статис.. Статистические методы прогнозирования в экономике_Дуброва, Архип. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
3.1. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании На практике для описания тенденции развития явления широко используются мо- дели кривых роста, представляющие собой различные функции времени y = f(t). При та- ком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени; считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру из- менения тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровнен- ные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые на- блюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой. Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т. е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При этом предполагается, что во временном ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности, сложившаяся тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода упреждения. Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы: 1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда; 2) оценка параметров выбранных кривых; 3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу, оценка точности моделей и окончательный выбор кривой роста; 4) расчет точечного и интервального прогнозов. В настоящее время в литературе описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов. Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают. К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показа- телей промышленного производства. Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при ис- следовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление оп- ределенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т.п. Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III типу кривых роста — к S-образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой — с замедлением. ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 27 S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в стра- ховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции. Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда. Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако, все они предпо- лагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому оста- новимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике. Среди кривых роста I типа, прежде всего следует выделить класс полиномов: p p t t a ... t a t a a y + + + + = 2 2 1 0 ) , (3.1) где i a (i = 0, 1, ... ,p) — параметры многочлена, t — независимая переменная (время), t = 1, 2, …, n. Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпре- тацию в зависимости от содержания динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста ( a 1 ), ускорение роста ( a 2 ), изменение ускорения ( a 3 ), начальный уро- вень ряда при t = 0 (a 0 ). Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесооб- разно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отра- жать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции). Полином первой степени t a a y t 1 0 + = ) на графике изображается прямой и использу- ется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно. Полином второй степени 2 2 1 0 t a t a a y t + + = ) применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней). Как известно, если параметр a 2 > 0 , то ветви параболы направлены вверх, если же a 2 < 0, то вниз. Параметры a 0 и a 1 не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее поло- жение. Полином третьей степени имеет вид 3 3 2 2 1 0 t a t a t a a y t + + + = ) У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (рис. 3.1). Отличительная черта полиномов — отсутствие в явном виде зависимости прирос- тов от значений ординат ( y t ). Оценки параметров в модели (3.1) определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов от- клонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Та- ким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения: ( ) ∑ = → − n t t t y y 1 2 min ) , (3.2) где y t — фактическое значение уровня временного ряда; t y) — расчетное значение; n — длина временного ряда. ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 28 Не будем останавливаться на математическом аппарате метода наименьших квад- ратов, подробно описанного в литературе по математической статистике. Приведем систему нормальных уравнений, полученную в результате минимизации выражения (3.2): + + + + = + + + + = + + + + = + + + + ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + − + − − + p p p p p p t p p p p p p t p p t p p t t a ... t a t a t a t y t a ... t a t a t a t y .. . ... ... t a ... t a t a t a t y t a ... t a t a n a y 2 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 3 2 2 1 0 2 2 1 0 (3.3) Система (3.3) состоит из ( p + 1) линейных уравнений, содержащих в качестве неиз- вестных величин ( p + 1) коэффициентов a 0 , a 1 , ..., a р . Решение этой системы позволяет вы- числить оценки искомых коэффициентов. Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще. Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой (полинома первой степени t a a y t 1 0 + = ) ) имеют вид: + = + ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 1 0 1 0 t a t a t y t a n a y t t (3.4) Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения: ( ) . n t a n y a n t t t n y t y a t t t ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − ⋅ − ⋅ = 1 0 2 2 1 ; (3.5) Для параболы 2-го порядка получим аналогичную систему нормальных уравнений: + + = ⋅ + + = ⋅ + + ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 4 2 3 1 2 0 2 3 2 2 1 0 2 2 1 0 t a t a t a t y t a t a t a t y t a t a n a y t t t (3.6) Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвест- ных коэффициентов a 0 , a 1 , a 2 Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины Σt, Σt 2 , … не зависят от конкретных уровней динамического ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены сле- дующие формулы: − + + + = + = + + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ . ) n n )( n )( n(n t ; ) (n n t ; ) n )( n(n t ; ) n(n t 30 1 3 3 1 2 1 4 1 6 1 2 1 2 1 2 4 2 2 3 2 (3.7) (Суммирование в (3.3) — (3.7) по t = 1 ÷ n). ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 29 Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса на- чала координат t было равно 1, 2, 3,..., то после переноса: • для четного числа членов ряда t = ..., –5; –3; –1; 1; 3; 5;...; • для нечетного числа членов ряда t = ..., –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3;... . Таким образом, ∑ k t , где k — нечетное число, равна 0. Такой подход существенно упрощает систему (3.3). После переноса начала координат в середину ряда динамики оценки параметров соответствующих полиномов определяются с помощью следующих выражений: для прямой ∑ ∑ ∑ = = 2 1 0 t t y a ; n y a t t ; (3.8) для параболы ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 4 2 2 2 0 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − = = − − − = t t n y t t y n a ; t t y a ; t t n y t t y n n t n y a t t t t t t (3.9) В формулах (3.8) — (3.9) суммирование проводится по t, полученному после пере- носа начала координат в середину ряда динамики. Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной явля- ется зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции. Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид: t t ab y = (3.10) Если b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b < 1. Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b — постоянный темп роста. Действительно, темп роста равен % y y T t t t 100 1 ⋅ = − В данном случае const 100 100 1 = ⋅ = ⋅ ⋅ = − % b % ab b a T t t t ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 30 Соответственно и темпы прироста постоянны: K t = T t – 100% = const Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t; для этого прологарифмируем выражение (3.10): b t a y t ln ln ln + = Пусть ln a = A; ln b = B. Тогда tB A y t + = ln Теперь, если тенденция ряда описывается с помощью модели t t ab y = , то для оце- нивания неизвестных параметров можем использовать систему нормальных уравнений для прямой (3.4). Иначе говоря, нормальные уравнения строятся исходя из минимизации: ( ) ∑ → − min € ln ln 2 t t y y Соответственно в нормальных уравнениях вместо фактических уровней выступают их логарифмы: ( ) + = + ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 log log t B t A t y t B A n y t t (3.11) Найдем неизвестные параметры A и B. Зная значения A = ln a и B = ln b, определим значения aи b, и с помощью потенцирования получим показательную функцию, служа- щую для выравнивания ряда. Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универ- сальностью. Однако следует иметь в виду, что полученные оценки параметров оказыва- ются смещенными, т.к. при расчете участвуют не исходные уровни, а их логарифмы. Смещение будет тем значительнее, чем больше разность между последовательными уров- нями динамического ряда. Не приводит к смещению в подобных случаях нелинейный ме- тод наименьших квадратов. Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола 2 t t t c ab y = (3.12) Прологарифмировав выражение (3.12), получим параболу ln y t = ln a + t ln b + t 2 ln c Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осу- ществить с помощью метода наименьших квадратов, используя систему нормальных уравнений для параболы (3.6). При этом остаются в силе сделанные выше замечания о смещении полученных оценок. Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрас- тающих или убывающих процессов без «насыщения». Когда процесс характеризуется «насыщением», его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента: t t ab k y + = , (3.13) где y = k является горизонтальной асимптотой. ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 31 Если параметр a отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если a поло- жителен, то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a < 0, b < 1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу. При решении экономических задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью ме- тода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду: t t ab k y = ′ − , (3.14) где k′ — заданное значение асимптоты. Прологарифмировав (3.14), можно для оценивания параметров lna и lnb использо- вать систему нормальных уравнений (3.11). Кроме того, для оценивания параметров модифицированной экспоненты возможно применение как нелинейного метода наименьших квадратов, так и ряда других методов. Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на раз- витие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня. Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые. Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая (кривая Перла-Рида). Уравнение кривой Гомперца имеет вид: = t y t b ka Кривая несимметрична. Если log a <0, кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k, прохо- дит выше кривой. Если log a >0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b < 1 — монотонно убывает; при b > 1 — монотонно возрастает. Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант этой кривой, когда log a < 0 и b < 1 (рис. 3.1). Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте y t обратной величиной t y 1 : t t ab k y + = ) 1 Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой: t a t be k y ⋅ − + = 1 ) При t → –∞ ордината стремится к нулю, а при t → ∞ — к асимптоте, равной зна- чению параметра k. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координата- ми: t = ln b : a; y t = k : 2. ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 32 Как видно из графика, логистическая функция возрастает сначала ускоренным тем- пом, затем темп роста замедляется и наконец рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс. a 0 0 1 a >0 t y t 1) полином первого порядка t a a y t 1 0 + = ) ; 0 t y t a 2 >0 2) полином второго по- рядка 2 2 1 0 t a t a a y t + + = ) ; 3) полином третьего порядка 3 3 2 2 1 0 t a t a t a a y t + + + = ) ; 0 t y t b>1 a 4) показательная кривая t t ab y = ) ; a 0 t y t b<1 t y t 0 k a<0 b<1 5) модифицированная экспо- нента t t ab k y + = ; k t y t log a<0 b<1 6) кривая Гомперца = t y t b ka ; 0 t y t log a>0 b>1 0 t y t k 7) логистическая кривая t t ab k y + = ) 1 Рис. 3.1. Кривые роста С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию тех- нических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емко- сти рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период на- сыщения рынка, рост производства все более замедляется и наконец почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне. Однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов. Выявленная тенденция развития произ- водства может быть нарушена, например, вследствие технического переворота в данной отрасли или связанной с нею. 0 t yt ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 33 Таким образом, в данной главе рассмотрены наиболее часто используемые в эко- номических исследованиях виды кривых роста. Выявленные особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой. 3.2. Методы выбора кривых роста Существует несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора фор- мы кривой роста. Наиболее простой путь — визуальный анализ, опирающийся на изучение графиче- ского изображения временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой со- ответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандарт- ные преобразования ряда (например, сглаживание), а потом подобрать функцию, отве- чающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обра- ботки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возмож- ности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позво- ляет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа. В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помо- гающий при выборе кривых полиномиального типа. Этот метод применим при выполне- нии следующих предположений: уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей и случайной компоненты, подчиненной нормаль- ному закону распределения с математическим ожиданием, равным 0, и постоянной дис- персией. Метод предполагает вычисление первых, вторых и т. д. разностей уровней ряда. Поясним, что для временного ряда n y y y , , , 2 1 K последовательные разности первого порядка определяются следующим образом: 1 − − = ∆ t t t y y y , t = 2, …, n. Последовательные разности второго порядка — это разности от последовательных разностей первого порядка: 1 2 − ∆ − ∆ = ∆ t t t y y y , t = 3, …, n. Аналогично последовательные разности порядка 3 ≥ k можно представить в виде: 1 1 1 − − − ∆ − ∆ = ∆ t k t k t k y y y , t = k + 1, …, n. Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома. Существенную помощь при выборе кривых роста из более широкого класса функ- ций может оказать метод характеристик прироста. Процедура выбора кривых с использованием этого метода включает следующие шаги: 1) выравнивание ряда с помощью скользящей средней; 2) определение средних приростов; 3) вычисление производных характеристик прироста. Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов. Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последова- тельных разностей. Однако чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значе- ний критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровней от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кри- ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 34 вых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение крите- рия, т.к. чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений. Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен (полином) степени (m – 1), проходящий через все m точек. Во-вторых, существует множество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования. Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозиро- вании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде уп- реждения, например, за счет большего числа параметров. Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом — происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором — осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. Необходимость содержательного анализа изу- чаемого процесса развития может быть проиллюстрирована следующими примерами. Предположим, что на ретроспективном участке ряд динамики может быть хорошо описан с помощью экспоненциальной кривой. Однако первая половина логистической кривой также представлена экспонентой. Поэтому принять гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в будущем можно только после проведения содержательного анализа, в ходе которого следует дать ответ на вопрос: возможно ли наступление “насыщения” при данной совокупности условий. Например, процесс производства может быть ограничен материальными ресурсами или производственными мощностями. Возможна ситуация, когда наилучшей функцией по данному критерию будет при- знана прямая, однако полученное на ее основе прогнозное значение будет отрицательным. Если из экономической сути показателя вытекает невозможность отрицательных значений (например, при прогнозировании объема выпускаемой продукции), то, естественно, следует отказаться от этой функции, выбрав менее «удачную» по данному критерию, но соответст- вующую содержательному смыслу показателя. Например, более подходящей в этом случае может оказаться показательная кривая (3.10) при значении параметра b < 1 (см. рис. 3.1). В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста, например, в пакете «Олимп», разрабо- танном в МЭСИ и широко используемом в учебном процессе, реализованы 16 кривых роста. Причем, возможны несколько режимов работы, удобных для пользователя. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, вклю- чающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точеч- ные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка: n y y S t t ∑ − = 2 ) ( ) , (3.15) где y t — фактическое значение уровня ряда; t y) — расчетное значение уровня ряда, полученное по модели; n — длина ряда. ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 35 Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму ука- занного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограни- чить поле выбора. Отметим, что на практике часто в качестве знаменателя подкоренно- го выражения принимают величину (n – k), где k — число оцениваемых коэффициен- тов модели. В заключение отметим, что нет «жестких» рекомендаций для выбора кривых рос- та. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выяв- ленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные в данном разделе различ- ные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста. Пример 3.1. В таблице 3.1 представлены данные об остатках вкладов населения в банках за 15 месяцев. Остатки вкладов указаны на начало каждого месяца. Таблица 3.1. Остатки вкладов населения в банках, млрд. руб. Порядковый номер месяца y t Порядковый номер месяца y t Порядковый номер месяца y t 1 14717 6 23342 11 40524 2 16642 7 28317 12 45416 3 18504 8 30624 13 50857 4 20376 9 33408 14 56024 5 21321 10 36505 15 59381 Необходимо рассчитать прогнозное значение остатков вкладов населения в бан- ках на начало 16-го месяца, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана: а) линейной моделью t a a y t 1 0 € + = ; б) параболической моделью 2 2 1 0 € t a t a a y t + + = ; в) показательной моделью t t b a y ⋅ = € . Решение а) Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (3.8). Так как число уровней ряда динамики нечетное (n = 15), то цен- тральный уровень (восьмой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t = 0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом –1, нижестоящие — с шагом +1 (гр.3 табл.3. 2). В таблице 3. 2 представлены необходимые вспомогательные вычисления. ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 36 Таблица 3.2. Расчет параметров линейной и параболической моделей № t y t t y t 2 t 2 t y t 4 t 1 2 3 4 5 6 7 1 14717 –7 –103019 49 721133 2401 2 16642 –6 –99852 36 599112 1296 3 18504 –5 –92520 25 462112 625 4 20376 –4 –81504 16 326016 256 5 21321 –3 –63963 9 191889 81 6 23342 –2 –46684 4 93368 16 7 28317 –1 –28317 1 28317 1 8 30624 0 0 0 0 0 9 33408 1 33408 1 33408 1 10 36505 2 73010 4 146020 16 11 40524 3 121572 9 364716 81 12 45416 4 181664 16 726656 256 13 50857 5 254285 25 1271425 625 14 56024 6 336144 36 2016864 1296 15 59381 7 415667 49 2909669 2401 ∑ 495958 899891 280 9891193 9352 В соответствии с (3.8): 896 3213 280 899891 866 063 33 15 958 495 2 1 0 , t t y a ; , n y a t t t t t = = ⋅ = = = = ∑ ∑ ∑ Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид: t y t 896 , 3213 866 , 33063 € + = Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = 0 равна 33063,9 млрд. руб., а среднемесячный прирост остатков вкладов населения составляет 3213,9 млрд. руб. Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t = 8. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t = 16). Определим прогнозное значение: 8 896 , 3213 866 , 33063 € 8 ⋅ + = y ; 58775 € 8 = y млрд. руб. б)Для расчета коэффициентов параболического тренда также воспользуемся вы- ражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала ко- ординат в середину ряда (3.9). ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 37 Промежуточные вычисления представлены в таблице 3.2: 16 , 30198 517 , 153 15 280 866 , 33063 517 , 153 ) 280 ( 9352 15 495958 280 9891193 15 896 , 3213 280 899891 0 2 2 1 = ⋅ − = = − ⋅ ⋅ − ⋅ = = = a a a Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид: 2 517 , 153 896 , 3213 16 , 30198 € t t y t + + = Для определения прогнозного значения показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (t = 8): 2 8 8 517 , 153 8 896 , 3213 16 , 30198 € ⋅ + ⋅ + = y = 8 € y 65734 млрд. руб. в)Для определения параметров тренда, описываемого показательной функцией, воспользуемся (3.8), (3.11). Таблица 3.3. Расчет параметров показательной модели № t y t 2 t t y ln t y t ) ln( 1 2 3 4 5 6 1 14717 –7 49 9,5968 –67,1773 2 16642 –6 36 9,7197 –58,3181 3 18504 –5 25 9,8257 –49,1287 4 20376 –4 16 9,9221 –39,6885 5 21321 –3 9 9,9674 –29,9023 6 23342 –2 4 10,0580 –20,116 7 28317 –1 1 10,2512 –10,2512 8 30624 0 0 10,3295 0 9 33408 1 1 10,4166 10,4166 10 36505 2 4 10,5052 21,0104 11 40524 3 9 10,6097 31,829 12 45416 4 16 10,7236 42,8945 13 50857 5 25 10,8368 54,1839 14 56024 6 36 10,9335 65,6012 15 59381 7 49 10,9917 76,9421 ∑ 495958 280 154,6876 28,2954 В таблице 3.3 представлены необходимые вспомогательные вычисления. Тогда можно рассчитать: 3125 , 10 15 6876 , 154 ln = = a , 1011 , 0 280 2954 , 28 ln = = b ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ РОСТА 38 Проведя потенцирование, получаем: а = 30106,61; b = 1,11. Следовательно, уравнение тренда примет вид: t y€ t 11 , 1 61 , 30106 ⋅ = Согласно этой модели среднемесячный темп роста остатков вкладов населения составлял 111%. В точке, принятой за начало отсчета (t = 0), значение тренда равно 30106,61 млрд руб. Для определения прогнозного значения остатков вклада населения в банках на один месяц вперед подставляем в полученную модель значение t = 8: ; 11 , 1 61 , 30106 € 8 8 ⋅ = y = 8 € y 69382 млрд. руб. На рисунке 3.2 изображены фактические значения уровней временного ряда и рас- четные значения уровней, полученные на основе двух трендовых моделей: линейной и па- раболической. 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t y(t) ( млрд . руб .) I II III Рис. 3.2. Фактические (I) и расчетные уровни ряда динамики, полученные по линейной (II) и параболической (III) модели Графический анализ свидетельствует о том, что линейную модель нельзя признать удачной, она не подходит для описания тенденции этого временного ряда. Полученный же на ее основе прогноз будет сильно занижен. Далека от реальности и показательная модель. Значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, выровненные по параболиче- ской модели, хотя прогнозное значение может быть несколько завышено. Дальнейшее ис- следование качества полученных моделей должно опираться на показатели, рассматри- ваемые в следующей главе. |