мат введение. Математическое введение. Математическое введение. Векторная алгебра
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Вектором называется направленный отрезок, для которого заданы длина, называемая модулем или величиной вектора, и направление. Скалярной величиной, или скаляром, называется число, то есть величина, не обладающая направлением. Сила G F , действующая на материальную точку, есть вектор, так как она обладает направлением. В курсе физики вы познакомитесь с такими векторными величинами, как скорость G v , ускорение G a , импульс, момент импульса G L , момент силы G M , напряженность электрического поля G E , магнитная индукция G B и т. д. Температура тела T есть скаляр, так как с этой числовой величиной не связано никакое направление. Масса тела m и его плотность ρ — тоже скаляры. Над векторами производят действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Если заданы векторы G a и G b , то их можно сложить по правилам параллелограмма или треугольника (рис. 1.1 ирис соответственно. Вектор является их суммой G a + G b . (1.1) Рис. 1.1 Рис. 1.2 14 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ X a G a x O В первом случае суммарный вектор представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на составляющих векторах как на сторонах (начала всех трех векторов совпадают. Во втором случае поступают такс концом вектора совмещают начало вектора G b . Соединив затем начало первого вектора с концом второго, получают суммарный вектор Составляющей вектора вдоль прямой (плоскости) называется вектор, лежащий на данной прямой плоскости, начало и конец которого совпадают с проекциями начала и конца вектора. На рис. 1.3 G a x и а — это составляющие вектора G a , аи составляющие вектора G b . Проекцией вектора на ось называется скаляр (число, равный по величине модулю составляющей вектора на туже ось, причем это число берется со знаком плюс, если направление составляющей вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Проекции суммарного вектора на координатные оси равны сумме проекций слагаемых векторов с x = a x + b x , с = a y + b y . (Это видно из рисунка 1.3. 1.2. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Пусть требуется умножить вектор G a на число n. Если число n положительное, тов результате умножения получится новый вектор G b = n G a , имеющий тоже направление, что и вектор G a , но модуль враз больший, если n ≥1, и модуль враз меньший, если 0 ≤ n ≤1 рис. 1.4). Модуль вектора G b равен b = | n | a, а проекция вектора равна b x = Рис. 1.3 1. Векторная алгебра 15 Рис. 1.4 Рис. Если вектор умножить на отрицательное число k (k < 0), то получится вектор G c = k G a , направленный противоположно вектору G a , с модулем враз большим, если |k| ≥1, и модулем враз меньшим, если 0 ≤|k| ≤1 (рис. 1.5). Модуль вектора G c равен с = |k |a, а проекция вектора G c равна с = ka x 1.3. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ Вычесть из вектора G a вектор рис. 1.6) — значит прибавить к вектору G a вектор − ( ) G b , отличающийся от вектора G b тем, что он направлен в противоположную сторону (знак минус указывает здесь противоположность направления G c = G a – G b = G a + − ( Модули векторов и − ( ) G b равны, а их направления противоположны (такие векторы называются противоположными. Проекции противоположных векторов имеют противоположные знаки. Сами же векторы не могут быть ни положительными, ни отрицательными. Можно находить разность векторов иначе. Если представить векторы G a и G b выходящими из одной точки рис. 1.7), то разность векторов изобразится вектором с, проведенным из конца вычитаемого вектора G b к концу уменьшаемого вектора Рис. 1.6 16 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ При вычитании векторов вычитаются и их проекции на координатные оси. Если G G G c a b = − , то с = a x – рис. 1.8). 1.4. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Прямоугольными координатами вектора G a называются проекции вектора на оси координат (рис. 1.9). Координаты вектора обозначаются буквами, Запись {a x , a y , a z }. (Векторы, изображенные на рисунке, называются единичными ортами (единичными векторами) координатных осей. Их модули равны единице, а направления совпадают с направлением осейОX, О и ОZ.Зная проекции вектора, можно представить его как = a x G i + a y G j + a z G k . (1.4) 1.5. ДЛИНА ВЕКТОРА Длина вектора G c = с, с, с выражается через его координаты по теореме Пифагора формулой = c c c x y z 2 2 2 + + . (После нахождения вектора G c , являющегося суммой векторов ив физике часто возникает задача нахождения модуля вектора G c , те. его длины. Возможны следующие случаи: Рис. Рис. Рис. 1.9 1. Векторная алгебра 17 1. Складываемые векторы сонаправлены ( G a ↑↑ G b ). В этом случае от векторной записи G a + G b (легко перейти к скалярной, спроектировав уравнение (1.6) на ось OX (рис. 1.10) OX: с = a + b. (1.7) 2. Складываемые векторы противоположно направлены ( G a ↑↓ G b ). Спроектировав уравнение G c = G a + на ось OX (рис. 1.11), получаем OX: с = a – b. (1.8) 3. Складываемые векторы перпендикулярны (рис. 1.12). Модуль вектора находим по теореме Пифагора, записанной для прямоугольного треугольника ODE. О = ⎪ G b ⎪ и Е — катеты треугольника, ⎪ОЕ⎪ = ⎪ G c ⎪ — его гипотенуза. Поэтому = a b 2 2 + . (1.9) 4. Угол α между складываемыми векторами произвольный (рис. 1.13) (α неравен, как это имело место выше. В этом случае применяется теорема косинусов Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними. Для треугольника ODE, в котором известны стороны О и Е, а также угол α, теорема запишется как с 2 = а + b 2 − 2 ⋅ а ⋅ b ⋅ cosα. (Рис. Рис. Рис. Рис. 1.13 18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Применяя теорему косинусов, следует помнить, что в ней идет речь не об угле между складываемыми векторами G a и G b (угле β), а об угле α = 180° − β. Так как cos (180° − β) = −cosβ, выражение (1.10) можно записать в следующем виде: с 2 = а + b 2 + 2 ⋅ а ⋅ b ⋅ cosβ. (1.10) 1.6. УГЛЫ МЕЖДУ ОСЯМИ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОМ Углы α, β, γ, образуемые положительными направлениями OX, OY, OZ с вектором (рис. 1.14), можно найти по формулам cosα = a a a a x x y z 2 2 2 + + = a a x | | G , (1.11) cosβ = a a a a y x y z 2 2 2 + + = a a y | | G , (1.12) cosγ = a a a a z x y z 2 2 2 + + = a a z | | G . (Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение вектора, скалярной величины. Среди перечисленных физических величин выберите векторные и скалярные скорость, сила, путь, масса, перемещение, температура, ускорение, плотность, давление, электроемкость, импульс, влажность. В чем заключаются правила параллелограмма и треугольника, применяемые для сложения векторов. В каком случае приумножении вектора G a на число результирующий вектор G b сонаправлен с вектором G a ? Противоположно направлен. Как вычесть из вектора G a вектор G b ? 6. Что такое орты координатных осей Как представить вектор через его проекции на координатные оси и орты координатных осей? Рис. 1.14 1. Векторная алгебра 19 7. Как найти длину вектора G a , зная его проекции a x , a y , a z на координатные оси. Как найти угол между осью координат и вектором. Сформулируйте теорему косинусов. Примеры решения задач Задача Самолет держит курс на север со скоростью v 1 = 200 мс относительно Земли. Дует восточный ветер со скоростью относительно Земли мс. Найти скорость самолета v относительно воздуха. Дано: v 1 = 200 мс мс. Найти Скорость самолета относительно воздуха G v равна G G G v v v = − 1 Изобразим треугольник скоростей. Так как 1 2 v v ⊥ G G , модуль искомой скорости находим по теореме Пифагора v = v v 1 2 2 2 2 2 200 15 + = + = 200,56 м / с. Ответ: скорость самолета относительно воздуха v = 200,56 м / с. Задача Найти модуль напряженности Е поля двухточечных зарядов q 1 = 1 нКл ив точке, находящейся на середине соединяющего их отрезка длиной r = 1 м. Дано: q 1 = 1 нКл; q 2 = 2 ⋅ q 1 ; r = 1 м. Найти: Е. Согласно принципу суперпозиции полей G G G E E E = + 1 2 , где G E 1 и G E 2 − напряженности полей зарядов q 1 ив точке А. Спроектируем это уравнение на ось О OX: ЕЕ Е 20 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Знак «−» говорит о том, что вектор G E направлен противоположно оси О. Подставим числовые значения Тогда ЕЕ Ответ модуль напряженности поля двухточечных зарядов Е = Задача К телу приложены силы G F 1 и G F 2 , угол между которыми β = Найти модуль результирующей силы G F , действующей на тело, если F 1 = F 2 = 20 Н. Дано: β = 20°; F 1 = 20 Н F 2 = 20 Н. Найти: Результирующая сила G F , действующая на тело, — это векторная сумма сил G F 1 и G F 2 : G F = G F 1 + G F 2 . Найдем сумму векторов G F 1 и по правилу параллелограмма (см. с. 13). Для треугольника сил ОДЕ ОД = F 2 , ДЕ = F 1 , ОЕ = F ) запишем теорему косинусов ОЕ 2 = ОД 2 + ДЕ 2 − 2 ⋅ ОД ⋅ ДЕ ⋅ или = F 1 2 + F 2 2 − 2 ⋅ F 1 ⋅ F 2 ⋅ где α = 180° − Так как по условию F 1 = F 2 , то Ответ модуль результирующей силы F ≈ 39,4 H. 1. Векторная алгебра Задача Тело массой m = 1 кг движется с постоянной по модулю скоростью мс по окружности. Найти модуль изменения импульса тела Δp при прохождении четверти окружности (импульсом называется произведение массы тела m на его скорость Дано v = 10 мс кг. Найти: Изменение какой-либо величины — это разность конечной и начальной величины. Значит, 2 1 p p p Δ Пусть тело находилось в точке 1 и, двигаясь почасовой стрелке, оказалось в точке 2. Так как импульс по определению есть G G p mv = , то векторы G p и G v сонаправлены. Вектор скорости G v , как вы скоро узнаете из курса механики, направлен по касательной к траектории тела. Поэтому в точке 1 вектор G p 1 горизонтален, а в точке 2 вектор G p 2 вертикален. Построим разность векторов и правило вычитания векторов изложено нас. Так как G p 1 ⊥ G p 2 , то по теореме Пифагора 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 10 14,1 p p p mv mv mv ⋅ Δ = + = + = = ⋅ ⋅ кг мс Ответ модуль изменения импульса тела 14,1 p ⋅ Δ кг мс Задача Вектор скорости тела меняется со временем по закону G v (t) = 6t G i + 4 G j − 12t 3 G k , м / с, где t — время, аорты координатных осей. Найти зависимость модуля скорости от времени v Дано G v (t) = 6t G i + 4 G j − 12t 3 G k , м / с. Найти: v (В данной задаче вектор G v выражен через проекции на координатные оси и орты G i , G j , координатных осей (см. с. 16). Сомножители при ортах G i , G j и G k − это проекции вектора скорости на оси OX, OY, OZ, соответственно. Таким образом, v x = 6t мс мс мс. Тогда модуль вектора скорости 22 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 2 2 2 2 3 2 2 6 ( ) (6 ) (4) 12 ) 36 16 144 x y z v t v v v t t t t = + + = + + = + + , м/с. Ответ: зависимость модуля скорости от времени 2 6 ( ) 36 16 144 v t t t = + + , м/с. Задача Найти угол α между силой G G G G F t i tj tk ( ) = + + 4 7 2 , Н, действующей на тело, и осью OX в момент времени t = 1 с. Дано: G G G G F t i tj tk ( ) = + + 4 7 2 , Н t = 1 с. Найти: Найдем длину вектора G F . Как ив предыдущей задаче, запишем компоненты вектора G F : F x = 4 H, F y = 7t H, F z = 2t H. Используя формулу (1.11), получаем cos α = + + = + ( ) + ( ) = = + + = + F F F F t t t t t x x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 7 2 4 16 49 4 4 16 В данную формулу подставим значение времени t = 1 с 4 4 cos 0, 48 69 16 53 1 α = = ≈ + ⋅ , α = arccos 0,48 ≈ Ответ между силой G F и осью OX угол α ≈ 61,3°. 1.7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух векторов G a и называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Обозначения: G a ⋅ G b = G a G b = ( G a , Согласно определению | G a | ⋅ | G b | ⋅ cos( G a ,^ G b ). (1.14) 1. Векторная алгебра Скалярное произведение G a · G b обращается в нуль, если один из сомножителей равен нулю или если векторы G a и перпендикулярны (в этом случае косинус угла между векторами равен нулю. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Некоторые физические величины определяются как скалярное произведение векторных физических величин. Так, элементарной работой А, совершаемой силой G F на элементарном перемещении d G r , называется скалярное произведение А = K F ⋅ d G r = | K F |⋅ | d G r | ⋅ cosα, (где α — меньший угол между перемножаемыми векторами. Рис. Если сила F и угол α постоянны, а тело движется прямолинейно, то работа силы на перемещении А = S ⋅ F ⋅ cosα, (где S — модуль перемещения материальной точки. Мощность P равна скалярному произведению вектора силы G F , действующей на тело, и вектора скорости этого тела G v : P = G F ⋅ G v = F ⋅ v ⋅ cosα. (Рис. Элементарным потоком Ф вектора магнитной индукции через поверхность называется скалярное произведение 24 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ dФ = G B ⋅ dS G = B ⋅ dS ⋅ cosα, (где α — угол между вектором G B и вектором нормали G n к данной поверхности (рис. Рис. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. В каком случае скалярное произведение двух векторов положительно Отрицательно Равно нулю. Поясните физический смысл скалярного произведения. Изменится ли результат скалярного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемые векторы? |