Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
6.9. Практикум : обсуждение и решение задач Вопрос 1. Каково соотношение между терминами « имитационное » и « статистическое » моделирование ? Эквивалентны ли эти термины ? Обсуждение Чаще всего подразумевается , что термины « имита - ционное » и « статистическое » моделирование эквивалентны , и используют - ся как равнозначные термины Однако , исходя из смыслового содержания этих терминов , всё - таки следует различать , что « имитационное » моделиро - вание означает , что моделирование основано на подражании исследуемому объекту , а « статистическое » моделирование указывает на то , что результа - ты моделирования накапливаются и обрабатываются методами математи - ческой статистики Эти же результаты могли бы быть получены точно так же на реальной системе путём многократных измерений и их статисти - ческой обработки Таким образом , можно считать , что имитационное моделирование всегда является статистическим Однако статистическое моделирование не всегда является имитационным Как показано выше , вычисление определённого интеграла методом Монте - Карло относится к статистическому моделированию , но не является имитационным Вопрос 2. Какими достоинствами обладает имитационное моделирование по сравнению с другими методами моделирования ? Обсуждение Основным достоинством имитационного моделирова - ния является возможность всестороннего детального исследования систе - мы любой сложности и с любой степенью детализации , что невозможно при аналитическом и численном моделировании Имитационное моделиро - вание позволяет построить математическую модель , максимально прибли - женную к оригиналу ( реальной системе ), и , фактически , заменить измере - ния на реальной системе измерениями на модели Степень соответствия имитационной модели оригиналу ограничивается только возможностями ЭВМ ( производительностью , ёмкостью памяти ), на которой проводится моделирование Естественно , чем сложнее модель , тем более мощной должна быть ЭВМ Одна из причин , по которой разрабатываются всё более мощные суперЭВМ , – повышенные требования к производительности при решении задач моделирования реальных систем и процессов Таким образом , можно считать , что имитационное моделирование является универсальным инструментом исследования реальных систем и процессов Вопрос 3. Имеют ли результаты имитационного моделирования методическую погрешность и , если да , то чему она равна и как её оценить ? Обсуждение Имитационному моделированию присущ статисти - ческий разброс результатов , который означает , что получаемые значения характеристик имеют методическую погрешность , обусловленную , прежде всего , такими факторами , как длительность моделирования и качество генераторов случайных величин Наличие методической погрешности про - является в том , что значения одних и тех же характеристик могут разли - Раздел 6. Имитационное моделирование 335 чаться при использовании в одной и той же модели разных генераторов случайных чисел , а также при различной длительности имитационного эксперимента , причём с увеличением длительности моделирования методическая погрешность уменьшается и лежит обычно в пределах 1-3%. Следует отметить , что методическая погрешность различна для разных характеристик, в чём легко убедиться на следующем гипотетическом примере Положим , что в одноканальной СМО с однородным потоком заявок измеряются две характеристики : время ожидания w и время пребывания b w u + = заявок в системе , где b – детерминированная длительность обслуживания заявок в приборе Пусть в результате одного эксперимента было получено следующее значение времени ожидания : 10 1 = w Если длительность обслуживания равна 10 = b , то время пребывания окажется равным 20 10 10 1 = + = u Пусть в результате другого эксперимента было получено значение времени ожидания : 20 2 = w Тогда время пребывания окажется равным 30 10 20 2 = + = u Разница между полученными значениями , представляющая собой погрешность имитационного моделирования , будет составлять : % 100 % 100 1 1 2 = − = w w w w δ , % 50 % 100 1 1 2 = − = u u u u δ Итак , погрешность времени ожидания оказалась существенно больше погрешности времени пребывания заявок в системе , что , если подумать , выглядит вполне логично Уменьшение методической погрешности имитационного моделиро - вания при использовании качественных генераторов случайных величин достигается за счёт увеличения длительности имитационного эксперимен - та При этом некоторые характеристики имеют минимальную погрешность даже при небольшой длительности моделирования ( быстрая сходимость результатов к своему истинному значению ), в то время как другие характе - ристики требуют гораздо большей длительности моделирования ( медлен - ная сходимость ). При моделировании систем и сетей массового обслужи - вания быстрой сходимостью обычно обладает загрузка , а для времени ожидания характерна медленная сходимость Оценить методическую погрешность характеристик моделируемой системы можно « методом срезов », который заключается в следующем Проводится моделирование длительностью Т , и фиксируются полученные на первом срезе значения } ,..., { ) 1 ( ) 1 ( 1 N h h характеристик ( обычно обладающих медленной сходимостью ). Затем моделирование продолжается в течение того же времени Т , и фиксируются новые полученные на втором срезе значения } ,..., { ) 2 ( ) 2 ( 1 N h h тех же характеристик Рассчитывается относитель - ная разность между значениями одноимённых характеристик : 336 Раздел 6. Имитационное моделирование ) ,..., 1 ( % 100 ) 1 ( ) 2 ( N i h h h i i i i = − = δ , где в качестве i h принимается минимальное из двух значений: ) , min( ) 2 ( ) 1 ( i i i h h h = или их среднее значение: 2 / ) ( ) 2 ( ) 1 ( i i i h h h + = . Значение ) ,..., max( 1 N δ δ δ = может рассма- триваться как максимальная погрешность имитационного моделирования. Для получения достоверной оценки погрешности рекомендуется выпол- нить не менее трёх срезов и, если максимальные относительные разности между первым и вторым срезами и между вторым и третьим срезами значительно отличаются, следует продолжить моделирование до тех пор, пока, как минимум, два (а ещё лучше три) соседних среза не дадут приемлемую и примерно одинаковую погрешность. Вопрос__4.__Для_чего_и_каким_образом_формируются_предположения_и_допущения_при_разработке_модели_Обсуждение'>Вопрос 4. Для чего и каким образом формируются предположения и допущения при разработке модели? Обсуждение . Предположения и допущения, формируемые в процес- се разработки модели, преследуют две цели. Во-первых, это позволяет, во многих случаях, упростить модель и уменьшить её размерность за счёт отбрасывания несущественных факторов и параметров, оказывающих не- значительное влияние на процесс функционирования исследуемой систе- мы и, соответственно, на конечные результаты. Во-вторых, при отсутствии каких-либо исходных данных или недостаточно полных сведений о неко- торых из них могут и должны вводиться предположения и допущения, позволяющие решить (пусть и упрощённо) поставленную задачу. Действи- тельно, на практике при разработке моделей и исследовании реальных систем зачастую известны только средние значения нагрузочных парамет- ров, представляющих собой случайные величины, и, возможно, их диспер- сии. Закон распределения этих параметров обычно не известен. В этом случае для первоначальных оценочных расчётов можно ввести некоторые предположения о законах распределений, позволяющие получить конеч- ные результаты аналитическими методами. При необходимости, дополнительные исследования влияния закона распределения на характеристики функционирования системы могут быть выполнены с использованием имитационного моделирования. Например, если в задаче не оговаривается характер потока заявок и длительности обслуживания заявок в системе массового обслуживания, то может быть введено пред- положение о том, что поток заявок – простейший, а длительность их обслуживания распределена по экспоненциальному закону. Если не ука- зано количество приборов в узлах сетевой модели, то может быть введено предположение о том, что оно равно 1. В то же время, при решении задач, как это часто бывает на практике, могут иметься «избыточные» исходные данные, которые, вполне возможно, и не нужны для получения результата, поскольку не влияют на характеристики функционирования системы. Раздел 6. Имитационное моделирование 337 Вопрос 5. Если имитационное моделирование является универсаль- ным инструментом исследования, то не значит ли это, что другие методы моделирования не нужны? Или же имитационное моделирование имеет какие-то недостатки? Обсуждение . Несмотря на универсальность, имитационное модели- рование не может полностью заменить другие методы моделирования – аналитические или численные, что обусловлено присущими ему недостатками. Первый очевидный недостаток связан с высокими требованиями к производительности ЭВМ, на которой проводится моделирование реаль- ных систем, обладающих сложностью и большой размерностью. Естест- венно, что имитационные модели таких систем представляют собой боль- шие программные комплексы, разработка которых под силу только высо- коквалифицированным специалистам, владеющим не только приёмами программирования, но и имеющим опыт разработки имитационных моде- лей, позволяющий разрабатывать модели, учитывающие все существенные особенности структурно-функциональной организации, не перегружая её незначительными подробностями, не влияющими на конечный результат. Всё это делает имитационное моделирование дорогостоящим и требую- щим значительных временных затрат как на разработку модели, так и на её реализацию на ЭВМ с учётом того, что для детального исследования свойств системы и получения достоверных результатов необходимо про- вести большое множество экспериментов, число которых может достигать десятков тысяч. Последнее связано со вторым недостатком, который заключается в том, что всякий раз при каждом эксперименте результат моделирования получается в точке, то есть справедлив только для заданных в данном эксперименте структурно-функциональных и нагрузочных параметров системы. Поэтому для получения зависимости характеристик системы только от одного параметра требуется провести несколько экспериментов, а для получения доверительного интервала этой зависимости количество экспериментов возрастает многократно. К тому же количество таких параметров может быть значительным. Третий существенный недостаток имитационного моделирования состоит в невозможности получить приемлемые результаты для систем и сетей массового обслуживания, работающих в области малых (близких к нулю) и больших (близких к единице) загрузок. Действительно, при загрузке системы менее 0,01 вероятность появления очереди очень мала, и в процессе имитационного моделирования даже после прогона достаточно большого числа заявок через систему может оказаться, что ни одна заявка не ждала в очереди, то есть время ожидания будет строго равно нулю. В то же время, точный аналитический расчёт показывает, что время ожидания, хотя и очень маленькое, но не равно нулю. Для того чтобы имитационная модель выдала результат отличный от нуля, возможно потребуется 338 Раздел 6. Имитационное моделирование провести достаточно длительное моделирование, при котором хотя бы одна заявка окажется в состоянии ожидания. Покажем это на примере простейшей СМО типа M/M/1. Положим, что интенсивность поступления заявок в СМО 1 с 0001 , 0 − = λ , а длитель- ность обслуживания с 100 = b . Тогда загрузка системы 001 , 0 = ρ . В п.5.4.5 показано, что вероятность нахождения в системе k заявок определяется по формуле: ) , 2 , 1 , 0 ( ) 1 ( K = − = k p k k ρ ρ . Тогда вероятность образования очереди (того, что в системе будет две и более заявок) 0001 , 0 0099 , 0 99 , 0 1 1 1 0 2 = − − = − − = > p p p k . Таким образом, для того что- бы в очереди оказалась хотя бы одна заявка, необходимо при имитаци- онном моделировании пропустить через систему более 10 тысяч заявок. Ещё больше проблем возникает при имитационном моделировании систем, загрузка которых близка к единице. В этом случае практически невозможно получить результат (например, время ожидания заявок в системе), близкий к реальному. Это связано с характером зависимости характеристик СМО от загрузки системы, которая при загрузке, близкой к 1, резко возрастает и стремится к бесконечности (см. рис.4.2). Действительно, если загрузка той же СМО M/M/1 будет равна 99 , 0 = ρ (например за счёт интенсивности 1 с 0099 , 0 − = λ ), среднее время ожидания в соответствии с (4.1) будет равно с 9900 01 , 0 100 99 , 0 1 = ∗ = − = ρ ρ b w . Однако , как сказано выше , имитационному моделированию присущ статистический разброс результатов , в результате которого может оказаться , что в момент завершения процесса моделирования значение загрузки системы будет равно 98 , 0 = ρ Тогда среднее время ожидания с 4900 02 , 0 100 98 , 0 1 ' = ∗ = − = ρ ρ b w , то есть значение времени ожидания будет отличаться более чем в два раза от действительного значения Ещё один существенный недостаток , присущий имитационному моделированию , состоит в том , что для сложных систем с большим количеством структурно - функциональных параметров практически невоз - можно решать задачи оптимального синтеза Имитационное моделирова - ние позволяет выбрать наилучший вариант структурно - функциональной организации проектируемой системы из нескольких вариантов , но не предоставляет возможностей для решения оптимизационных задач Для решения этих задач обычно используется аналитическое моделирование Задача 1. Для заданной GPSS- модели : а ) нарисовать и подробно описать модель исследуемой системы с указанием всех параметров и законов распределений ; б ) пояснить , когда ( по какому условию ) завершится моделирование ; в ) определить , существует ли стационарный режим в системе ( с Раздел 6. Имитационное моделирование 339 необходимыми обоснованиями , расчетами и пояснениями ). GPSS- модель : ( начало модели ) ( продолжение модели ) Решение . а ) Наличие двух операторов GENERATE свидетельствует о том , что в моделируемой системе формируется два потока ( класса ) заявок Заявки первого класса образуют простейший поток со средним интервалом между заявками 15 единиц времени , а заявки второго класса – детерминирован - ный поток с интервалом 20,5 единиц времени Формируемые заявки поступают в разные накопители неограниченной ёмкости с именами Sif_1 и Sif_2 соответственно и далее в один и тот же прибор с именем M_ts, где задерживаются на случайное время : заявки класса 1 – на время , равно - мерно распределённое в интервале (5±4), а заявки класса 2 – на время , распределённое по экспоненциальному закону со средним значением 5 единиц времени После обслуживания в приборе заявки класса 1 с вероят - ностью 0,25 направляются к блоку TERMINATE с меткой Noh_2 ( удаля - ются из модели ) и с вероятностью 0,75 – к блоку QUEUE с меткой Noh_1 ( в накопитель с именем Sif_2) и далее снова попадают в прибор M_ts, где задерживаются на экспоненциально распределённое время со средним значением 5 единиц , то есть обслуживаются уже как заявки класса 2. Таким образом , моделируемая система , показанная на рисунке , пред - ставляет собой одноканальную СМО с двумя классами заявок , причём после обслуживания в приборе 75% заявок первого класса переходит во второй класс б ) Завершение моделирования реализуется оператором TERMINATE и командой START. В момент запуска процесса моделирования в счётчик GENERATE (Exponential(2,0,15)) GENERATE 20.5 QUEUE Sif_1 Noh_1 QUEUE Sif_2 SEIZE М_ts SEIZE М_ts DEPART Sif_1 DEPART Sif_2 ADVANCE 5,4 ADVANCE (Exponential(1,0,5)) RELEASE М_ts RELEASE М_ts TRANSFER 0.25,Noh_1,Noh_2 Noh_2 TERMINATE 2 START 100000 M_ts 1 ; 15 1 1 = = a a ν Sif_2 ЕН = ∞ 0 ; 5 20 2 2 = = a a ν 4 5 1 ± = b 1 ; 5 2 2 = = b b ν 25 0 = q 75 , 0 = q 340 Раздел 6. Имитационное моделирование завершений заносится значение 100000, указанное в команде START. Всякий раз , когда транзакт ( заявка ) покидает модель , из счётчика завершений вычитается значение 2, указанное в качестве параметра А оператора TERMINATE. Таким образом , моделирование завершится после обслуживания 50 тысяч заявок в ) Для того чтобы определить , существует ли стационарный режим в системе , рассчитаем загрузку системы как сумму загрузок , создаваемых заявками классов 1 и 2: 1 1 ρ ρ + = R Загрузка системы заявками класса 2 рассчитывается как 25 , 0 2 2 2 ≈ = b λ ρ , где 05 , 0 5 , 20 1 1 2 2 ≈ = = a λ Для заявок класса 1 при расчёте загрузки следует учесть , что после первого обслуживания 75% заявок класса 1 остаётся в системе , которые обслуживаются как заявки класса 2 со средним значением 5 2 = b единиц времени Тогда загрузка системы заявками класса 1 может быть рассчитана как сумма загрузок , создаваемых при первом и втором обслуживании в приборе : 58 , 0 15 / 5 75 , 0 15 / 5 75 , 0 2 1 1 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 1 ≈ ∗ + = + = + = b b λ λ ρ ρ ρ Таким образом , загрузка системы 1 05 , 0 58 , 0 < + ≈ R , следовательно , система работает без перегрузок , то есть стационарный режим существует |