статис.. Статистические методы прогнозирования в экономике_Дуброва, Архип. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
5.4. Адаптивные модели сезонных явлений Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные коле- бания. Как было показано ранее, в зависимости от характера этих колебаний их часто де- лят на два класса: мультипликативные и аддитивные. При мультипликативных сезонных колебаниях предполагается, что амплитуда ко- лебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда (текущему среднему уровню ряда). При аддитивном характере сезонности исходят из предположения о неизменности во времени, примерном постоянстве амплитуды периодических колебаний, ее независи- мости от уровня тренда. При этом для аддитивных колебаний характеристики сезонности будут измеряться в абсолютных величинах и отражаться в статистической модели в виде слагаемых, а для мультипликативных колебаний — в относительных величинах и пред- ставляться в моделях в виде сомножителей. Таким образом, экономические временные ряды, содержащие периодические се- зонные колебания, могут быть описаны моделями как с аддитивным характером сезонно- сти (5.7), так и с мультипликативным (5.8): t t ,t t ε f a y + ⋅ = 1 ; (5.7) t t t t g a y ε + + = , 1 , (5.8) где ,t а 1 — характеристика тенденции развития; 1 1 + − − l t t t ,...,g ,g g — аддитивный сезонный фактор; 1 1 + − − l t t t ,...,f ,f f — мультипликативный сезонный фактор; l — число фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений l = 12, для квартальных — l = 4); ε t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием. Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, переби- рая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами адди- тивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован ха- рактером динамики исследуемого процесса. В качестве примера рассмотрим модель с линейным характером тенденции и муль- типликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметри- ческой модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса. Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на τ шагов вперед определяется выражением: τ τ α τ α + − + = l ) ) ) ) t t t f t y ) ( ) ( , 2 , 1 . (5.9) Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом: 1 , , , 0 ) 1 ( ) ( ) 1 ( € ) )( 1 ( 3 2 1 1 , 2 3 1 , 1 , 1 3 , 2 2 , 1 2 1 , 2 1 , 1 1 1 , 1 < < − + − = − + = + − + = − − − − − − α α α α α α α α α α α α α α α α τ t t t t t t t t t t t t f a y f f y ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) l l (5.10) ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 55 Из (5.10.) видно, что ,t а 1 ) является взвешенной суммой текущей оценки l ) − t t f y , полу- ченной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных y t , и суммы преды- дущих оценок 1 1 − ,t а) + 1 2 − t , a) . В качестве коэффициента сезонности f t берется его наиболее поздняя оценка, полученная для аналогичной фазы цикла ( l ) − t f ). Затем величина t a , 1 ) , полученная по первому уравнению, используется для опреде- ления новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. Оценки t a , 2 ) моди- фицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию. Оптимальные значения для 3 2 1 , , α α α П. Уинтерс предлагал находить эксперимен- тальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке значений. Кри- терием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки. Примером другого подхода — с аддитивной сезонностью — может служить модель сезонных явлений с линейным ростом, предложенная Г.Тейлом и С.Вейджем. Практическая значимость этой модели объясняется не только тем, что в экономи- ческих временных рядах довольно часто можно встретить этот тип динамики развития. Опыт проведения экспериментальных расчетов свидетельствует о том, что динамика мно- гих экономических показателей может быть описана с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальную тенденцию с мультипликативным сезонным эффектом. Пролога- рифмировав исходный временной ряд, на практике часто преобразуют экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативный сезонный эффект в аддитив- ный. Таким образом, динамику преобразованного показателя можно моделировать и про- гнозировать с помощью модели Г.Тейла и С.Вейджа. Рассмотрим подробнее адаптивную тренд-сезонную модель, сочетающую линей- ный рост с аддитивной сезонностью. Прогноз по этой модели на τ шагов вперед определяется выражением: ( ) τ + − τ + τ ⋅ + = l ) ) ) ) t t , 2 t , 1 g a a t y (5.11) Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом: 1 , , , 0 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) )( 1 ( ) ( 3 2 1 1 , 2 3 1 , 1 , 1 3 , 2 2 , 1 2 1 , 2 1 , 1 1 1 , 1 < < − + − = − + − = + − + − = − − − − − − α α α α α α α α α α α α α α α α α t t t t t t t t t t t t t g y g g y ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) l l (5.12) Прогнозные оценки на основе формул (5.9.) и (5.11) получаются экстраполяцией тенденции линейного роста на основе последних значений коэффициентов t a , 1 ) и t a , 2 ) , а также добавлением (в виде сомножителя или слагаемого) самой свежей оценки сезонного эффекта для этой фазы цикла ( τ t f + −l ) или ) g τ t + −l ) . Это справедливо для случая, когда время упреждения удовлетворяет условию: l ≤ < τ 0 . Очевидно, что для l l ⋅ ≤ < 2 τ самой по- следней оценкой сезонного эффекта будут значения τ t f + ⋅ − l ) 2 или τ t g + ⋅ − l ) 2 и т.д. Таким образом, в двух рассмотренных моделях прогнозные оценки являются функ- цией прошлых и текущих уровней временного ряда, параметров адаптации 3 2 1 , , α α α , а также начальных значений как коэффициентов 0 , 1 a) , 0 , 2 a) так и сезонного фактора для каж- дой фазы цикла. ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 56 В качестве 0 , 1 a) , 0 , 2 a) на практике берут МНК-оценки коэффициентов линейного тренда t a a y t ⋅ + = 2 1 ) , определенные по исходному временному ряду или его части. На- чальные значения сезонного фактора для аддитивной модели определяют усреднением отклонений фактических уровней от расчетных ( t y) ) для каждой фазы цикла (например, для одноименных месяцев, кварталов). Для мультипликативной модели усреднением ча- стного от деления фактических уровней на расчетные ( t y) ) для каждой фазы цикла. Отметим, что по аналогичной схеме строятся модели с экспоненциальным и демп- фирующим трендом в сочетании с сезонными эффектами обоих типов. Адаптивные сезонные модели являются важной составной частью современных статистических пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач про- гнозирования. Пример 5.1. Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM [12]. В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из 5 первых уровней ряда. Расчеты проведите для двух различных значений па- раметров адаптации α: а) α = 0,1; б) α = 0,5. Сравните графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при α = 0,1 и α = 0,5. Укажите, какой ряд носит более гладкий характер: Таблица 5.2. Курс акций фирмы IBM, долл. США t y t t y t t y t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 510 497 504 510 509 503 500 500 500 495 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 494 499 502 509 525 512 510 506 515 522 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 523 527 523 528 529 538 539 541 543 541 Решение Определим ( ) 506 509 510 504 497 510 5 1 5 1 5 1 0 = + + + + = = ∑ = t t y S Найдем значения экспоненциальной средней при α = 0,1. S t = αy t + (1 – α)S t–1 α = 0,1 — по условию; S 1 = αy 1 + (1 – α)S 0 ; S 1 = 0,1 × 510 + 0,9 × 506 = 506,4; S 2 = αy 2 + (1 – α)S 1 ; S 2 = 0,1 × 497 + 0,9 × 506,4 = 505,46; S 3 = αy 3 + (1 – α)S 2 ; S 3 = 0,1 × 504 + 0,9 × 505,46 = 505,31 и т.д. Результаты расчетов представлены в таблице 5.3. ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 57 Проведем аналогичные расчеты для α = 0,5. S 1 = αy 1 + (1 – α)S 0 ; S 1 = 0,5 × 510 + 0,5 × 506 = 508; S 2 = αy 2 + (1 – α)S 1 ; S 2 = 0,5 × 497 + 0,5 × 508 = 502,5 и т.д. Результаты расчетов представлены в таблице 5.3. Таблица 5.3. Экспоненциальные средние Экспоненциальная средняя Экспоненциальная средняя t α = 0,1 α = 0,5 t α = 0,1 α = 0,5 1 506,4 508 16 505,7 513,3 2 505,5 502,5 17 506,1 511,7 3 505,3 503,2 18 506,1 508,8 4 505,8 506,6 19 507,0 511,9 5 506,1 507,8 20 508,5 517 6 505,8 505,4 21 509,9 520 7 505,2 502,7 22 511,6 523,5 8 504,7 501,4 23 512,8 523,2 9 504,2 500,7 24 514,3 525,6 10 503,4 497,8 25 515,8 527,3 11 502,4 495,9 26 518,0 532,7 12 502,0 497,5 27 520,1 525,8 13 502,0 499,7 28 522,2 538,4 14 502,7 504,4 29 524,3 540,7 15 505,0 514,7 30 525,9 540,9 На рис. 5.2 наглядно представлено влияние значения параметра адаптации α на ха- рактер сглаженного ряда. При α = 0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т. к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда. Рис. 5.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А — фактические данные; В — экспоненциальная средняя при α =0,1; С — экспоненциальная средняя при α =0,5 58 Выводы Статистические методы все шире проникают в экономическую практику. С разви- тием компьютеров, распространением пакетов прикладных программ эти методы вышли за стены учебных и научно — исследовательских институтов. Они стали важным инстру- ментом в деятельности аналитических, плановых, маркетинговых отделов различных фирм и предприятий. При прогнозировании часто исходят из того, что уровни временных рядов экономиче- ских показателей могут содержать следующие компоненты: тренд, сезонную, циклическую и случайную составляющие. В зависимости от способа сочетания этих компонент модели вре- менных рядов делятся на аддитивные, мультипликативные или модели смешанного типа. Обобщенными показателями динамики развития экономических процессов явля- ются средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста. При выполнении ряда предпосылок эти показатели могут быть использованы в приближенных, простейших способах прогнозирования, предшествующих более глубокому количествен- ному и качественному анализу. Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является выравни- вание временных рядов, в частности, с помощью скользящих средних. Скользящие сред- ние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имею- щуюся тенденцию в развитии процесса. Выравнивание временных рядов может осуществляться с помощью тех или иных функций времени — кривых роста. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о неизменности, сохранении тенденции как на всем периоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде. Прогнозные значения по выбранной кривой роста вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным. В дополнении к точечному прогнозу жела- тельно задать диапазон возможных значений прогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный (определить доверительный интервал). Доверительный интервал учитывает неопределенность, связанную с положением тренда (погрешность оценивания параметров кривой), и возможность отклонения от этого тренда. Для того, чтобы обоснованно судить о качестве полученной модели необходимо проверить адекватность этой модели реальному процессу и проанализировать характери- стики ее точности. Проверка адекватности строится на анализе остаточной последова- тельности и базируется на использовании ряда статистических критериев. Показатели точности описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании моде- ли. Все характеристики точности могут быть вычислены после того, как период упрежде- ния уже закончился, или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке. Одно из перспективных направлений развития краткосрочного прогнозирования связано с адаптивными методами. Эти методы позволяют строить самокорректирующиеся модели, способные оперативно реагировать на изменение условий. Адаптивные методы учитывают различную информационную ценность уровней ряда, “старение» информации. Все это делает эффективным их применение для прогнозирования неустойчивых рядов с изменяющейся тенденцией. В заключение отметим, что не может быть чисто формальных подходов к выбору методов и моделей прогнозирования. Успешное применение статистических методов про- гнозирования на практике возможно лишь при сочетании знаний в области самих методов с глубоким знанием объекта исследования, с содержательным экономическим анализом. ПРАКТИКУМ 59 Практикум ПРАКТИКУМ 60 1. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ 1.1. Введение в анализ временных рядов 1. В табл.1.1 представлены данные об изменении курса акций промышленной ком- пании в течение месяца. Таблица 1.1. Курс акций (долл.) t y t t y t t y t t y t 1 509 6 515 11 517 16 510 2 507 7 520 12 524 17 516 3 508 8 519 13 526 18 518 4 509 9 512 14 519 19 524 5 518 10 511 15 514 20 521 Требуется проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса ак- ций с помощью метода Фостера-Стюарта. Доверительную вероятность принять равной 0,95. 2. Ежеквартальная динамика процентной ставки банка в течение 7 кварталов пред- ставлена в табл. 1.2. Таблица 1.2. Процентная ставка банка t 1 2 3 4 5 6 7 y t, % 17,0 16,5 15,9 15,5 14,9 14,5 13,8 Требуется: а) обосновать правомерность использования среднего абсолютного прироста для получения прогнозного значения процентной ставки в восьмом квартале; б) рассчитать прогнозное значение процентной ставки банка в восьмом квартале, используя показатель среднего абсолютного прироста. 3. Изменение ежеквартальной динамики процентной ставки банка происходило примерно с постоянным темпом роста в течение 7 кварталов. Процентная ставка банка в I квартале равнялась 8,3%, а в 7 квартале — 14%. Рассчитайте прогнозное значение процентной ставки банка в 8 квартале, используя средний темп роста. 4. По данным о вводе в действие жилых домов (табл. 1.3.) рассчитайте цепные, ба- зисные и средние: а) абсолютные приросты; б) темпы роста; в) темпы прироста. |