины векторов G a 1 = {3, 2, 1} и G a 2 = {2, –3, 0} и их скалярное произведение. Дано: G a 1 = {3, 2, 1}; G a 2 = {2, –3, 0}. Найти | G a 1 |, | G a 2 |, G a 1 ⋅ Искомые длины | = G a 1 2 = 3 2 1 2 2 2 + + = 14 , | G a 2 | = G a 2 2 = 2 3 0 2 2 2 + − ( ) + = 13 , G a 1 ⋅ G a 2 = 3 ⋅ 2 +2 ⋅ (–3) + 1 ⋅ 0 = Значит, векторы G a 1 и G a 2 перпендикулярны. Ответ: | G a 1 | = 14 , | G a 2 | = 13 , скалярное произведение G a 1 ⋅ G a 2 = Задача Найти угол α между векторами G a 1 = {–2, 1, 2} и G a 2 = {–2, –2, Дано G a 1 = {–2, 1, 2}; G a 2 = {–2, –2, 1}. Найти ( G a 1 ,^ G a 2 ) = Длины векторов | = − ( ) + + 2 1 2 2 2 2 = 3, | G a 2 | = − ( ) + − ( ) + 2 2 1 2 2 2 = Скалярное произведение = (–2) ⋅ (–2) +1 ⋅ (–2) + 2 ⋅ 1 = Так как G a 1 ⋅ G a 2 = | G a 1 | ⋅ | G a 2 | ⋅ cos( G a 1 ,^ G a 2 ), тот. е. α = arccos 4 9 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≈ Ответ угол между векторами α ≈ 63°37′. 28 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ Векторным произведением вектора G a (множимое) на непараллель- ный с ним вектор G b (множитель) называется третий вектор G c (произведение, который определяется следующим образом) модуль | G c | численно равен площади параллелограмма (АОВL на рис. 1.18), построенного на векторах G a и G b , | G c | = | G a | ⋅| G b | ⋅ sin( G a 1 ,^ G a 2 ); (1.20) 2) линия, вдоль которой направлен вектор G c , перпендикулярна плоскости упомянутого параллелограмма) направление вектора G c выбирается так, чтобы векторы G a , G b и G c составляли правую систему, те. вектор G c направлен в такую сторону, из которой переход вращением от первого вектора — сомножителя G a ко второму вектору-сомножителю G b через наименьший угол виден против хода часовой стрелки. Обозначения: G c = G a × G b или G c = [ G a , G b ]. 1.11. ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ Если известны координаты двух векторов G a = {a x , a y , a z } и G b = {b x , b y , b z }, то векторное произведение этих векторов, G b ] = (a y b z – a z b y ) G i + (a z b x – a x b z ) G j + (a x b y – a y b x ) G k . (1.21) 1.12. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В физике многие величины определяются как векторное произведение других величин. Так, моментом силы G F относительно неподвижной точки Она- зывается вектор G M , равный векторному произведению радиус-век- тора G r , проведенного из точки О в точку приложения силы, и вектора силы Рис. 1.18 1. Векторная алгебра 29 G G G M r F = [ , ] (На рисунке 1.19 векторы и G F лежат в горизонтальной плоскости, а вектор момента силы G M перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов и направлен вверх. Моментом импульса G p относительно неподвижной точки Она- зывается вектор G L , равный векторному произведению радиус-векто- ра G r , проведенного из точки О к материальной точке, обладающей импульсом G p G G G L r p = [ , ] (На рисунке показано, что тело движется по окружности против часовой стрелки. Так как импульс G p = mv G , где m — масса тела, G v — его скорость, он, как и вектор G v , направлен пока- сательной к траектории. По правилу векторного произведения двух векторов и G p результирующий вектор G L лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножаемых векторов, и направленна нас, так как векторы G r , G p , G L составляют правую систему. Изучая электромагнетизм, вы познакомитесь с силой Лоренца [ , Л v B = G G G , действующей на заряд q, движущийся со скоростью G v в магнитном поле На рис. 1.21 положительно заряженная частица с зарядом q движется вправо. Магнитное поле направлено на нас. Сила Лоренца Л лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножаемых векторов G v и G B , и направлена вниз. Мо- Рис. Рис. Рис. 1.21 30 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ дуль силы Лоренца Л = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sinα, где α — угол между векторами и G B 4. Сила Ампера G F A = I [ G l , G B ] действует на проводник длиной l стоком, помещенный в поле с магнитной индукцией G B . Модуль силы Ампера F A = I l B sinα, где α − угол между направлением тока и вектором На рис. 1.22 ток I течет слева направо, магнитное полена- правлено вверх. Вектор А перпендикулярен плоскости рисунка (в ней лежат перемножаемые векторы и G B ) и направленна нас из плоскости рисунка. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение векторного произведения двух векторов. В каком случае модуль векторного произведения двух векторов положителен Равен нулю. Изменится ли направление и модуль векторного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемые векторы. Возможна ли ситуация, когда модули векторного и скалярного произведений одних и тех же векторов равны Если ваш ответ утвердительный, приведите пример. Рис. 1.22 2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной 31 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Цель этого раздела — исследование поведения функции y = y (x) в окрестности точки x. 2.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Функция y = y (x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции Δy можно представить в виде = А ⋅ Δx + о (Δx), (где Ане зависит от Δx, но при этом зависит от x, а о (Δx) − бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δy, те о x x Δ → Δ ⎛ ⎞ Главная, линейная по Δx, часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается = А ⋅ Δx. (Найдем А, учитывая, что Ане должно зависеть от Δx; при этом пусть приращение Δx стремится к нулю А = Δ Δ Δ Δ y x o x x − ( ) ; (2.3) lim Δx A A → = 0 ; (2.4) А = lim ( ) lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ x x y x o x x y x → → − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0 0 . (Производной функции y = y (x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при стремлении последнего к нулю lim Δ Δ Δ x y x →0 (при условии, что он существует). Принято обозначать = ′ ( ) = = + ( ) − ( ) → → y y x y x y x x y x x x x lim lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ 0 0 . (2.6) 32 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование производной ′ ( ) y x . При этом = ′ y ⋅ dx. (Поэтому процесс нахождения производной также называют дифференцированием. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Как видно из рис. 2.1, тангенс угла наклона секущей АВ tg ϕ = = = + − BC AC y x y x x y x x Δ Δ Δ Δ ( ) ( ) . (При Δx → 0 секущая АВ стремится к положению касательной А тогда tgϕ = y ′(x), где ϕ — угол наклона касательной к графику функции в точке Значение ′ ( ) y x 0 позволяет записать уравнение касательной к кривой y = y (x) в точке x 0 : y – y 0 = ′ ( ) y x 0 ⋅ (x – x 0 ), (а также уравнение нормали – y 0 = – 1 0 ′ ( ) y x ⋅ (x – x 0 ), при ′ ( ) y x 0 ≠ 0 При ′ ( ) y x > 0 в точке x функция является возрастающей, а при ′ ( ) y x <0 — убывающей. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Как было получено, приращение функции = dy + о (Δx). (При Δx → 0, Δy ≅ Таким образом, линейное приращение функции можно оценивать по дифференциалу Рис. 2.1 2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной Вернемся к рис. 2.1: Δy = ВС; о (Δx) = В dy = DС. Как видно, дифференциал функции графически изображается приращением ординаты касательной. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Понятие производной введено Г. Лейбницем (Германия) и И. Ньютоном (Великобритания) в конце XVII века практически одновременно. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени. Так как значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной, можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов. Замечания 1. Для независимой переменной x по определению dx = Δx. 2. Наряду с обозначением y ′ используют запись y ′= dy dx 3. В физике для производной повремени приняты следующие обозначения = x (t); x dx dt = 2.5. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций. Таблица производных элементарных функций Функция Производная Функция Производная С постоянная МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Функция Производная Функция Производная 1 x n − + n x n 1 (5) tg x 1 2 cos x (15) x 1 2 ⋅ x (6) ctg x − 1 2 sin x (16) x n 1 1 n x n n ⋅ − (7) arcsin x 1 1 2 − е хе ха ха ха Существуют следующие основные правила дифференцирования (здесь С — постоянная, аи функции от x, имеющие производные (Приведем примеры нахождения производных. Пример 1. Найти производную от функции y x x x = − + − 5 2 3 4 3 Основываясь на формуле (2.13), имеем = ( ) ′ − ( ) ′ + ( ) ′ − ( ) ′ y x x x 5 2 3 4 3 Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем = ( ) ′ − ( ) ′ + ( ) ′ y x x x 5 2 3 Продолжение табл 2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной Наконец, пользуясь формулой (3) из таблицы, приходим кокон- чательному результату = ⋅ − ⋅ + ⋅ y x x 5 3 2 2 3 1 2 , или ′ = − + y x x 15 4 3 Пример 2. Дано y x x = 3 cos . Найти По правилу дифференцирования произведения функций (2.15) получаем = − ( ) + y x x x x 3 2 3 sin cos , или ′ = − + y x x x x 3 2 3 sin Здесь применялись формулы (3) и (14) из таблицы. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы дифференцирования позволяют находить производные от функций только в самых простых случаях. Знания этих правили формул недостаточно для дифференцирования функций более сложного вида, таких, например, как y (t) = 16 9 2 t + или y (t) = 3 cos2πt. В подобных случаях пользуются более общими формулами дифференцирования, основанными на теореме о производной функции от функции. Пусть y есть функция от u: y = f (u), где u в свою очередь функция от аргумента x: u = ϕ(x); в таком случае говорят, что y есть функция от функции. Очевидно, можно записать y = f (ϕ(x)). Если существуют производные ′ f u = ′ ( ) f u и ′ u x = ′ ( ) ϕ x , то существует и производная от y по x, причем имеет место равенство = ′⋅ ′ y f u u x . (Индексы указывают, по какой переменной производится дифференцирование. Покажем, как пользоваться формулой (Пример 1. Найти ′ y , если y x x = + + ( ) 2 8 5 Полагая u x x = + + 2 5 7 , имеем y u = 8 . По формуле (3) ′ = + ( ) y u x 8 2 5 7 , или, окончательно ′ = + + ( ) + ( ) y x x x 8 5 7 2 5 Пример 2. Найти ′ y , если y x x = + + ( ) ln 3 Принимая в данном случае за u = x x 3 7 2 + + и пользуясь формулой, получаем ′ = + + + y x x x 3 7 7 2 2 3 36 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Многие физические величины определяются как производные повремени от других физических величин. Например, скорость G v — первая производная радиус-вектора G r повремени. Обозначается это следующим образом или G G G v r r t = ′ = . (Ускорение G a — первая производная скорости G v повремени или G G G a v v t = ′ = . (Сила тока I — первая производная заряда q повремени (или, что тоже самое, скорость изменения заряда или I q q t = ′ = . (Электродвижущая сила индукции ε — взятая со знаком минус первая производная магнитного потока Ф повремени Фили − Ф t Ф . (Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение дифференциала функции в точке. Дайте определение производной функции. Поясните геометрический смысл производной и дифференциала. Поясните механический смысл производной. Пользуясь таблицей производных и основными правилами дифференцирования (формулами 2.12–2.19), найдите производные от следующих функций) y x x = − + 9 2 3 2 , 2) y x x = + − 6 3 4 3 , 3) y x x x = + + 5 3 ln sin , 4) y x x = − 7 2 3 ln cos , 5) y x x = 3 ln , 6) y x x = 2 sin , 7) y tgx x = 3 cos , 2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной 37 8) y = 16 9 2 x + , 9) y = 3 ⋅ cos 2π x. 6. Приведите примеры физических величин, которые являются производными от других физических величин по времени. |