статис.. Статистические методы прогнозирования в экономике_Дуброва, Архип. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 5.1. Сущность адаптивных методов В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считается применение адаптивных методов. При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информа- ция последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, сущест- вующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматривае- мом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную цен- ность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных. Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением «свежих» фактических дан- ных параметры кривых пересчитываются заново. Поступление новых данных может при- вести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т.к. при этом уменьшается «весомость» каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их «возраста» можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням. Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных. Важнейшим достоинством адаптивных методов является построение самокоррек- тирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыду- щем шаге. Пусть модель находится в некотором состоянии, для которого определены те- кущие значения ее коэффициентов. На основе этой модели делается прогноз. При поступ- лении фактического значения оценивается ошибка прогноза (разница между этим значе- нием и полученным по модели). Ошибка прогнозирования через обратную связь поступа- ет в модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой перехода от одно- го состояния в другое. В результате вырабатываются «компенсирующие» изменения, со- стоящие в корректировании параметров с целью большего согласования поведения моде- ли с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется вновь. Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с получением каждой но- вой фактической точки ряда. Модель постоянно «впитывает» новую информацию, при- спосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в дан- ный момент. На рисунке приведена общая схема построения адаптивных моделей про- гнозирования. Скорость (быстроту) реакции модели на изменения в динамике процесса характе- ризует так называемый параметр адаптации. Параметр адаптации должен быть выбран та- ким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновремен- ной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть опре- делено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб. В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации обычно при- нимают критерий минимума среднего квадрата ошибок прогнозирования. ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 49 На основе рассмотренных особенностей дадим определение группы методов про- гнозирования, объединенных общим названием «адаптивные». Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить само- корректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, кото- рые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценно- сти уровней ряда. Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно исполь- зуются при краткосрочном прогнозировании (при прогнозировании на один или на не- сколько шагов вперед). Указанное определение отражает основные характерные черты, присущие рассмат- риваемому подходу. В то же время деление на адаптивные и неадаптивные модели часто носит достаточно условный характер. У истоков адаптивных методов лежит модель экспоненциального сглаживания. Рис. 5.1. Схема построения адаптивных моделей прогнозирования Обозначения: y(t) — фактические уровни временного ряда; ) (t y τ ) — прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) вперед; e t+1 — ошибка прогноза, полученная как разница между фактическим и прогнозным зна- чением показателя в точке (t + 1). Получение начальных коэффициентов модели Модификация модели с учетом ошибки прогнозирования Прогнозирование на один шаг вперед, т.е. получение оценки ( ) t y 1 ) Вычисление ошибки прогноза ( ) ( ) t y t y e t 1 1 1 ) − + = + Проверка: закончен ли период обучения модели Использование полученной модели для прогнозирования на τ шагов вперед да нет 1 3 4 5 2 6 ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 50 5.2. Экспоненциальное сглаживание Предположим, что модель временного ряда имеет вид: t t a y ε + = 1 , где a 1 = сonst; t ε — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожида- нием и дисперсией σ 2 Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула S t = αy t + βS t–1 , (5.1) где S t — значение экспоненциальной средней в момент t; α — параметр сглаживания, α = сonst, 0 < α < 1; β = 1 – α. Если последовательно использовать соотношение (5.1), то экспоненциальную среднюю S t можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При n → ∞ ∑ = − ⋅ = n i i t i t y S 0 β α (5.2) Таким образом, величина S t оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответст- венно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно по- этому величина S t названа экспоненциальной средней. Например, пусть α = 0,3. Тогда вес текущего наблюдения y t будет равен α = 0,3, вес предыдущего уровня y t–1 будет соответствовать α × β = 0,3 × 0,7 = 0,21; для уровня y t–2 вес составит α × β 2 = 0,147; для y t–3 – α × β 3 = 0,1029 и т.д. Английский математик Р. Браун показал, что математические ожидания временно- го ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненци- альной средней D [S t ] меньше дисперсии временного ряда ( σ 2 ): [ ] 2 2 σ α α − = t S D (5.3) Из (5.3) видно, что при высоком значении α дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением α дисперсия экспоненци- альной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспо- ненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания времен- ного ряда. Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюде- ний, что может быть достигнуто повышением α (согласно (5.2.)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину α нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания α со- ставляет задачу оптимизации модели. Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем перебора. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение α, при котором получена наи- ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 51 меньшая дисперсия ошибки. Например, при построении этих моделей с помощью пакета «Мезозавр» в меню предусмотрена ветвь «оптимизация», реализующая поиск значения по этой схеме. При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется зна- чение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должно быть определено некоторое значение S 0 , предшествующее S 1 . Часто на практике в качестве начального значения S 0 используется среднее арифметическое зна- чение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Вес, при- писываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачно- го выбора S 0 погашается. При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирова- ния предполагается, что модель ряда имеет вид: y t = a 1,t + t ε , где a 1,t — варьирующий во времени средний уровень ряда; t ε — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожида- нием и дисперсией σ 2 Прогнозная модель определяется равенством: t a t y , 1 ) ( ) ) = τ , где ) (t y τ ) — прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) вперед; t a , 1 ) — оценка t a , 1 Единственный параметр модели t a , 1 ) определяется экспоненциальной средней: . S a ; S a , t ,t 0 0 1 1 = = ) ) Выражение (5.1.) можно представить по-другому, перегруппировав члены: S t = S t–1 + α (y t – S t–1 ) (5.4) Величину (y t – S t–1 ) можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз S t получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели. Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления чрезвычайно просты, выполняются итеративно, причем массив про- шлой информации уменьшен до единственного значения S t–1 5.3. Адаптивные полиномиальные модели Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков. Выравнивание p-го порядка: (p) 1 - t 1) - (p t ) ( S S β α + = p t S (5.5) является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглажи- вания (р – 1)-го порядка. ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 52 Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полино- мом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены че- рез экспоненциальные средние соответствующих порядков. В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случай- ной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на τ шагов вперед осу- ществляется по формуле: n n a n a a a t y τ τ τ τ × + + + + = +1 2 3 2 1 € ! 1 € 2 1 € € ) ( € , (5.6) где 1 2 1 € ,.... € , € + n a a a — оценки параметров. Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозиро- вания, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (n + 1) неизвест- ных коэффициентов полинома n-го порядка 1 2 1 € ,.... € , € + n a a a могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних ( ) i t S , где i = 1 ÷ n + 1. Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, поря- док которых изменяется от 1 до n + 1, а затем через их линейные комбинации — к опреде- лению коэффициентов полинома. На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка. В табл. 5.1 приведены формулы, необходимые для расчета по этим моделям. Процедура прогнозирования временных рядов на основе адаптивных полиноми- альных моделей состоит из следующих этапов. 1. Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение па- раметра сглаживания α. При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например, графический анализ, метод последова- тельных разностей и др. 2. Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной модели пер- вого порядка необходимо определить 0 , 2 0 , 1 € ; € a a Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих поли- номов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели ну- левого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспо- ненциальных средних. 3. Производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних. 4. Находятся оценки коэффициентов модели. 5. Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактиче- ского значения временного ряда от прогнозируемого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех t ≤ n , где n — длина ряда. 6. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t = n. Прогноз получается на базе выражения (5.6) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения τ К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести то, что при поступлении новой, свежей информации расчеты повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания ( ) i t S и продолжить вычисления. ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 53 ГЛАВА5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 53 Таблица 5.1. Основные формулы для прогнозирования по адаптивным полиномиальным моделям Степень модели Начальные условия Экспоненциальные средние Оценка коэффициентов Модель прогноза 1 2 3 4 5 n=0 0 , 1 ) 1 ( 0 a S ) = ) 1 ( 1 ) 1 ( − ⋅ + ⋅ = t t t S y S β α ) 1 ( , 1 t t S a = ) = ) (t y τ ) t a , 1 ) n=1 0 , 2 0 , 1 ) 1 ( 0 a a S ) ) ⋅ − = α β 0 , 2 0 1 ) 2 ( 0 2 a a S ) ) ⋅ − = α β ) 1 ( 1 ) 1 ( − ⋅ + ⋅ = t t t S y S β α ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 2 ( − ⋅ + ⋅ = t t t S S S β α ) 2 ( ) 1 ( , 1 2 t t t S S a − ⋅ = ) [ ] ) 2 ( ) 1 ( , 2 t t t S S a − ⋅ = β α ) = ) (t y τ ) t t a a , 2 , 1 ) ) ⋅ + = τ n=2 0 , 3 2 0 , 2 0 , 1 ) 1 ( 0 2 ) 2 ( a a a S ) ) ) ⋅ − ⋅ + ⋅ − = α α β α β 0 , 3 2 0 , 2 0 1 ) 2 ( 0 ) 2 3 ( 2 a a a S ) ) ) ⋅ − + ⋅ − = α α β α β 0 , 3 2 0 , 2 0 , 1 ) 3 ( 0 2 ) 3 4 ( 3 3 a a a S ) ) ) α α β α β − + ⋅ − = ) 1 ( 1 ) 1 ( − ⋅ + ⋅ = t t t S y S β α ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 2 ( − ⋅ + ⋅ = t t t S S S β α ) 3 ( 1 ) 2 ( ) 3 ( − ⋅ + ⋅ = t t t S S S β α ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( , 1 ) ( 3 t t t t S S S a + − ⋅ = ) [ ] ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 , 2 ) 3 4 ( ) 4 5 ( 2 ) 5 6 ( 2 t t t t S S S a ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ = α α α β α ) ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 2 , 3 t t t t S S S a + ⋅ − ⋅ = β α ) = ) (t y τ ) + ⋅ + = t t a a , 2 , 1 ) ) τ + t a , 3 2 2 1 ) ⋅ ⋅ τ |