мат введение. Математическое введение. Математическое введение. Векторная алгебра
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
Примеры решения задач Задача 2.1 Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по закону, м. Найти 1) зависимость скорости точки от времени G v (t), 2) зависимость модуля скорости от времени v (t), 3) зависимость ускорения точки от времени G a (t), 4) зависимость модуля ускорения от времени a (t), 5) значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 сот начала движения. Дано: G r (t) = 2t 2 G i + 3t G j + 4 G k , м t = 1 Найти G v (t), v (t), G a t ( ) , a t ( ) , v, a. 1. Скорость G v — первая производная радиус-вектора G r повремени. Поэтому для нахождения зависимости G v (t) достаточно продифференцировать повремени заданную зависимость G G r r t = ( ) : G G v t dr dt ( ) = = 2 3 4 2 t i tj k t G G G + + ( ) ′⋅ = 4 3 0 ti j k G G G + + = 4 3 ti j G G + , м / c. (1) 2. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов компонент вектора. Для модуля скорости+ + 2 Из уравнения (1) имеем v x = 4t мм м / Получаем (t) = 4 3 0 2 2 2 t ( ) + + = 16 9 2 t + , мс. Так как ускорением G a является первая производная скорости повремени, то для получения зависимости G a от t необходимо продифференцировать повремени полученную выше зависимость G v (t) — выражение (1). Тогда 3 ti j t G G + ( ) ′⋅ = 4 0 G G i j + = 4 G i , мс МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. Модуль ускорения определяется соотношением a a a a x y z = + + 2 Как видно из зависимости (3), a x = 4 мм м / c 2 . Поэтому мс. Значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 сот начала движения легко получить, подставив значение времени t = 1 св выражения (2) и (4). Тогда v (1) = 5 мм Ответ зависимость скорости точки от времени G v (t) = 4 3 ti j G G + , м / c; зависимость модуля скорости от времени v (t) = 16 9 2 t + , мс зависимость ускорения точки от времени G a t ( ) = 4 G i , мс зависимость модуля ускорения от времени a t ( ) = 4 мс значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 сот начала движениям м / Задача Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению q (t) = 0,03 ⋅ cos2πt, Кл. Найти силу тока I вцепив момент времени t = 6 с. Дано: q (t) = 0,03 ⋅ cos2πt, Кл t = 6 с. Найти: I (Сила тока I — это первая производная заряда q повремени. Исходя из этого определения, получим зависимость тока вцепи от времени. Для этого продифференцируем заданную зависимость q (t) повремени, А (здесь А — Ампер, единица измерения силы тока). Теперь в полученное выражение подставим значение времени t = 6 с (6) = − ⋅ ⋅ ⋅ = 0,03 2 2 6 π π sin − ⋅ ⋅ = 0,03 2 2 1 π π sin 0 так как sin12π = sin0 = Ответ I (6) = 0 А 3. Интегральное исчисление Задача Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со временем по закону Ф ) sin = ⋅ 4 2 π , Вб. Найти модуль эдс индукции ε, возникающей в рамке в момент времени t = 8 с. Дано: Ф ) sin = ⋅ 4 2 π , Вб; t = 8 с. Найти: Ф (Согласно закону электромагнитной индукции эдс, возникающая в рамке, определяется выражением Ф Поэтому сначала найдем зависимость эдс от времени, дифференцируя повремени заданную зависимость Ф (t) ε π t t t ( ) = − ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ′⋅ 4 2 sin = − ⋅ ⋅ 4 2 2 π π cos t , В В полученную зависимость ε(t) подставляем t = 8 си получаем 2 2 8 ( ) = − ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ cos = − ⋅ ( ) 2 4 π π cos = − ⋅ 2 1 π = −6,28 В. Ответ: модуль эдс индукции ε (8) = 6,28 В. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной y = f (x) называется такая функция F (x), производная от которой равна f (x) (или, что тоже самое, дифференциал от которой равен f (x) dx): F ′(x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. (Первообразных функций для данной — бесконечное множество разность между двумя первообразными функциями F 1 (x) иве МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ личина постоянная. Графики всех функций, первообразных для данной, представляют собой одну и туже кривую и получаются один из другого в результате параллельного сдвига кривой в направлении оси ординат в ту или иную сторону (рис. 3.1). 3.2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Общее выражение F (x) + const для всех первообразных функций отданной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) или от дифференциала f (x) dx. Обозначение x f x dx ( ) ( ) . + = ∫ const (3.2) (∫ — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определенным интегралом функции y = f (x) в пределах от а до b, заданной в замкнутом интервале а, b] (при этом может быть а < b случай А) или а > b (случай Б, называется число, получаемое следующим образом) интервала разбивается на n элементарных интервалов произвольными числами x 1 , x 2 , …, x n–1 , выбранными так, что a = x 0 <… = x 0 > x 1 > x 2 >… > x i >…> x n-1 > x n = b. 2) внутри (или на границе) каждого элементарного интервала [x i–1, x i ] выбирается произвольно одно число ξ I (рис. 3.2): x i–1 ≤ ξ I ≤ или ≥ ξ I ≥ Рис. 3.1 3. Интегральное исчисление 41 3) значения f (ξ i ) функции y = f (x) в этих выбранных точках умножаются на соответствующие разности Δx i–1 = x i — x i–1 (длины элементарных интервалов [x i–1, x i ], взятые со знаками «+» или знаками «−»); 4) все полученные n произведений f (ξ i ) ⋅ Δx i–1 складываются; или Рис. 3.2 5) вычисляется предел полученной суммы f x i i i n ( ) ξ ⋅ − = ∑ Δ 1 1 , когда длина каждого элементарного интервала Δx i–1 стремится к нулю (и, следовательно, n → Если этот предел существует и не зависит от выбора чисел x i и ξ I , то он называется определенным интегралом x dx a b ( ) ∫ = lim ) Δ Δ x n i i i n i f x − → →∞ − = ⋅ ∑ 1 0 1 1 ( ξ (Символ ∫ называется знаком интеграла, число a — нижним пределом, число b — верхним пределом, функция f (x) — подынтегральной функцией, выражение f (x) dx — подынтегральным выражением, буква x — переменной интегрирования. Значение интеграла зависит только от вида функции f (x) и от пределов a и b, ноне зависит от переменной интегрирования, которая может быть обозначена любой буквой. Таки т. п 42 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Интеграл f x dx a b ( ) ∫ численно равен площади, ограниченной частью графика функции y = f (x), осью OX и ординатами f (a) и f (b), взятой со знакомили, согласно схеме на рис. Если кривая пересекает ось OX один или несколько раз внутри интервала а, b], то интеграл численно равен алгебраической сумме площадей, находящихся по каждую сторону оси Рис. 3.3 3.5. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод определения площадей, объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в XVII веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу (учитель Ньютона) установил связь между задачей об определении площади и задачей о касательной. Ньютон и Лейбниц в х годах XVII века 3. Интегральное исчисление перешли от частных геометрических задач к установлению связи между интегральными дифференциальным исчислением. Эта связь использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования достигли в работах Л. Эйлера, МВ. Остроградского и ПЛ. Чебышева. Итак, интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Поэтому если физическая величина X является производной повремени или координате от другой величины Y X dY dt = , (то, зная величину X, можно найти зависимость величины Y от времени как интеграл. (Так как явления природы протекают в пространстве и во времени, многие физические величины являются интегралами повремени или координате (x, y, z) от других величин. Приведем примеры. Мощность P — это скорость совершения работы А. (Поэтому работа (Скорость G v − это производная радиус-вектора G r повремени. (Поэтому радиус-вектор G G r vdt = ∫ . (Ток I — это скорость изменения заряда q I dq dt = . (Поэтому заряд. (Плотность тела ρ связана с массой m и объемом V как = dm dV . (3.12) 44 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Поэтому масса тела. (Линейная плотность заряда λ определяется как. (3. Поэтому заряд. (3.15) 3.6. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Для определения интеграла от элементарных функций пользуются таблицей интегралов, приведенной ниже. Таблица основных интегралов (постоянные интегрирования в таблице опущены dx x n n n n = + ≠ − ( ) + ∫ 1 1 1 ; (1) dx x tgx cos 2 = ∫ (9) dx x x = ∫ ln (2) dx x ctgx sin 2 = − ∫ (10) e dx e x x = ∫ (3) dx a x a arctg x a 2 2 1 + = ∫ (11) 0 dx a a x x = ∫ ln (4) dx a x a a x a x 2 2 1 2 − = ⋅ + − ∫ ln ; (для ⎪x⎪< a) (12) sin cos xdx x = − ∫ (5) dx x a a x a x a 2 2 1 2 − = ⋅ − + ∫ ln ; (для ⎪x⎪> a) (13) cos sin xdx x = ∫ (6) dx a x x a 2 2 − = ∫ arcsin (14) tgx x ∫ = −ln cos (7) dx a x x x a 2 2 2 2 + = + + ∫ ln (15) ctgx x ∫ = ln sin (8) dx x a x x a 2 2 2 2 − = + − ∫ ln (16) 3. Интегральное исчисление Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение первообразной для данной функции. Поясните геометрический смысл первообразной. Поясните геометрический смысл определенного интеграла. В чем отличия между неопределенными определенным интегралом. Поясните физический смысл определенного интеграла. Пользуясь таблицей интегралов, найдите неопределенные интегралы от следующих функций) y x x = − + 9 2 3 2 , 2) y x x = + − 6 3 4 3 , 3) y x x = + 5 3sin , 4) y x x = − 7 2 3 cos , 5) y x = , 6) y x = −sin , 7) y x = tg , 8) y = 3 ⋅ cos2πx. 7. Приведите примеры физических величин, которые являются интегралами повремени и координате от других физических величин. Примеры решения задач Задача Скорость тела изменяется со временем по закону v (t) = 1 + t , м / c. Найти путь S, пройденный телом за время t = 10 с после начала движения, и среднюю скорость v ср за это время. Дано: v (t) = 1 + t , м / c; t = 10 Найти S (10), v ср Так как путь S — это интеграл от скорости v (t) повремени, то S t tdt t C ( ) ( ) = + = + + ∫ 1 2 3 1 3 В полученную зависимость пройденного телом пути от времени S (t) подставим значения времени t 1 = 0 c и t 2 = 10 с (это будут нижний и верхний пределы интегрирования) и определим путь S (10), пройденный телом за 10 с 46 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ ) ( ) ( ) , 10 2 3 1 2 3 11 11 1 23 7 3 2 0 10 = + = − ≈ м. По определению средней скорости t S t t cp ( ) ( Тогда средняя скорость тела за время t = 10 c v S t cp ( ) ( ) , , 10 10 23 7 10 2 37 = = ≈ м/с. Ответ: путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движениям средняя скорость за этот промежуток времени м/с. Задача Какую работу A надо совершить, чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Найти работу при удалении тела на бесконечность. Дано: m, R, Найти A h , Сила, действующая со стороны Земли на тело массой m, определяется законом всемирного тяготения F G mM r = 2 , где r — расстояние от центра Земли до тела, G — гравитационная постоянная, M — масса Земли. Если радиус Земли R, то работа, совершаемая для поднятия массы m с поверхности Земли (r = R) до высоты h (r = R + h), вычисляется по формуле GmM R R h h R R h = = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∫ 2 На поверхности Земли (где r = R) сила, действующая на тело, F = mg (g — модуль вектора ускорения свободного падения, поэтому и R h mgh h R h = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + 2 1 1 Для ответа на второй вопрос задачи найдем предел полученного выражения при h, стремящейся к бесконечности 4. Дифференциальные уравнения 47 lim lim h h h A mgh h R mgR →∞ →∞ = + = 1 , или A ∞ = Ответ чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли радиуса R на высоту h, необходимо совершить работу A mgh h R h = + 1 ; чтобы удалить тело на бесконечность, необходимо совершить работу A ∞ = mgR. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При решении физических задач часто возникают уравнения, называемые дифференциальными. Такими являются уравнения движения тел, составленные по второму закону Ньютона (если хотя бы одна из сил, действующих на тело, зависит от времени, уравнения незатухающих, затухающих и вынужденных колебаний, уравнения для расчета электрических цепей, составленные по правилам Кирхгофа (если вцепи происходит переходный процесс). Метод решения дифференциального уравнения определяется видом уравнения огромное число таких уравнений имеет только численное решение, в некоторых случаях решение дифференциального уравнения может подсказать сам характер исследуемого физического явления. Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, наиболее часто возникающих при описании физических процессов. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ЕГО ПОРЯДОК. ОБЩЕЕ И ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Дифференциальным называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y = f (x) и ее производные Символически дифференциальное уравнение можно записать в виде (x, y, y ′, y ″,…, y (n) ) = 0. (4.1) 48 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например, второй закон Ньютона в общем случае есть дифференциальное уравнение второго порядка, так как ускорение, входящее в это уравнение, — вторая производная координат по времени. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая при подстановке в уравнение (4.1) превращает его в тождество. Пример. Уравнение ′ + y = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, так как содержит производную первого порядка y ′. Функция = 1 / x (является его решением. Действительно, подставляя y = 1 / x ив уравнение (4.2), получаем (–1 / x 2 ) + 1 / x = 0. Функция y = 1 / x обращает уравнение (4.2) в тождество, те. является его решением. Есть и другие решения y = 2 / x, y = 5 / x, атак- же любая функция вида = C / x, (где C — произвольная постоянная. Действительно, y ′ = –C / x 2 (и подстановка выражений (4.5) ив уравнение (4.2) дает (С / x 2 ) + Ст. е. также превращает его в тождество. Оказывается, решений много, причем общее выражение (4.5) содержит наряду с переменной x параметр Общим решением уравнения (4.1) называется функция = ϕ (x, C), (которая зависит от x и от произвольной постоянной C и обладает следующими свойствами 4. Дифференциальные уравнения 49 1) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.1) при любом конечном значении постоянной С) при любом начальном условии y (x 0 ) = y 0 , можно найти такое значение C = C 0 , что функция y = ϕ (x, C 0 ) удовлетворяет данному начальному условию. Частным решением дифференциального уравнения называется функция = ϕ (x, C 0 ), (которая получается из общего решения y = ϕ (x, C), если произвольной постоянной С придать определенное значение С = С 0 Геометрически общее решение y = f (x, C) уравнения (4.1) представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С. Кривая семейства, проходящая через точку M 0 (x 0 , y 0 ), представляет собой график частного решения y = ϕ (x, C 0 ) при начальном условии. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида ϕ( ) . (Для отыскания общего решения уравнения (4.10) нужно взять интеграл (или = F (x) + C, (где F (x) — первообразная функии ϕ (x). Если задано начальное условие, то для отыскания частного решения нужно определить постоянную интегрирования Сиз равенства y 0 = F (x 0 ) + C. Уравнения вида (4.10) широко представлены в физике и рассмотрены враз- деле 2 (с. 36). Например, для отыскания общего решения уравнения (2.20), имеющего вид 50 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ — сила тока, q — заряд, t — время) достаточно взять интеграл q = I t dt ( В данном уравнении независимой переменной является время Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение, приводящееся с помощью алгебраических преобразований к уравнению вида (x) dx = ϕ(y) dy. (Уравнение (4.13) называется уравнением с разделенными переменными. Для отыскания общего решения уравнения (4.13) нужно взять интегралы от обеих его частей. КАК НАШЛИ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Колебания — процессы и состояния, широко представленные в природе и технике. В курсе механики и электродинамики выбудете изучать незатухающие, затухающие и вынужденные колебания. Уравнение механических колебаний представляет собой запись второго закона Ньютона и является дифференциальным, так как ускорение, входящее в этот физический закон — вторая производная координаты повремени. Это уравнение, вид которого ″ = − ω 0 2 x, (не является дифференциальным уравнением с разделяющимися пе- ременными. Как более двухсот лет назад получили его решение вида (t) = A sin (ω 0 t + ϕ 0 )? (Оказывается, подбором. Заметили, что решением (4.15) уравнения (4.14) должна быть функция, вторая производная которой совпадает с исходной функцией, взятой с обратным знаком. Такому условию удовлетворяют функции синус и косинус, переходящие друг в друга при изменении аргумента 4. Дифференциальные уравнения на π / 2. Действительно, вторая производная функции x (t) = sint, согласно таблице производных со страницы 27, равна ″(t) = (sint) ″ = (cost) ′ = –sint = –x (t), (а вторая производная функции x = cost, согласно той же таблице ″(t) = (cost) ″ = (–sint) ′ = –cost = –x (t). (В решении (4.15) уравнения (4.14) функцию синус решили умножить на некоторую постоянную А (позже ее назвали амплитудой колебаний, поскольку синус меняется в пределах от –1 до +1, а колебания могут иметь любой размах. Также методом проб и ошибок в решение были введены постоянные ω 0 и Приведенные рассуждения показывают, что порой нахождение аналитического решения дифференциального уравнения — это искусство, основанное на общей эрудиции, интуиции и озарении. Ниже рассмотрим общий метод решения уравнений вида а 0 y ″+ а y ′ + а y = 0, к которыми относится уравнение (4.14). |