статис.. Статистические методы прогнозирования в экономике_Дуброва, Архип. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ 2.1. Применение простых скользящих средних Распространенным приемом при выявлении и анализе тенденции развития явля- ется сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в мень- шей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиесяна раз- личные подходы: • аналитический подход; • алгоритмический подход. Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью пока- зательной функции: t t b a y ⋅ = Тогда на следующем этапе будет произведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного ряда путем подстановки соответствующего значения временного параметра t в получен- ное уравнение (заданное в явном аналитическом виде). Процедуры моделирования, опи- рающиеся на этот подход, рассматриваются в следующей главе. Прииспользовании алгоритмического подхода отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предос- тавляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой за- данный момент времени t. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу. Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед модели- рованием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические ко- лебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда. Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов: 1. Определяют длину интервала сглаживания l , включающего в себя l последователь- ных уровней ряда ( l < n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглажи- вания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития но- сит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания. 2. Разбивают весь период наблюдения на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1. 3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок. 4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответст- вующие средние значения. ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ 21 При этом удобно брать длину интервала сглаживания l в виде нечетного числа: l = 2p + 1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала. Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются актив- ным участком сглаживания При нечетном значении l все уровни активного участка могут быть представлены в виде: p t p t t t t p t p t y y y y y y y + − + + − + − − , , , , , , , 1 1 , 1 1 K K , где t y — центральный уровень активного участка; 1 1 , , , − + − − t p t p t y y y K — последовательность из p уровней активного участка, предшест- вующих центральному; p t p t t y y y + − + + , , , 1 1 K — последовательность из p уровней активного участка, следующих за центральным. Тогда скользящая средняя рассчитывается по формуле: 1 2 1 2 1 1 + + + + + = + = + − + + − + − = ∑ p y y ... y y p y y p t p t p t t-p p t p t i i t ) , (2.1) где i y — фактическое значение i-го уровня; t y) — значение скользящей средней в момент t; 2p + 1 — длина интервала сглаживания. Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной пе- риоду колебаний. Для устранения сезонных колебаний часто требуется использовать четырех- и две- надцатичленные скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетно- сти длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами: p y y y p y y ... y y y ... y y y p t p t p t i i p t p t p t t t t p t p t t 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 + − + + − = − + − + + − + − − + + = + + + + + + + + = ∑ ) (2.2) Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать 4- (2.3) и 12-членные (2.4) скользящие средние: 4 2 1 2 1 2 1 1 2 + + − − + + + + = t t t t t t y y y y y y) ; (2.3) 12 2 1 2 1 6 5 5 6 + + − − + + + + + + = t t t t t t y y ... y ... y y y) . (2.4) ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ 22 В (2.3) каждый активный участок содержит 5 уровней, в (2.4) —13, при этом край- ние уровни имеют половинные весовые коэффициенты. При использовании скользящей средней с длиной активного участка l = 2p + 1 пер- вые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, так как для исследователя последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании простой скользящей средней. Для этого необходимо: 1). Вычислить средний абсолютный прирост на последнем активном участке p t p t t t t p t p t y y y y y y y + − + + − + − − , , , , , , , 1 1 , 1 1 K K : 1 − − = − + l p t p t y y ∆y , где l — длина активного участка; p t y + — значение последнего уровня на активном участке; p t y − — значение первого уровня на активном участке; y ∆ — средний абсолютный прирост на последнем активном участке. 2) Получить p сглаженных значений в конце временного ряда путем последова- тельного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значе- нию. Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней вре- менного ряда. Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение ди- намического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то применение простой скользя- щей средней нецелесообразно. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях следует обратиться к взве- шенной скользящей средней. 2.2. Использование взвешенных скользящих средних При построениивзвешенной скользящей средней на каждом активном участке зна- чение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной: ∑ ∑ + − = + − = ⋅ = p t p t i i i w w y p t p t i i t y ) , (2.5) где w i — весовые коэффициенты. Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный уча- сток сглаживания, с равными весами (w i ), а взвешенная средняя приписывает каждому ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ 23 уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине ак- тивного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего — 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей сред- ней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней. Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется сле- дующим образом. Для каждого активного участка подбирается полином вида 2 2 1 0 .. t a t a a y t + + + = ) , коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания l = 7 рассматриваются моменты времени t: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a 0 подобранного полинома. Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка. Проиллюстрируем процедуру определения весовых коэффициентов на сле- дующем примере. Пусть длина интервала сглаживания 5 = l , а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. бу- дем рассматривать моменты времени: t = –2, –1, 0, 1, 2. Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т.е. находятся коэффициенты минимизирующие функционал: ∑ ⇒ − − − = − = 2 2 2 2 2 1 0 min ) ( t t t a t a a y Q Находим частные производные и приравниваем их нулю: 0 = ∂ ∂ j a Q , j = 0; 1, 2. Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала ∑ = − = 2 2 0 t k t , где k — нечетное число, получим упрощенную систему нормальных уравнений: ∑ + = − = 2 2 2 0 10 5 t t a a y ∑ = − = 2 2 1 10 t t a ty ( 2.6) ∑ + = − = 2 2 2 0 2 34 10 t t a a y t ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ 24 Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэф- фициентом а 0 , который входит в первое и третье уравнения системы (2.6). Поэтому из уравнений (1) и (3) системы (2.6) определим выражение для коэффици- ента а 0 : ) 3 12 17 12 3 ( 35 1 2 1 0 1 2 0 y y y y y a − + + + − = − − Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного уча- стка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок (см. (2.5)). Соответствующие весовые коэффициенты равны: 35 3 ; 35 12 ; 35 17 ; 35 12 ; 35 3 − − Учитывая симметрию относительно центрального значения, их можно представить с помощью символической записи: [ ] 17 ; 12 ; 3 35 1 0 − = a (см. табл. 2.1). Процедура определения весовых коэффициентов носит общий характер. Если для каждого активного участка с длиной интервала сглаживания 1 2 + = р l подбирается поли- ном порядка m , то согласно МНК необходимо минимизировать функционал: ∑ − − − − = − = p p t m m t t a t a o a y Q 2 1 ) ( K При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам чет- ной степени m = 2k, будут неизменными при использовании полиномов степени 1 2 + = ′ k m (т.е. для полиномов на единицу большей нечетной степени). В таблице 2.1 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины ин- тервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка). Таблица 2.1. Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней (при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка) Длина интервала cглаживания Весовые коэффициенты 5 7 9 11 13 1 35 3 − ,+12,+17 1 21 2 3 6 − + + + , , , 7 1 231 21 14 39 54 − + + + + , , , , 59 1 429 36 9 44 69 84 − + + + + + , , , , , 89 1 143 11 0 9 16 21 24 − + + + + + , , , , , , 25 ГЛАВА 2. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ 25 Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активно- го участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглажи- вания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрич- но отражены. Отметим важные свойства весовых коэффициентов: 1) Они симметричны относительно центрального уровня. 2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице. 3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглажен- ной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда. Проиллюстрируем использование таблицы 2.1 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом актив- ном участке 2 , 1 1 , 2 , , + + − − t t t t t y y y y y будет оцениваться по формуле: ( ) 2 1 1 2 3 12 17 12 3 35 1 + + − − − + + + − = t t t t t t y y y y y y) , где соответствующие весовые коэффициенты уровней –3/35, 12/35, 17/35 взяты из первой строки табл. 2.1 Разработаны специальные приемы, позволяющие восстанавливать потерянные зна- чения временного ряда (краевые значения) при использовании взвешенной скользящей средней. При длине активного участка l = 2 p + 1 для восстановления p первых и p по- следних потерянных уровней анализируемого временного ряда, как правило, используют- ся расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для сглаживания остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффици- енты полиномов определяются соответственно по l = 2 p + 1 первым и последним уровням временного ряда. Следует отметить, что процедуры скользящих средних представляют собой важное аналитическое средство, обладая рядом бесспорных достоинств (простота вычисления и интерпретации и др.), однако при этом их использование требует определенного опыта исследователя. На практике скользящие средние широко применяются совместно с кри- выми роста, используются при оценивании сезонной составляющей во временных ряда, в процедурах сезонной корректировки. Также они служат важным инструментом исследо- вания в техническом анализе товарных и финансовых рынков. |