УПП_Дискретная математика-1. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

• Название: Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
• Дата: 09.02.2023
• Размер: 6.65 Mb.
• Имя файла: УПП_Дискретная математика-1.doc
• Тип: Учебно-практическое пособие; #929287
• страница: 15 из 19

Сетевое планирование. Скорейшее время
завершения проекта
Рассмотрим некоторый проект – совокупность операций (работ), составляющий некоторый многошаговый процесс. Примером может служить строительство некоторого объекта. Считаем известными все работы, которые предстоит совершить, их последовательность и время, необходимое для выполнения каждой работы. Проект может быть изображен в виде графа-сети. Зададимся целью определить кратчайший срок завершения проекта.

Пусть данные о строительстве приведены в следующей таблице

Виды работ	Какие работы следуют за перечисленными	Продолжительность работ
1	2,3	2
2	8	3
3	6,7	4
4	6,7	5
5	9	4
6	8	6
7	–	4
8	–	2
9	–	7

Эту информацию о проекте представим в виде графа-сети. Дугами графа будем изображать работы, а вершинами графа – некоторые события. Назовем элементарными событиями начало и конец каждой работы, а некоторую совокупность элементарных событий – событием.
Вход графа – событие, заключающееся в начале всего проекта. Оно является событием, стоящим в начале одной или нескольких работ, а именно тех, которые не следуют ни за какими другими, т.е. работ, с которых может быть начато строительство. В нашем примере такими работами являются №1,4,5 (их нет во 2-ом столбце).
Выходом графа будет являться событие, заключающееся в окончании работ, за которыми не следуют никакие другие работы, т.е. в окончании всего проекта. В данном примере – это работы №7,8,9.
Все другие вершины графа есть события, заключающиеся в окончании одних и начале других работ.

Сетевой граф, соответствующий приведенным в таблице данным, изображен на рис. 3.3.2. Номер работы обозначен числом вне кружка. Число, обведенное кружком, есть продолжительность данной работы. Вход графа, вершина x₀ – начало проекта. Выход графа, вершина x₅ – окончание проекта.



Рис. 3.3.2

Вершины x₁,x₂,x₃,x₄ есть события, заключающиеся в начале одних и окончании других работ. Так, например, вершина x₃ есть окончание 3-й и 4-й работ и начало 6-й и 7-й.

Путь максимальной длины из вершины x₀ в x_i есть скорейшее время наступления события x_i. В самом деле, событие x₃, например, соответствующее началу 6-й и 7-й работ, может произойти только после окончания 3-й и 4-й работ, а следовательно, и после окончания 1-й, т.к. для выполнения 3-й работы необходимо окончание 1-й работы. Следовательно, скорейшее время наступления события x₃ есть
max{5,(2+4)}=6.
Скорейшее время наступления события 5 есть скорейшее время окончания проекта в целом и равно длине пути максимальной длины из вершины x₀ в x₅.

Итак, если x₀ и x_n есть вход и выход графа-сети, соответствующего данному проекту, то для определения наиболее раннего срока окончания всех работ нужно найти путь максимальной длины из x₀ в x_n, т.е. критический путь, и определить его длину. Время, соответствующее скорейшему окончанию работ, т.е. скорейшему завершению проекта, называется критическим временем данного проекта. Оно численно совпадает с длиной критического пути из x₀ в x_n.

В приведенном примере критический путь, проходящий через вершины x₀,x₁,x₃,x₄,x₅, имеет длину, равную 14 l()=14, т.е. критическое время данного проекта равно 14.

Работы, составляющие критический путь, называются критическими работами (операциями). От своевременного выполнения критических операций зависит срок завершения проекта. Они не допускают запаздывания в исполнении в отличие от некритических операций.

С другими параметрами сетевого графа, правилами составления графа-сети, а также вопросами сетевого планирования в целом читатель может ознакомиться по списку литературы.


Вопросы для самопроверки

1. 
   Как определить граф?
   
2. 
   Какова геометрическая реализация ориентированного, неориентированного, смешанного графа?
   
3. 
   Каковы свойства матрицы смежности графа? Можно ли с помощью матрицы смежности задать граф?
   
4. 
   Как построить матрицу инцидентности графа?
   
5. 
   Как построить матрицу достижимости?
   
6. 
   Что такое граф-сеть?
   
7. 
   Какова формула связи между количеством рёбер графа и степенями вершин графа?
   
8. 
   Какой граф называется связным? Не связным? Какое ребро называется перешейком?
   
9. 
   Как определяется граф-дерево?
   
10. 
    Когда граф содержит Эйлеров цикл? Эйлерову цепь?
    
11. 
    Каков алгоритм построения Эйлерова цикла и Эйлеровой цепи на графе?
    
12. 
    Существует ли алгоритм построения Гамильтонова цикла на графе?
    
13. 
    Как найти объединение двух графов?
    
14. 
    Как найти пересечение двух графов?
    
15. 
    Как найти граф, являющийся прямым произведением графов?
    
16. 
    Как провести операции объединения, пересечения графов, заданных матрицами смежности?
    
17. 
    Как определить число внутренней устойчивости графа?
    
18. 
    Как определить число внешней устойчивости графа?
    
19. 
    Как определить цикломатическое число?
    
20. 
    Как определить хроматическое число графа?
    
21. 
    Какова формула связи между количеством вершин графа и числами внутренней устойчивости и хроматическим числом графа?
    
22. 
    Какие графы называются изоморфными?
    
23. 
    Какой граф называется плоским?
    
24. 
    Какие графы называются гомеоморфными?
    
25. 
    Каково достаточное условие планарности графа?
    
26. 
    Как формулируется и решается задача о четырёх красках?
    
27. 
    Чему равно цикломатическое число графа дерева?
    
28. 
    Если «n» – количество вершин графа-дерева, то чему равно количество его рёбер?
    
29. 
    Любые ли вершины графа-дерева можно соединить цепью?
    
30. 
    Что станет с графом-деревом, если удалить любое ребро?
    
31. 
    Что станет с графом-деревом, если любые его вершины соединить ещё одним ребром?
    
32. 
    Сколько компонент связности имеет граф-дерево?
    
33. 
    Как определяется «частичное дерево»?
    
34. 
    В чём состоит алгоритм Краскала?
    
35. 
    В чём отличие всех последующих шагов алгоритма Краскала от первого шага?
    
36. 
    Что является завершающим шагом алгоритма Краскала и почему?
    
37. 
    Какой смысл имеют метки вершин x_i в алгоритме Форда?
    
38. 
    Метка какой вершины не меняется во всех итерациях?
    
39. 
    При определении кратчайшего пути между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа. Как влияет использование формулы на решение задачи.
    
40. 
    Когда кратчайший путь между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа определяется за один шаг, не считая нулевой итерации?
    
41. 
    В каких экономических задачах применяется алгоритм Форда для отыскания кратчайшего пути между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа?
    
42. 
    Какие метки получают вершины графа в нулевой итерации и какой смысл они имеют при определении длиннейшего пути между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа?
    
43. 
    При определении длиннейшего пути между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа. Как влияет на решение задачи использование формулы.
    
44. 
    Когда длиннейший путь между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа определяется за один шаг, не считая нулевой итерации?
    
45. 
    Каков алгоритм метода правильной нумерации вершин сетевого графа путём вычёркивания дуг, какие номера получат вершины одного ранга?
    
46. 
    Какие номера получат вход и выход графа при правильной нумерации вершин сетевого графа?
    
47. 
    В чём состоит основная идея сетевого планирования? Опишите краткое содержание задачи?
    
48. 
    Какую смысловую нагрузку имеют вершины и дуги графа в сетевом планировании?
    
49. 
    Как построить граф-сеть по заданной таблице последовательности работ, составляющих данный проект?
    
50. 
    С каких работ заданного проекта нужно начинать строительство графа-сети?
    
51. 
    Почему длина пути максимальной длины из x₀ в вершину x_j есть кратчайшее время наступления события x_j?
    
52. 
    Как определяется критический путь и критическое время сетевого графа?
    

К онтрольные задания
Контрольное задание №1
Упростить выражение.

1. 
   
   

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Контрольное задание №2
С помощью диаграмм Эйлера-Венна решите следующие задачи:

1. 
   Лекции по экономике посещают 20 студентов, по математике – 30. Найти число студентов, посещающих лекции по экономике или математике, если:
   

А) лекции проходят в одно и то же время.

В) лекции проходят в разные часы и 10 студентов слушают оба курса.

2. 
   В ящике лежат 120 деталей, из них на автомате №1 обработаны 82 штуки, на автомате №2 – 23, а на автомате №3 – 42 штуки. 18 деталей было обработаны на автоматах №1 и №2, 17 деталей на автоматах №1 и №3 и 15 – на автоматах №2 и №3. 10 деталей прошли обработку на всех трех автоматах. Сколько деталей не обработано ни на одном из автоматов?
   

3. 
   Управление имеет 150 предприятий, из них 80 выпускают продукцию А, 60 продукцию В и 50 продукцию С. Продукцию А и В выпускают 20 предприятий, продукцию В и С – 30 предприятий, продукцию А и С – 10. Сколько предприятий управления не выпускают ни одного из указанных видов продукции, если все виды продукции А, В и С выпускают 5 предприятий.
   

4. 
   Среди 100 студентов института иностранными языками занимались: немецким – 30 человек, французским – 42 человека, испанским – 28, испанским и немецким – 8 человек, немецким и французским – 5 человек, испанским и французским – 10; три студента изучали все три языка. Сколько студентов изучали французский язык? Сколько студентов не изучали ни одного из иностранных языков?
   

5. 
   В отчете об обследовании 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих немецкий, французский и английский языки таково: все три языка изучают 5 человек, немецкий и английский – 10, французский и английский – 8, немецкий и французский – 20, английский язык – 30 человек, немецкий – 23, французский – 50. Инспектор, представивший этот отчет, был уволен. Почему?
   

6. 
   Исследование заболеваний раком показало, что доля курильщиков среди тех, кто болен раком легких, больше доли курильщиков, не больных этим заболеванием. Доказать, что процент курильщиков, болеющих раком легких, больше, чем процент некурящих, больных раком легких.
   
7. 
   При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% студентов читают журнал А, 50% – журнал В, 50% журнал С, 30% – журналы А и В, 20% – журналы В и С, 40% – журналы А и С, 10% – журналы А, В и С. Сколько процентов студентов:
   

1) не читают ни одного из журналов;

2) читают два журнала;

3)читают не менее двух журналов.

8. 
   На одной из кафедр университета работают тридцать человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семь – немецкий, шесть – французский. Пять человек знают английский и немецкий, четыре – английский и французский, три – немецкий и французский. Сколько человек:
   

1) знают все три языка;

2) знают два языка;

3) знают только английский язык.

9. 
   На курсах иностранных языков (английский, французский, немецкий языки) учатся 300 человек. Сколько человек изучают каждый из указанных языков и сколько человек изучают 2 языка одновременно, если известно, что:
   

1. 
   слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкого;
   
2. 
   число слушателей, изучающие английский или французский язык, равно 230 и равно числу слушателей, изучающих французский или немецкий язык;
   
3. 
   число слушателей, изучающих английский или немецкий языки, равно 250, а число слушателей, изучающих английский и французский языки равно 60?
   

10. 
    Группа студентов в 36 человек сдавала экзаменационную сессию. Отличников в группе 5 человек. Число студентов, сдавших сессию только на «отлично» и «хорошо», равно числу студентов, сдавших сессию только на удовлетворительные оценки. 3 студента получили только хорошие оценки; 2 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 11 человек получили только хорошие и удовлетворительные оценки. Удовлетворительные или хорошие оценки получили всего 28 человек. Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки, нет. Сколько студентов сдало сессию только на удовлетворительно? Сколько студентов получили отличные оценки? Сколько студентов не явились на экзамены?
    

Контрольное задание №3
Дать геометрическую интерпретацию следующих бинарных отношений. Ответить на следующие вопросы:

1. 
   Какова область определения и область значений бинарного отношения?
   
2. 
   Является ли оно функциональным, и, если «да», то каков его тип?
   
3. 
   Обладает ли оно свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности?
   
4. 
   Является ли оно одним из специальных бинарных отношений, и если «да», то каким?
   

1. 
   R=x,yD, x +y≤0
   
2. 
   R=x,yD, x +2y≤0
   
3. 
   R=x,y-/2,/2, y≥Sinx
   
4. 
   R=x,yZ, x≤y≤x²
   
5. 
   R=x,yD, x + y ≤1
   
6. 
   R=x,yD, x²+y²≤a²
   
7. 
   R=x,yD, x-y≤1
   
8. 
   R=x,yD, 2x≥3y
   
9. 
   R=x,yN, x² ≥y
   
10. 
    R=x,y0,, y≤Cosx
    

Контрольное задание №4
Для следующих высказываний выполнить:

1. 
   Построить истинностные таблицы.
   
2. 
   Преобразовать их к формулам, содержащим только операции: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции (максимально простым).
   
3. 
   Убедиться в равносильности исходной и полученной формул, построив таблицу истинности последней.
   

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    

Контрольное задание №5
Перечислить существенные переменные функций заданных таблицей значений или реализуемых заданными формулами.

Функции, несущественно зависящие от некоторых переменных, свести к функциям от меньшего числа переменных.
16. Заданы следующие функции от трёх переменных x₁,x₂,x₃.Какие из переменных являются существенными для каждой из функций?

x1	x2	x3	f1	f2	f3	f4	f5	f6
1	1	1	1	1	1	1	0	0
1	1	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	1	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1	1
0	0	0	1	0	0	1	1	1

7.

8.

9.

10.
Контрольное задание №6
1. Между какими парами высказываний, приведенных ниже, существует отношение следствия?

S₁: Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она – касательная к окружности.

S₂: Прямая есть касательная к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

S₃: Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности, но не проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она не является касательной к окружности.
2. Заданы следующие высказывания:

S₁: Если две прямые совпадают или не имеют общих точек, то они параллельны.

S₂: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они совпадают или не имеют общих точек.

S₃: Если две прямые не совпадают и не имеют общих точек, то они параллельны.

Между какими парами высказываний существует отношение следствия? Приведенные высказывания расположить таким образом, чтобы из каждого высказывания следовали все, стоящие после него.
3. Заданы следующие высказывания: если матч состоится, то Пётр и Сергей придут на него; Сергей или Пётр придут на матч в том и только в том случае, если он состоится; если матч не состоится, то ни Пётр ни Сергей не придут на него. Между какими парами высказываний существует отношение следствия?
4. Расположите следующие 5 высказываний в таком порядке, чтобы из каждого высказывания следовали все, стоящие после него:
;

;

;

;

.
5. Имеем высказывание: «Для того чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля». Какие из приведенных ниже высказываний следуют из данного?

1. 
   Для того чтобы матрица имела обратную, достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
   
2. 
   Для того чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, достаточно, чтобы эта матрица имела обратную.
   
3. 
   Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю, необходимо, чтобы эта матрица не имела обратной.
   
4. 
   Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.
   
5. 
   Определитель матрицы равен нулю только тогда, когда эта матрица не имеет обратной.
   

Есть ли среди приведенных высказываний эквивалентные?
6. Какие из приведенных ниже высказываний являются эквивалентными?

1. 
   Сидоров сдаст экзамен, если будет посещать лекции и заниматься самостоятельно.
   
2. 
   Если Сидоров будет заниматься самостоятельно, но не посещать лекции, вряд ли он сдаст экзамен.
   
3. 
   Сидоров сдаст экзамен только тогда, когда будет посещать лекции и заниматься самостоятельно.
   
4. 
   Сидоров не сдаст экзамен, если не будет заниматься самостоятельно, даже если он будет посещать лекции.
   
5. 
   Если Сидоров не сдаст экзамен, значит он не занимался самостоятельно или не посещал лекции.
   
6. 
   Если Сидоров сдал экзамен, то он посещал лекции и занимался самостоятельно.
   

7. Какие из приведенных ниже высказываний эквивалентны?

1. 
   Я решу эту задачу, только если пойму ее условие и хорошо буду знать теоретический материал.
   
2. 
   Если я не смог решить задачу, значит я не знал теоретический материал или не понял условие задачи.
   
3. 
   Если я хорошо знаю теоретический материал, но не понял условие задачи, решить задачу я не смогу.
   
4. 
   Если не знаю теоретический материал или не понял условие задачи, то не смогу решить ее.
   

8. Как определить отношение следствия или эквивалентности между высказываниями с помощью диаграмм Эйлера-Венна?
9. С помощью диаграмм Эйлера-Венна определить, для каких пар высказываний, приведенных далее, имеет место отношение следствия или эквивалентности.

S₁: Иван и Петр правильно ответили на вопросы.

S₂: Если Иван правильно ответил на вопросы, то Петр – неверно.

S₃: Или Петр, или Иван неверно ответил на вопросы.

S₄: Или Иван неверно ответил на вопросы, или Петр правильно.

S₅: Иван верно ответил на вопросы, но Петр ошибся.
10. Пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, определить, какие из приведенных пар высказываний являются такими, что одно из них следует из другого.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Контрольное задание №7
Проверить правильность каждого из следующих рассуждений тремя способами: построением соответствующей таблицы, преобразованием формулы и методом «от противного».

1. 
   Проверить правильность рассуждения: если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то он является параллелограммом. Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали делятся в точке пересечения пополам. Противоположные стороны четырехугольника попарно равны. Следовательно, его диагонали делятся в точке пересечения пополам.
   

2. 
   Проверить правильность рассуждения: если все стороны четырехугольника равны между собой, то он является ромбом. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны. Все стороны четырехугольника равны между собой. Следовательно, его диагонали перпендикулярны.
   

3. 
   Правильно ли рассуждение: если студент не понял материала лекции, но проработал ее самостоятельно, то он сделает домашнее задание. Студент не понял материала лекции, но сделал домашнее задание. Следовательно, он самостоятельно проработал материал лекции.
   

4. 
   Проверить правильность следующего рассуждения: если Иванов хороший студент, он сделает типовой расчет самостоятельно. Если же Иванов плохой студент, он не будет сам решать все задачи типового расчета. Иванов сделал типовой расчет несамостоятельно. Следовательно, он плохой студент.
   

5. 
   Правильно ли следующее рассуждение: строители сдадут стадион в срок, если им помогут студенты и хватит строительного материала. Студенты помогли строителям, но материала не хватило. Следовательно, стадион не был сдан вовремя.
   

6. 
   Правильно ли рассуждение: если 2 – простое число, то это наименьшее простое число. Если 2 – наименьшее простое число, то 1 – не есть простое число. Число 1 – не простое, следовательно, 2 – простое число.
   

7. 
   Если дискриминант квадратного уравнения не отрицателен, то уравнение имеет действительные корни. Следует ли из этого, что дискриминант не отрицателен.
   

8. 
   Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится. Однако данная последовательность не сходится. Следовательно, она не ограничена.
   

9. 
   Если функция сложная, то используют универсальную подстановку. Данная функция проста. Следовательно, универсальная постановка не будет использована.
   

10. 
    Дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель отличен от нуля. Знаменатель данной дроби равен нулю. Следовательно, дробь смысла не имеет.