мат введение. Математическое введение. Математическое введение. Векторная алгебра

• Название: Математическое введение. Векторная алгебра
• Анкор: мат введение
• Дата: 19.04.2023
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: Математическое введение.pdf
• Тип: Документы; #1073371
• страница: 4 из 5

4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Уравнение вида
а
0
y ″+ а y ′ + а y = где а, а, а — постоянные, называетсялинейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи-
циентами.
Если функции y
1
(x) и y
2
(x) — частные решения уравнения (4.18), причем их отношение не является числом, то выражение (x) = C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x), (где C
1 и C
2
— постоянные, аи частные решения, есть общее решение этого уравнения.
Для определения вида частных решений y
1
(x) и y
2
(x) следует решить характеристическое уравнение

52 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕа
k
2
+ а
k + а = 0. При решении квадратного уравнения (4.20) возможны три случая, представленные в таблице
Корни уравнения Частные
решения
Общее
решение
Действительные различные и k
2
y
1
= e
k
1
x
y
2
= e
k
2
x
y (x) = C
1
e
k
1
x
+ C
2
e Действительные равные
k
1
= k
2
y
1
= e
k
1
x
y
2
= xe
k
2
x
y (x) = e
k
1
x
(C
1
+ C
2
Комплексно сопряженные = α + βi и k
1
= α – βi
y
1
= e
αx
cosβx
y
2
= e
αx
sinβx
y (x) = e
αx
(C
1 cosβx + C
2
Если заданы начальные условия у (0) = у и у (0) = у, то можно найти постоянные C
1 и C
2 и, подставляя их в (4.20), получить частное решение уравнения (Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение дифференциального уравнения. Что называется общим решением дифференциального уравнения. Что называется частным решением дифференциального уравнения Как найти частное решение, зная общее решение дифференциального уравнения. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными Как найти его решение. Какие из уравнений (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11), (3.12),
(3.13), (3.14), (3.15) си) являются уравнениями с разделяющимися переменными. Дайте определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Как найти частное решение такого уравнения. Какой вид имеет частное решение линейного однородного дифференциального уравнения, если корни его характеристического уравнения 1) действительные различные, 2) действительные совпадающие) комплексно сопряженные

4. Дифференциальные уравнения Примеры решения задач
Задача Тело движется прямолинейно со скоростью v, пропорциональной квадрату времени t. Установить зависимость между пройденным путем и временем t, если известно, что в начальный момент времени при t = 0) пройденный телом путь S (0) = Дано v

t
2
; S (0) = Найти S (По условию задачи t
2
. (Чтобы вместо знака пропорциональности «» поставить знак равенства, введем коэффициент k. Тогда = kt По определению скорость v — первая производная пути S повремените. путь S, время t и скорость v связаны дифференциальным уравнением. (Приравняем правые части выражений (2) и (3). Получим kt
2
. (Соотношение (4) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде = kt
2
dt. (Проинтегрировав обе части равенства (5), получим общее решение дифференциального уравнения (4)
dS
kt dt
=
∫
∫
2
S (t) =
kt dt
2
∫
=
kt
3 3
+ C. (В начальный момент времени S = S
0
, поэтому, подставив в общее решение (6) значения времени t = 0 и пути S = S
0
, найдем значение постоянной интегрирования С

54 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ (0) = S
0
= 0 + C. (Тогда С = S
0
. Найденное значение С подставим в общее решение
(6) и получим частное решение (t) =
kt
3 3
+ S
0
. (Ответ зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид
S (t) =
kt
3 3
+ Задача Скорость охлаждения поверхности тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Найти зависимость темперaту- ры тела T от времени t, если за интервал времени t = 10 с темперaту- ра тела изменилась от T
1
= 300 K до T
2
= 260 K, а температура воздуха К постоянна.
Дано: t = 10 с T
1
= 300 K; T
2
= 260 K; T
3
= 220 К
dT
dt
= k (T — Найти T (Скорость охлаждения тела — производная температуры T повремените. Согласно условию задачи, T и t связаны уравнением. (Соотношение (1) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде. (Проинтегрируем обе части равенства (2)
dT
T
kdt
−
=
∫
∫
T
3
, (3)
d T
T
kdt
(
)
−
−
=
∫
∫
T
T
3 3
, (4)
ln(T − T
3
) = kt + lnC. (5)

4. Дифференциальные уравнения Для получения явной зависимости T (t) возьмем экспоненту от левой и правой части уравнения (5)
e
e
T T
kt
C
ln(
)
ln
−
+
=
3
, (6)
T T
e e
kt
C
− =
⋅
3
ln
,
T
Ce
kt
=
+ T
3
(Выражение (7) является общим решением дифференциального уравнения (1). Найдем значение постоянной С при начальном условии. Подставляя в общее решение (7) время t = 0 и температуры К и T
3
= 220 К, получим 300
= С
+ 220 = С + отсюда С = Следовательно, зависимость T (t) определяется частным решением Коэффициент пропорциональности k находим из условия, что в момент времени t = 10 с температура тела T
2
= 260 К. Подставим
T (10) = 260 Кв уравнение (8). Получаем 80 220 10
=
+
e
k
,
260 220 80 10
−
= e
k
,
40 80 10
= e
k
,
0 5 10
,
= e
k
,
ln ,
0 5 10
= k
,
k
=
= −
0 1 0 5 0 0693
, ln Подставив найденный коэффициент k в уравнение (8), получим температурную зависимость от времени вида t
e
t
( )
,
=
+
−
80 220 0 Ответ зависимость температуры тела от времени
T t
e
t
( )
,
=
+
−
80 220 0 0693
, К

56 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Задача Найти общее решение дифференциального уравнения ″ + 5y ′ + 2y = 0. Заданное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение
+ 5k + 2 = 0. Найдем корни уравнения (2)
k
1,2
=
− ±
− ⋅ ⋅
⋅
= − ±
5 5
4 2 2 2 2 5 3 Тогда k
1
= − 2 и k
2
= −0,5. Так как корни действительные различные, согласно таблице нас частные решения уравнения (1) имеют вид y
1
= e
−2x
и y
2
= e
−0,5x
, и общее решение уравнения (1) запишется как = C
1
e
−2x
+ C
2
Ответ y = C
1
e
−2x
+ C
2
e
Задача Найти частное решение дифференциального уравнения y
″ − 2y ′ + y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y (0) = 4, y ′(0) = Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение и найдем его корни + 1 = 0
(k – 1)
2
= 0
(k – 1)
= 0
k
1,2
= Так как корни действительные совпадающие, согласно таблице со с. 52 частные решения данного уравнения имеют вид y
1
= e
x
и y
2
= xe
x
, а общее решение уравнения (1) запишется как

4. Дифференциальные уравнения
57
y = C
1
e
x
+ C
2
xe
x
= e
x
(C
1
+ C
2
x). (Найдем y ′, дифференцируя по x выражение (2):
′
y
= (e
x
(C
1
+ C
2
x))′ = (e
x
)′ (C
1
+ C
2
x) + e
x
(C
1
+ C
2
x) ′ =
=
e
x
(C
1
+ C
2
x) + e
x
(0 + C
2
) = e
x
(C
1
+ C
2
x + при нахождении производной пользовались формулами (3) и (8) из таблицы производных си правилом дифференцирования произведения двух функций — формулой (2.15) с. Итак ′= e
x
(C
1
+ C
2
x + C
2
). (Для определения частного решения уравнения (1) в равенства (2) и (3) подставим начальные условия (0) = C
1
e
0
+ C
2 0e
0
= 4,
(2*)
y ′(0) = e
0
(C
1
+ C
2 0 + C
2
) = 2. Получим систему двух уравнений 1
2 из которой определяем постоянные C
1
= 4 и C
2
= Подставив эти значения в общее решение (2) уравнения (1), найдем частное решение уравнения (1):
y = 4e
x
– 2xe
x
. (Ответ y = 4e
x
– 2xe
x
4.5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Уравнение вида
а
0
y ″+ а y ′ + а y = f (x), где а, а, а — постоянные коэффициенты, а f (x) — непрерывная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. (Ниже огра-

58 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
ничимся рассмотрением случая, когда правая часть уравнения (4.21) имеет вид (x) = Атак как это уравнение вынужденных механических колебаний, которые вам предстоит изучать в разделе курса физики «Механика».)
Уравнение с теми же коэффициентами а, а, а, нос правой частью, равной нулю
а
0
y ″+ а y ′ + а y = 0, называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (4.21). Для линейных неоднородных уравнений имеют место следующие теоремы, с помощью которых отыскиваются их общие решения.
Теорема 1. Если известно какое-либо частное решение y * неоднородного уравнения (4.21), то его общее решение y есть сумма частного решения y * и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (4.22), те. (Теорема 2. Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффициентами может быть представлена в виде (x) = e
αx
⋅ (P (x) ⋅ cosβx + Q (x) ⋅ где P (и Q (x) — многочлены и z = α + βi не является корнем характеристического уравнения, то существует частное решение вида * = e
αx
⋅ (M (x) ⋅ cosβx + N (x) ⋅ где M (x) и N (x) — многочлены той же степени.
Задача Найти общее решение дифференциального уравнения ″ − 5y ′ + 6y = 13 sin3x. (Данное уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение и найдем его корни

4. Дифференциальные уравнения
59
k
2–
5k + 6 = 0,
(k – 2) (k – 3)
= 0,
k
1
= 2, k
2
= Так как корни действительные различные, согласно таблице со с. 52, общее решение Y однородного дифференциального уравнения ″ − 5y ′ + 6y = 0 имеет вид = C
1
e
k
1
x
+ C
2
e
k
2
x
= C
1
e
2x
+ C
2
e
3x
. (Правую часть уравнения (1) можно записать в виде 13sin3x = e
0x
(0
cos3x + Здесь α = 0, β = 3, P (x) = 0, Q (x) = 13 (многочлен нулевой степени. Так как число z = α + βi =3i не является корнем характеристического уравнения, согласно теореме 2, частное решение уравнения
(1) ищем в виде * = e
0x
(А cos3x + В sin3x) = А + В sin3x. (Найдем *)′ = (А cos3x + В sin3x)′ = А sin3x + В cos3x (и *)′′ = (А sin3x + В cos3x)′ = А − В sin3x. (Подставив (4) ив уравнение (1), получим тождество
−9А
cos3x − В sin3x − А sin3x + В cos3x) +
+ А + Вили после преобразований (А + В) cos3x + 3 (А − В) sin3x = 13 sin3x. (Приравняем коэффициенты при sin3x и cos3x
−
+
=
−
=
⎧
⎨
⎩
3 5
0 3 5 13
(
)
(
)
A
B
A Решив полученную систему уравнений, получим Аи В = −1 / 6.

60 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Найденные коэффициенты подставим в (6):
y * = 5 / 6 cos3x − 1 / 6 sin3x. (Таким образом, найден вид частного решения заданного уравнения (Согласно теореме 1, общее решение уравнения (1) имеет вид = y * + Подставив в это соотношение формулы (3) и (9), получим общее решение уравнения (1):
y = 5 / 6
cos3x − 1 / 6sin3x + C
1
e
2x
+ C
2
Ответ y = 5 / 6
cos3x — 1 / 6 sin3x + C
1
e
2x
+ C
2
Вопросы для самопроверки. Дайте определение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Как найти общее решение такого уравнения?
ТЕСТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА
Сложение и вычитание векторов
ТМ1.1 Если при обработке детали на токарном станке скорость продольной подачи резца v
1
= 12 см / мина скорость поперечной подачи см / мин, то скорость v резца относительно корпуса станка при этом режиме работы) 17 см/мин 2) 7 см/мин 3) 13 см/мин 4) 12 см/мин 5) 10 см/мин
ТМ1.2 Если при движении катера по течению реки его скорость относительно берега v
1
= 15 мс, а скорость течения реки v
2
= 2 мс, то скорость v катера в стоячей воде) 17 мс
2) 15 мс
3) 13 мс
4) 11 мс
5) 9 м/с
ТМ1.3 Если при движении лодки против течения реки ее скорость относительно берега v
1
= 10 мс, скорость течения реки v
2
= 3 мс, то скорость v лодки в стоячей воде) 3 мс
2) 5 мс
3) 7 мс
4) 10 мс
5) 13 мс

Тесты математические для электронного экзамена
61
ТМ1.4 Если два тела движутся навстречу друг другу с относительной скоростью v
отн
= 100 км/ч и скорость одного из них v
1
= 64 км/ч, то скорость v
2 второго тела) 5 мс
2) 10 мс
3) 36 мс
4) 164 мс
5) 164 к/ч
ТМ1.5 Плоское заднее стекло автомобиля наклонено под углом
α = 60° к горизонту. Капли дождя падают вертикально относительно Земли и перестают попадать на стекло, если скорость автомобиля превышает а
= 25 мс. Скорость капель к относительно Земли) 12,5 мс
2) 14,5 мс 3) 21,7 мс
4) 25,0 мс
5) 43,3 м/с
ТМ1.6 На боковом стекле неподвижного троллейбуса капли дождя оставляют следы, наклоненные под углом α = 30° к вертикали. При движении троллейбуса со скоростью т
= 9,6 мс следы капель становятся вертикальными. Скорость к капель относительно Земли) 4,8 мс
2) 8,4 мс
3) 9,6 мс
4) 16,6 мс
5) 19,2 м/с
ТМ1.7 В каком направлении движется тело, на которое действуют три равные силы по 40 Н каждая, лежащие водной плоскости и направленные под углом α = 120° друг к другу) вверх
2) вниз
3) тело неподвижно
4) вправо
5) влево
ТМ1.8 Если на тело действуют силы
G
F
1
и
G
F
2
(F
1
=
F
2 Н, угол между ними α = 120°, то модуль результирующей силы, действующей на тело) 20 Н
2) 30 Н
3) 40 Н
4) 50 Н
5) 60 Н
ТМ1.9 Если на тело действуют две равные по модулю силы
G
F
1
и
G
F
2
, угол между ними α = 20°, а результирующая сила, действующая на тело, 39,4 Н, то модуль силы
G
F
2 1) 20 Н
2) 30 Н
3) 40 Н
4) 50 Н
5) 60 Н
ТМ1.10 Если тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 10 мс по окружности, то модуль изменения импульса тела при прохождении шестой части окружности) 0 кг · мс кг · мс кг · мс кг · мс кг · мс bТМ1.11b Если тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 10 мс по окружности, то изменение модуля импульса тела при прохождении шестой части окружности равно) 0 кг · мс кг · мс кг · мс кг · мс кг · мс МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

1   2   3   4   5