статис.. Статистические методы прогнозирования в экономике_Дуброва, Архип. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
Ввод в действие жилых домов (млн. кв. м.) Текущий номер года, t 1 2 3 4 5 Общая площадь, млн. кв. м 7,0 6,5 5,9 5,5 4,9 1.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних 1. Рассчитайте взвешенную скользящую среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM (табл. 1.4). Длина интервала сглаживания 5 = l , сглаживание на каждом ак- тивном участке - по полиному 2-го порядка. Таблица 1.4. Курс акций фирмы IBM (долл.) 2. По данным об урожайности за 16 лет (табл. 1.5) рассчитайте трех- и семилетние простые скользящие средние. Графически сравните результаты. Таблица 1.5. Урожайность пшеницы (ц/га) Текущий номер года t 1 2 3 4 5 6 7 8 y t 19,3 17,3 10,7 15,6 17,4 19,7 14,2 19,4 Текущий номер года t 9 10 11 12 13 14 15 16 y t 19,9 12,7 18,3 19,3 22,9 18,4 20,5 22,9 3. В таблице приведены квартальные данные о прибыли компании за последние четыре года. Для сглаживания колебаний примените процедуру скользящих средних, при- няв длину интервала сглаживания l = 4. t y t t y t 1 510 13 502 2 497 14 509 3 504 15 525 4 510 16 512 5 509 17 510 6 503 18 506 7 500 19 515 8 500 20 522 9 500 21 523 10 495 22 527 11 494 23 523 12 499 24 528 ПРАКТИКУМ 62 Таблица 1.6 Прибыль компании, тыс. долл. США № года Квартал Порядковый но- мер квартала t Прибыль t y , тыс. долл. США 1 2 3 4 I 1 10 II 2 11,4 1 III 3 12 IV 4 17,5 I 5 16 II 6 17 2 III 7 18,5 IV 8 23,6 I 9 23 II 10 24,6 3 III 11 25 IV 12 30,6 I 13 29 II 14 31 4 III 15 31,9 IV 16 34 4. Выведите весовые коэффициенты для расчета взвешенных скользящих средних. Длина интервала сглаживания 5 = l , сглаживание на каждом активном участке - по поли- ному 2-го порядка. 1.3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста 1-3. В табл. 1.7 представлены данные за 11 лет о среднегодовой численности про- мышленно-производственного персонала, занятого в электроэнергетике. Таблица 1.7. Среднегодовая численность промышленно-производственного персонала (ППП), тыс. чел. Год Порядковый номер года Численность ППП Год Порядковый номер года Численность ППП 1990 1 540 1996 7 790 1991 2 563 1997 8 810 1992 3 626 1998 9 842 1993 4 666 1999 10 880 1994 5 710 2000 11 913 1995 6 750 ПРАКТИКУМ 63 Требуется рассчитать прогнозное значение среднегодовой численности промыш- ленно-производственного персонала в следующем году (время упреждения L = 1), исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана: 1) линейной моделью t a a y t 1 0 + = ) ; 2) параболической моделью 2 2 1 0 t a t a a y t + + = ) ; 3) показательной моделью t t b a y ⋅ = ) 4. На основе квартальных данных об объемах продаж продукции фирмы (тыс. шт.) за 5 лет была построена тренд — сезонная модель. Сезонность носила мультипликативный характер. Оценки коэффициентов сезонности представлены в таблице. Квартал 1 2 3 4 Коэффициент сезонности 0,89 1,15 1,25 0,71 Рассчитайте прогнозную оценку уровня продаж в первом полугодии следующего года, если уравнение тренда имеет вид t y t ⋅ + = 15 , 0 2 , 15 ) (t = 1, 2, …, 20). 1.4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей 1. Для временного ряда розничного товарооборота региона (млрд. руб.) длиной n = 20 (t = 1, 2, ... , 20) оценены параметры трендовой модели: t y€ = 10,2 + 1,2t. Дисперсия отклонений фактических значений от расчетных 2 y S = 0,25. Используя эту модель, рассчитайте точечный прогноз и интервальный в точке t = 21. Доверительную вероятность принять равной 0,9. 2. Для прогнозирования численности промышленно-производственного персонала предприятия была выбрана модель t a a y t 1 0 + = . Оценка параметров трендовой модели осуществлялась по квартальным данным за период с I квартала 1999 г. по IV квартал 2003 г. Значение статистики Дарбина-Уотсона для ряда остатков d = 1,39. Проверить гипотезу об отсутствии в остатках автокорреляции первого порядка (уровень значимости α = 0,05). 3. Программа выдала следующие характеристики ряда остатков: — длина ряда n = 20; — коэффициент асимметрии А = 0,6; — коэффициент эксцесса Э = 0,7. На основании этих характеристик проверить гипотезу о нормальном законе распре- деления остаточной последовательности. 4. В табл. 1.8 представлены квартальные данные о прибыли компании за последние че- тыре года. Для описания тенденции этого временного ряда построена линейная модель t y t 320 , 2 878 , 51 + = ) , (t = 1, 2, …, 16). Требуется проверить гипотезу об отсутствии автокорреля- ции первого порядка в остатках, полученных после построения линейной трендовой модели. (Уровень значимости ) 05 , 0 = α ПРАКТИКУМ 64 Таблица 1.8. Прибыль компании, тыс. долл. США № года Квартал Порядковый номер квартала t Прибыль t y , тыс. долл. США 1 2 3 4 I 1 53,4 II 2 55 1 III 3 60,3 IV 4 61,7 I 5 62,5 II 6 65,5 2 III 7 68,5 IV 8 73,3 I 9 72,2 II 10 74 3 III 11 77,4 IV 12 80,4 I 13 82,1 II 14 85,9 4 III 15 86,3 IV 16 87,1 1.5. Использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях 1. Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда объема продаж продукции фирмы (табл. 1.9) при значении параметра адаптации α=0,1. В качестве на- чального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из всех пред- ставленных уровней. Таблица 1.9. Объем продаж продукции фирмы Порядковый номер квартала t Объем продаж t y , тыс. шт. Порядковый номер квартала t Объем продаж t y , тыс. шт. 1 235 10 212 2 234 11 217 3 227 12 232 4 222 13 230 5 218 14 220 6 199 15 213 7 197 16 213 8 203 17 219 9 208 ПРАКТИКУМ 65 2. По данным задания № 1 рассчитайте экспоненциальную среднюю при двух раз- личных значениях параметра адаптации: α = 0,5 и α = 0,9. Сравните графически исходный временной ряд и экспоненциально сглаженные временные ряды при различных значениях параметра адаптации. Укажите, какой временной ряд носит более гладкий характер. 3. Докажите, что в модели экспоненциального сглаживания веса отдельных уров- ней ряда экспоненциально убывают по мере их удаления в прошлое. 4. Докажите, что дисперсия экспоненциально сглаженного временного ряда мень- ше дисперсии исходного временного ряда. ПРАКТИКУМ 66 2. РЕШЕНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ 2.1. Введение в анализ временных рядов 1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера-Стюарта представлены в таб- лице 2.1. 1) Если уровень y t больше всех предшествующих уровней, то в графе m t ставим 1, если y t меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе l t ; 2) Определяем d t = m t - l t для t = 2 ÷ 20; 3) ∑ = = = 20 2 3 t t d D ; 4) Значение D σ =2,279 для n = 20 (см. табл. 1.7 в учебном пособии). Значение t кр берем из таблицы t-распределения Стьюдента: t кр ( α = 0,05; v = 19) = 2,093; 316 , 1 = = D н D t σ t н < t кр ⇒ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H 0 об отсутствии тренда. Таблица 2.1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера-Стюарта t y t m t e t d t t y t m t e t d t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 509 507 508 509 518 515 520 519 512 511 — 0 0 0 1 0 1 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 — –1 0 0 1 0 1 0 0 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 517 524 526 519 514 510 516 518 524 521 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2. Рассчитаем цепные абсолютные приросты: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) % , , , y % , , , y % , , , y % , , , y % , , , y % , , , y 7 0 5 14 8 13 4 0 9 14 5 14 6 0 5 15 9 14 4 0 9 15 5 15 6 0 5 16 9 15 5 0 0 17 5 16 7 6 5 4 3 2 − = − = ∆ − = − = ∆ − = − = ∆ − = − = ∆ − = − = ∆ − = − = ∆ Легко заметить, что цепные абсолютные приросты примерно одинаковы. Они не- значительно варьируют от –0,7 до –0,4, что свидетельствует о близости процесса развития к линейному. Поэтому представляется правомерным оценить прогнозное значение 8 € y с помощью среднего абсолютного прироста y ∆ : ПРАКТИКУМ 67 ( ) ( ) % , , , y y y % , , y y y 3 13 5 0 8 13 5 0 6 17 8 13 6 7 8 1 7 ≈ − = ∆ + = − ≈ − = − = ∆ 3. Известно, что изменение процентной ставки банка происходило примерно с по- стоянным темпом роста в течение 7 кварталов. Следовательно, правомерно использовать средний темп роста для расчета прогнозного значения этого показателя. Средний темп роста равен: %. , Т % ; , % y y Т % ; y y Т n n 1 109 100 3 8 14 100 100 6 6 1 7 1 1 ≈ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − Прогноз процентной ставки банка в 8 квартале равен: T y y ⋅ = 7 8 € , где Т — не в процентном выражении; % 3 , 15 091 , 1 14 € 8 ≈ ⋅ = y 4. Представим расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста в табл. 2.2. Таблица 2.2 Статистические показатели динамики Абсолютный прирост (млн. м 2 ) Темп роста (%) Темп прироста (%) t y t (млн. м 2 ) Цепной Базисный Цепной Базисный Цепной Базисный 1 7,0 — — — — — — 2 6,5 6,5 – 7,0 = –0,5 6,5 – 7,0 = –0,5 0 , 7 5 , 6 100 = 92,86 0 , 7 5 , 6 100 = 92,86 92,86 – 100 = = –7,14 92,86 – 100 = = –7,14 3 5,9 5,9 – 6,5= –0,6 5,9 – 7,0 = –1,1 5 , 6 9 , 5 100 = 90,77 0 , 7 9 , 5 100 = 84,29 90,77 – 100 = = –9,23 84,29 – 100 = = –15,71 4 5,5 5,5 – 5,9 = –0,4 5,5 – 7,0 = –1,5 9 , 5 5 , 5 100 = 93,22 0 , 7 5 , 5 100 = 78,57 93,22 – 100 = = –6,78 78,57 – 100 = = –21,43 5 4,9 4,9 – 5,5 = –0,6 4,9 – 7,0 = –2,1 5 , 5 9 , 4 100 = 89,09 0 , 7 9 , 4 100 = 70,00 89,09 – 100 = = –10,91 70,00 – 100 = = –30,00 Для получения обобщающих показателей динамики развития определим средние характеристики: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста. Средний абсолютный прирост равен: 525 , 0 4 0 , 7 9 , 4 4 1 n y y 1 5 1 n − = − = − = − − = ∆ y y y (млн.м 2 ), т. е. в среднем ежегодно общая площадь вводимого жилья уменьшалась на 0,525 млн.м 2 ПРАКТИКУМ 68 Средний темп роста определим по формуле: % y y Т n n 100 1 1 × = − 100% 7,0 9 , 4 4 × = = 91,47% т. е. в среднем ежегодно строительство жилья составляло 91,47% от уровня предыдущего года. Средний темп прироста % Т K 100 − = = –8,53%, т.е. в среднем ежегодно строитель- ство жилья снижалось на 8,53%. Прогнозное значение 6 € y с помощью среднего абсолютного прироста y ∆ определим по формуле: 4 , 4 5 6 ≈ ∆ + = y y y) млн. м 2 2.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних 1. Пусть сглаживание на каждом активном участке осуществляется по полиному 2-го порядка. В этом случае для вычисления значений 5-летней взвешенной скользящей средней воспользуемся табл. 2.1, представленной в учебном пособии. Тогда: 7 , 502 ) 509 3 510 12 504 17 497 12 510 3 ( 35 1 3 = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = y 3 , 509 ) 503 3 509 12 510 17 504 12 497 3 ( 35 1 4 = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = y и т.д. В табл. 2.3 отражены результаты дальнейших расчетов. Таблица 2. 3. Сглаживание временного ряда курса акций фирмы IBM (долл.) с помощью взвешенной скользящей средней t y t Взвешенная скользящая сред- няя 5 = l t y t Взвешенная скользящая сред- няя 5 = l 1 2 3 4 5 6 1 510 — 13 502 502,1 2 497 — 14 509 512,7 3 504 502,7 15 525 518,3 4 510 509,3 16 512 516,5 5 509 508,5 17 510 507,6 6 503 503,7 18 506 508,6 7 500 500,3 19 515 514,1 8 500 500,2 20 522 520,9 9 500 498,8 21 523 524,7 10 495 495,6 22 527 524,6 11 494 494,9 23 523 — 12 499 497,8 24 528 — ПРАКТИКУМ 69 2. В табл. 2.4 представлены результаты расчетов простых скользящих средних. Таблица 2.4. Расчет простых скользящих средних Скользящие средние t y t l = 3 l = 7 1 2 3 4 1 19,3 — — 2 17,3 15,8 — 3 10,7 14,5 — 4 15,6 14,6 16,3 5 17,4 17,6 16,3 6 19,7 17,1 16,7 7 14,2 17,8 17 8 19,4 17,8 17,4 9 19,9 17,3 17,6 10 12,7 17 18,1 11 18,3 16,8 18,7 12 19,3 20,2 18,9 13 22,9 20,2 19,3 14 18,4 20,6 — 15 20,5 20,6 — 16 22,9 — — При трехлетней скользящей средней (гр. 3 табл. 2.4): 8 , 15 3 7 , 10 3 , 17 3 , 19 € 2 = + + = y ; 5 , 14 3 6 , 15 7 , 10 3 , 17 € 3 = + + = y и т.д. При семилетней скользящей средней (гр. 4 табл. 2.4): 3 , 16 7 2 , 14 7 , 19 4 , 17 6 , 15 7 , 10 3 , 17 3 , 19 € 4 = + + + + + + = y 3 , 16 7 4 , 19 2 , 14 7 , 19 4 , 17 6 , 15 7 , 10 3 , 17 € 5 = + + + + + + = y и т.д. Графический анализ показывает, что ряд, сглаженный по 7-летней скользящей средней, носит более гладкий характер. Это объясняется тем, что чем больше длина ин- тервала сглаживания, тем более гладкий ряд на выходе модели. 0 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 годы ур о ж ай н о ст ь , ц /га фактические у ров ни 3-х летние скользящие средние 7-и летние скользящие средние Рис. 2.1. Сглаживание ряда урожайности с помощью простых скользящих средних ПРАКТИКУМ 70 3. Ежегодно в четвертом квартале наблюдаются «всплески» в значениях показате- ля. Для сглаживания этих сезонных колебаний применим процедуру скользящих средних, приняв длину активного участка l = 4. При четырехчленной скользящей средней: 5 , 13 4 16 5 , 0 5 , 17 12 4 , 11 10 5 , 0 € 3 = ⋅ + + + + ⋅ = y ; 9 , 14 4 17 5 , 0 16 5 , 17 12 4 , 11 5 , 0 € 4 = ⋅ + + + + ⋅ = y и т.д. Результаты расчетов представлены в гр.5 табл.2.5. Таблица 2.5 Сглаживание временного ряда прибыли компании с помощью скользящей средней № года Квартал Порядковый но- мер квартала t Прибыль t y , тыс. долл. США Скользящая сред- няя l = 4 1 2 3 4 5 I 1 10 — II 2 11,4 — 1 III 3 12 13,5 IV 4 17,5 14,9 I 5 16 16,4 II 6 17 18 2 III 7 18,5 19,7 IV 8 23,6 21,5 I 9 23 23,2 II 10 24,6 24,9 3 III 11 25 26,6 IV 12 30,6 28,1 I 13 29 29,8 II 14 31 31,1 4 III 15 31,9 — IV 16 34 — 4. Пусть длина интервала сглаживания 5 = l , а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. бу- дем рассматривать моменты времени: t = –2, –1, 0, 1, 2. Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т.е. находятся коэффициенты, минимизирующие функционал: ∑ ⇒ − − − = − = 2 2 2 2 2 1 0 min ) ( t t t a t a a y Q ПРАКТИКУМ 71 Находим частные производные и приравниваем их нулю: 0 = ∂ ∂ j a Q , j = 0; 1,2. Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала ∑ = − = 2 2 0 t k t , где − k нечетное число, получим упрощенную систему нормальных уравнений: ∑ + = − = 2 2 2 0 10 5 t t a a y ∑ = − = 2 2 1 10 t t a ty ∑ + = − = 2 2 2 0 2 34 10 t t a a y t Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэф- фициентом 0 a , который входит в первое и третье уравнения системы. Поэтому из уравнений (1) и (3) системы определим выражение для коэффициен- та 0 a : ) 3 12 17 12 3 ( 35 1 2 1 0 1 2 0 y y y y y a − + + + − = − − Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного уча- стка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок. Соответствующие весовые коэффициенты равны: 35 3 ; 35 12 ; 35 17 ; 35 12 ; 35 3 − − Учитывая симметрию относительно центрального значения, их можно представить с помощью символической записи: [ ] 17 ; 12 ; 3 35 1 0 − = a (см. табл. 2.1 в учебном пособии). 2.3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста 1. Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, по- лученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в сере- дину ряда (см. (3.8) в учебном пособии). Так как число уровней ряда динамики — нечетное (n = 11), то центральный уровень (шестой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t = 0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом –1, нижестоящие — с шагом +1 (гр.3 табл.2.6). В табл. 2.6 представлены необходимые вспомогательные вычисления. ПРАКТИКУМ 72 Таблица 2.6. Расчет параметров линейной модели № t y t t y t 2 t 1 2 3 4 5 1 540 –5 –2700 25 2 563 –4 –2252 16 3 626 –3 –1878 9 4 666 –2 –1332 4 5 710 –1 –710 1 6 750 0 0 0 7 790 1 790 1 8 810 2 1620 4 9 842 3 2526 9 10 880 4 3520 16 11 913 5 4565 25 ∑ 8090 4149 110 В соответствии с (3.8) в учебном пособии: 7 37 110 4149 5 735 11 8090 2 1 0 , t t y a ; , n y a t t = = ∑ ⋅ ∑ = = = ∑ = Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид: t y t 7 , 37 5 , 735 + = ) Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = 0 равна 735,5 тыс. чел. Отметим, что это расчетное значение меньше фактического, равного 750 тыс. чел. Оценка среднегодового прироста численности ППП, занятого в отрасли, составляет 37,7 тыс. чел. Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t = 6. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t = 12). Прогноз равен: 6 7 , 37 5 , 735 6 ⋅ + = y) ; 7 , 961 6 = y) тыс.чел. 2. Для расчета коэффициентов параболического тренда воспользуемся выражения- ми, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (см. (3.9) в учебном пособии). Промежуточные вычисления представлены в табл. 2.7. ( ) ( ) 6 745 0 1 11 110 5 735 0 1 110 1958 11 8090 110 80029 11 7 37 110 4149 0 2 2 1 , , , a , a , a = − − = − = − ⋅ ⋅ − ⋅ = = = ПРАКТИКУМ 73 Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид: 2 0 , 1 7 , 37 6 , 745 t t y t − + = ) Для определения прогноза показателя надо подставить в полученную модель соот- ветствующее значение временного параметра (t = 6). Прогноз равен: 2 6 6 0 , 1 6 7 , 37 6 , 745 ⋅ − ⋅ + = y) ; = 8 y) 935,4 тыс.чел. Таблица 2.7. Расчет параметров параболической модели № t y t t y t 2 t 2 t y t 4 t 1 2 3 4 5 6 7 1 540 –5 –2700 25 13500 625 2 563 –4 –2252 16 9008 256 3 626 –3 –1878 9 5634 81 4 666 –2 –1332 4 2664 16 5 710 –1 –710 1 710 1 6 750 0 0 0 0 0 7 790 1 790 1 790 1 8 810 2 1620 4 3240 16 9 842 3 2526 9 7578 81 10 880 4 3520 16 14080 256 11 913 5 4565 25 22825 625 ∑ 8090 4149 110 80029 1958 3. Для определения параметров тренда, описываемого показательной функцией, воспользуемся (3.8), (3.11) в учебном пособии. В табл. 2.8 представлены необходимые вспомогательные вычисления. Оценивание неизвестных коэффициентов модели осуществим следующим образом: 5866 6 11 45 72 ln , , a = = ; 0527 , 0 110 799 , 5 ln = = b Проведя потенцирование, получаем: a = 725,29; b = 1,05. Следовательно, уравнение тренда примет вид t t y 05 , 1 29 , 725 ⋅ = ) Согласно этой модели среднегодовой темп роста численности ППП в электроэнер- гетике составлял 105%. В точке, принятой за начало отсчета (t = 0), значение тренда равно 725,29 тыс. чел. Для определения прогнозного значения исследуемого показателя на одну точку вперед подставим в полученную модель значение t = 6: 6 6 05 , 1 29 , 725 ⋅ = y) ; 2 , 995 6 = y) тыс.чел. ПРАКТИКУМ 74 Таблица 2.8 Расчет параметров показательной модели № t y t 2 t t y ln )t (y t ln 1 2 3 4 5 6 1 540 -5 25 6,292 -31,458 2 563 -4 16 6,333 -25,333 3 626 -3 9 6,439 -19,318 4 666 -2 4 6,501 -13,003 5 710 -1 1 6,565 -6,5653 6 750 0 0 6,62 0 7 790 1 1 6,672 6,672 8 810 2 4 6,697 13,394 9 842 3 9 6,736 20,207 10 880 4 16 6,78 27,12 11 913 5 25 6,817 34,084 ∑ 8090 110 72,45 5,799 Отметим, что полученные на основе линейной и показательной моделей прогноз- ные оценки сильно завышены. Фактическое значение показателя в 2001 г. было равно 926 тыс. чел. Значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, рассчитанные по параболической модели. Дальнейшее исследование качества полученных моделей должно опираться на всесторонний анализ остаточных последовательностей. 4. Первое полугодие следующего года содержит два квартала, имеющие соответст- венно порядковые номера t = 21 и t = 22. Найдем прогнозные значения уровней продаж в каждом из этих кварталов с учетом мультипликативного характера сезонности: ( ) = ⋅ ⋅ + = 89 0 21 15 0 2 15 21 , , , y) 16,3 тыс. шт. = ⋅ ⋅ + = 15 , 1 ) 22 15 , 0 2 , 15 ( 22 y) 21,3 тыс. шт. Следовательно, прогнозная оценка уровня продаж в первом полугодии следующего года составляет 37,6 тыс. шт. 2.4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей 1. Точечный прогноз: 4 , 35 ; 21 2 , 1 2 , 10 21 21 = ⋅ + = y y ) ) млрд. руб. Интервальный прогноз: * 21 K S y y ± ) Значение К* берем из таблицы 4.1 в учебном пособии для n = 20 и периода упреж- дения L = 1. К* = 1,9117. 5 0 2 , S S y y = = 9117 , 1 5 , 0 4 , 35 * € 21 ⋅ ± = ± K S y y Точечный прогноз равен 35,4 млрд. руб. Нижняя граница прогноза равна 34,4 млрд. руб. Верхняя граница прогноза равна 36,4 млрд. руб. ПРАКТИКУМ 75 2. Из таблицы 4.2. в учебном пособии берем значения критических границ для кри- терия Дарбина-Уотсона при n = 20 и К′= 1. d 1 = 1,20; d 2 = 1,41. Так как 2 1 d d d ≤ ≤ (1,20 < 1,39 < 1,41), то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (значение d попало в область неопределенности). 3. Так как при n = 20 одновременно выполняются следующие неравенства: ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( 6 5 , 1 + ⋅ + − ⋅ ⋅ < n n n А , ; ) 71 , 0 6 , 0 ( < , ) 5 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3 )( 2 ( 24 5 , 1 1 6 2 + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ < + + n n n n n n n Э 1,14), < 0,29 + 0,7 ( то гипотеза о нормальном характере распределения не отвергается. 4. В табл. 2.9 представлены вспомогательные вычисления, необходимые для рас- чета значения статистики Дарбина-Уотсона. В гр. 3 содержатся расчетные уровни ( t y) ), полученные после подстановки соответ- ствующих последовательных значений времени t = 1, 2, …, 16 в построенную линейную модель. В гр. 4 получена остаточная последовательность, значения которой представляют собой отклонения фактических уровней временного ряда (y t ) от расчетных ( t y) ). Таблица 2. 9 Расчет статистики Дарбина-Уотсона t Прибыль (тыс. долл.) t y t y) t e 2 t e 2 1 ) ( − − t t e e 1 2 3 4 5 6 1 53,4 54,198 –0,798 0,637 — 2 55 56,518 –1,518 2,304 0,518 3 60,3 58,838 1,462 2,137 8,88 4 61,7 61,158 0,542 0,294 0,846 5 62,5 63,478 –0,978 0,956 2,31 6 65,5 65,798 –0,298 0,089 0,462 7 68,5 68,118 0,382 0,146 0,462 8 73,3 70,438 2,862 8,191 6,15 9 72,2 72,758 –0,558 0,311 11,7 10 74 75,078 –1,078 1,162 0,27 11 77,4 77,398 0,002 4 10 -6 1,166 12 80,4 79,718 0,682 0,465 0,462 13 82,1 82,038 0,062 0,004 0,384 14 85,9 84,358 1,542 2,378 2,19 15 86,3 86,678 –0,378 0,143 3,686 16 87,1 88,998 –1,898 3,602 2,31 ∑ 22,82 41,8 ПРАКТИКУМ 76 В графах 5—6 табл. 2.9 приведен расчет сумм, необходимых для вычисления зна- чения статистики по формуле ( ) ∑ ∑ = = − − = n t t n t t t e e e d 1 2 2 2 1 Таким образом, = = 82 , 22 8 , 41 d 1,83. Очевидно, что расчетное значение статистики «не слишком отличается» от 2. Об- ращение к табличным значениям (табл. 4.2 в учебном пособии) показывает, что d > 2 d (1,83 > 1,37), следовательно, гипотеза 0 H об отсутствии в остатках автокорреляции перво- го порядка не отвергается. 2.5. Использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях 1. Определим 59 , 217 17 1 17 1 0 = = ∑ = t t y S Найдем значения экспоненциальной средней при α=0,1. S t = αy t + (1 – α)S t-1 α = 0,1 — по условию; S 1 = αy 1 + (1 – α)S 0 ; S 1 = 0,1 ×235+0,9×217,59=219,3; S 2 = αy 2 + (1 – α)S 1 ; S 2 = 0,1 ×234+0,9×219,3=220,8; S 3 = αy 3 + (1 – α)S 2 ; S 3 = 0,1 ×227+0,9×220,8=221,4 и т.д. Результаты расчетов представлены в табл. 2.10. 2. 59 , 217 17 1 17 1 0 = = ∑ = t t y S α = 0,5 — по условию. S 1 = αy 1 + (1 – α)S 0 ; S 1 = 0,5 ×235+0,5×217,59=226,3; S 2 = αy 2 + (1 – α)S 1 ; S 2 = 0,5 ×234+0,5×226,3 =230,1 и т.д. 170 180 190 200 210 220 230 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 t ты с. шт фактические уровни экспоненциальная средняя при значении альфа, равном 0,1 экспоненциальная средняя при значении альфа, равном 0,5 Рис. 2.2. Экспоненциальное сглаживание при различных значениях параметра адаптации ПРАКТИКУМ 77 Таблица 2.10 Экспоненциальные средние Экспоненциальная средняя t Объем продаж t y , тыс. шт. α = 0,1 α = 0,5 α = 0,9 1 235 219,3 226,3 233,3 2 234 220,8 230,1 233,9 3 227 221,4 228,6 227,7 4 222 221,5 225,3 222,6 5 218 221,1 221,6 218,5 6 199 218,9 210,3 200,9 7 197 216,7 203,7 197,4 8 203 215,4 203,3 202,4 9 208 214,6 205,7 207,4 10 212 214,4 208,8 211,5 11 217 214,6 212,9 216,5 12 232 216,4 222,5 230,4 13 230 217,7 226,2 230 14 220 217,9 223,1 221 15 213 217,5 218,1 213,8 16 213 217 215,5 213,1 17 219 217,2 217,3 218,4 Результаты расчетов экспоненциально сглаженных рядов при различных значениях параметров адаптации представлены в табл. 2.10. На рис.2.2 наглядно проявляется влияние значения параметра адаптации на харак- тер сглаженного ряда. При α = 0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий харак- тер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания вре- менного ряда. 3. Экспоненциальную среднюю S t можно выразить через предшествующие значе- ния уровней временного ряда, последовательно используя рекуррентную формулу: S t = αy t + βS t–1 , где S t — значение экспоненциальной средней в момент t; α — параметр сглаживания, α = сonst, 0 < α < 1; β = 1 – α. Таким образом, можно записать: S t = α y t + β S t-1 = + + = − − ) ( 2 1 t t t S y y β α β α 0 2 2 1 2 2 1 S y y y y S y y n i t i t t t t t t β αβ αβ αβ α β αβ α + + + + + + = = + + = − − − − − K K K Следовательно, ∑ − = − ⋅ + ⋅ ⋅ = 1 0 0 n i n i t i t S y S β β α , где n — длина ряда. При n → ∞ 0 → n β и ∑ ∞ = − ⋅ = 0 i i t i t y S β α ПРАКТИКУМ 78 Таким образом, величина S t оказывается взвешенной суммой членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина t S названа экспоненциальной средней. 4. Предположим, что модель временного ряда имеет вид: t t a y ε + = 1 , где a 1 = сonst; t ε — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожида- нием и дисперсией σ 2 Представим выражение ∑ ∞ = − ⋅ = 0 i i t i t y S β α , полученное в предыдущем задании, в сле- дующем виде: ∑ = ∞ = − 0 i i t i t y β α S ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − + = + = 0 0 1 1 1 ) ( i i i t i t i a a ε β α ε β α Отсюда очевидно, что математическое ожидание 1 ) ( a S M t = , так же как и матема- тическое ожидание самого временного ряда. Определим дисперсию экспоненциальной средней D [S t ]. D [S t ] = M [ ] ⋅ = − ∑ ∞ = − 2 0 1 2 1 ) ( i t i t M a S ε β α . Учитывая свойства t ε , можно записать: D [S t ] 2 0 2 2 2 2 σ α α σ β α ∑ ∞ = − = = i i . Таким образом, [ ] 2 2 σ α α − = t S D Так как 0 < α < 1, то D[S t ]меньше дисперсии временного ряда, равной σ 2 Этот результат был получен автором модели английским математиком Р.Брауном. ПРАКТИКУМ 79 3. ИТОГОВЫЙ ТЕСТ 1. При сглаживании временного ряда с помощью 5-членной скользящей средней теряются: а) только первые два значения временного ряда; б) только последние два значения временного ряда; в) два первых и два последних значения временного ряда; г) пять первых и пять последних значений временного ряда. 2. Данные об изменении урожайности зерновых культур за 10 лет представлены в таблице. Урожайность зерновых культур (ц/га) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y t 14,9 12,6 15,2 15,9 14,4 16,2 18,0 18,3 17,0 18,8 Сглаженное значение девятого уровня ряда при использовании 5-членной простой скользящей средней равно: а) 14,6; б) 20,5; в) 9,3; г) 14,1. 3. Более гладкий временной ряд, менее подверженный случайным колебаниям, бу- дет получен при использовании: а) 3-летней скользящей средней; б) 5-летней скользящей средней; в) 7-летней скользящей средней; г) 19-летней скользящей средней. 4. Временной ряд урожайности зерновых культур (см. задание № 2) сглаживается с помощью 5-летней взвешенной скользящей средней. Сглаженное значение четвертого уровня ряда равно: а) 15,4; б) 23,8; в) 7,9; г) 14,9. 5. Средний абсолютный прирост используется для вычисления прогнозного значе- ния в следующей точке, если: а) цепные абсолютные приросты примерно одинаковы; б) цепные темпы роста примерно одинаковы; в) базисные абсолютные приросты примерно одинаковы. 6. Изменение ежеквартальной динамики процентной ставки банка в течение 7 кварталов происходило примерно с постоянным темпом роста. Средний темп роста соста- ПРАКТИКУМ 80 вил % , Т 7 92 = . Рассчитайте прогнозное значение процентной ставки банка в 8 квартале, если в 7 квартале она составляла 11%. Прогноз равен: а) 10,2%; б) 11,8%; в) 9,0%. 7. Для ежеквартальной динамики процентной ставки банка оказалось, что значения цепных абсолютных приростов примерно одинаковы в течение 7 кварталов. Средний аб- солютный прирост составил ∆y = −0 4 , (%) . Рассчитать прогнозное значение процентной ставки банка в 8 квартале, если в 7 квартале она составила 9,2%. Прогноз равен: а) 9,9%; б) 8,8%; в) 7,0%. 8. На основе временного ряда месячной динамики производства бумаги в РФ (с ян- варя 1993г. по июль 2004г.) рассчитывается прогноз производства в сентябре 2004г. Этот прогноз является: а) оперативным, поисковым; б) краткосрочным, поисковым; в) краткосрочным, нормативным. 9. Дан временной ряд производства тканей в РФ. Производство тканей (млн. кв. м.) Квартал I. 1994 II. 1994 III. 1994 IV. 1994 I. 1995 II. 1995 t 1 2 3 4 5 6 y t 734 537 374 504 485 379 Этот временной ряд является: а) моментным; б) интервальным; в) производным. 10. По данным о производстве угля за 9 лет с 1990 г. по 1998 г. (t = 1, 2, ..., 9) были оценены параметры модели t y€ = 425 – 5,09t – 1,59t 2 Используя полученную модель, рассчитайте прогноз производства в 1999 г. (t = 10). Прогноз равен: а) 215,1 млн. тонн; б) 240,2 млн. тонн; в) 300,5 млн. тонн. 11. По данным задания №10 рассчитайте интервальный прогноз угля в 1999 г., если дисперсия отклонений фактических значений от расчетных 9 2 = y S (млн. тонн) 2 . Довери- тельную вероятность принять равной 0,9. (См. табл. 4.1 в учебном пособии). Нижняя гра- ница прогноза равна: а) 105,7; б) 205,7; в) 305,7. ПРАКТИКУМ 81 12. Для прогнозирования временного ряда численности промышленно- производст- венного персонала предприятия была выбрана модель t a a y t 1 0 + = . Оценка параметров модели проводилась для временного ряда длиной n = 24. Значение критерия Дарбина- Уотсона для ряда остатков d = 0,9. При уровне значимости 0,05 можно считать, что: а) модель адекватна реальному процессу по данному критерию; б) модель не адекватна реальному процессу по данному критерию; в) нет достаточных оснований для принятия решения об адекватности модели. 13. Программа выдала следующие характеристики ряда остатков: Длина ряда n = 24; Коэффициент асимметрии А = 0,7; Коэффициент эксцесса Э = –0,5. С помощью этих характеристик можно проверить гипотезу о: а) нормальном характере распределения ряда остатков; б) наличии автокорреляции в остатках; в) случайном характере ряда остатков. 14.Тенденция изменения среднегодовой численности промышленно- производственного персонала предприятия за 10 лет (t = 1, 2, ...,10) описывается показа- тельной функцией t t y 026 , 1 579 € ⋅ = Из этой модели следует, что среднегодовой темп роста численности промышленно- производственного персонала предприятия составил: а) 5,79%; б) 102,6%; в) 2,6%; г) 26%. 15. Для описания экономических процессов, имеющих предел роста (процессов «с насыщением»), могут использоваться следующие кривые роста: а) прямая; б) парабола; в) модифицированная экспонента. 16. На основе годовых данных об изменении урожайности картофеля в регионе с 1989 г. по 1998 г. (t = 1, 2, ..., 10) были оценены коэффициенты линейного тренда: t y t 1 , 5 5 , 180 € + = Из этой модели следует, что среднегодовой прирост урожайности составлял: а) 5,1 ц/га; б) 180,5 ц/га; в) (180,5+5,1) ц/га. 17. По данным задания №16 рассчитать интервальный прогноз урожайности картофе- ля в 1999 г., если дисперсия отклонений фактических значений от расчетных 81 2 = y S (ц/га) 2 Доверительную вероятность принять равной 0,9. (См. табл. 4.1 в учебном пособии). Верхняя граница прогноза равна: а) 216,3 ц/га; б) 256,9 ц/га; в) 290,9 ц/га. ПРАКТИКУМ 82 18. Какие модели способны учитывать различную информационную ценность уровней временного ряда: а) кривые роста; б) адаптивные модели прогнозирования; в) простые скользящие средние. 19. Для временного ряда курса акций рассчитывалась экспоненциальная средняя при значении параметра адаптации α = 0,1 и экспонециальная средняя при значении пара- метра адаптации α = 0,5. Указать, какой ряд носит наиболее гладкий характер и меньше подвержен случайным колебаниям: а) исходный ряд; б) экспоненциальная средняя при α = 0,1; в) экспоненциальная средняя при α = 0,5. 20. В модели экспоненциального сглаживания увеличение значения параметра адаптации α: а) приводит к увеличению весов при более поздних уровнях ряда; б) приводит к увеличению весов при более ранних уровнях ряда; в) не влияет на изменения весов при различных уровнях ряда. 21. Представление уровней временного ряда в виде: t t t t ε s u y + + = , где u t — тренд; s t — сезонная компонента; ε t — случайная компонента, соответствует: а) мультипликативной модели; б) аддитивной модели; в) модели смешанного типа. 22.Прогнозное значение остатков вкладов населения в банках на начало июля 1995 г. составляло 47806 млрд. руб. Фактическое же значение оказалось равным 45416 млрд. руб. Модуль относительной ошибки прогноза равен: а) 5,3%; б) 15,8%; в) 23%. 23. Для временного ряда урожайности зерновых культур (см. задание №2) рассчитывается экспоненциальная средняя. В качестве начального значения экспо- ненциальной средней S 0 берется среднее значение трех первых уровней. Пара- метр адаптации α = 0,2. Значение экспоненциальной средней для первого уровня ряда равно: а) 14,4 ц/га; б) 20,3 ц/га; в) 9,5 ц/га. ПРАКТИКУМ 83 24. Используя метод Фостера-Стюарта, проверьте гипотезу об отсутствии тенден- ции в изменении курса акции промышленной компании, если наблюдаемое значение кри- терия t набл = 4,5; критическое значение t кр = 2,093. Следовательно: а) гипотеза об отсутствии тенденции не отвергается; б) гипотеза об отсутствии тенденции отвергается; в) требуется использование более мощного критерия. 25. Для временного ряда остатков t e (t = 1, 2, …,18) получены следующие значения: 950 ) ( 500 18 2 2 1 18 1 2 ∑ ∑ = − = = − = t t t t t e e e Значение критерия Дарбина-Уотсона для ряда остатков равно: а) 1,9; б) 0,5; в) 450; г) –0,5. 26. Значение коэффициента автокорреляции может быть равно: а) 5; б) 0,5; в) –1,5; г) –0,9. 27. На основе годовых данных об изменении численности занятых в народном хо- зяйстве с 1990 г. по 1996 г. оценены коэффициенты линейного тренда: t y t 615 , 1 5 , 70 € − = В соответствии с этой моделью численность занятых в среднем ежегодно: а) сокращалась на 1,615 млн. чел.; б) увеличивалась на 1,615 млн. чел.; в) сокращалась на (70,5-1,615) млн. чел.; г) сокращалась на 70,5 млн. чел. 28. На основе квартальных данных об объемах продаж продукции фирмы (тыс.шт.) за 5 лет была построена тренд-сезонная модель. Уравнение тренда имело вид: t y t 17 , 0 2 , 25 + = ) , (t = 1,2,…,20). Сезонность носила мультипликативный характер. Оценки коэффициентов сезонно- сти представлены в таблице. Квартал 1 2 3 4 Коэффициент сезонности 0,89 1,15 1,25 0,71 Прогнозная оценка уровня продаж во втором полугодии следующего года равна… (Точность ответа — два знака после запятой). ПРАКТИКУМ 84 29. На основе квартальных данных о прибыли компании (тыс. долл.) за 5 лет была построена тренд-сезонная модель. Уравнение тренда имело вид: t y t 8 , 0 2 , 35 + = ) , (t = 1, 2, …, 20). Сезонность носила аддитивный характер. Оценки сезонной составляющей пред- ставлены в таблице. Квартал 1 2 3 4 Сезонная составляющая -0,8 -1,1 1,3 0,6 Прогнозная оценка уровня прибыли компании в первом полугодии следующего го- да равна… (Точность ответа — два знака после запятой). 30. В модели экспоненциального сглаживания параметр адаптации α может быть равен: а) –0,9; б) 0,9; в) 0,5; г) –1,5. ПРАКТИКУМ 85 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие виды временных рядов вы знаете? Приведите примеры. 2. Поясните, в чем состоят характерные отличия временных рядов от пространствен- ных выборок? 3. Какие требования предъявляются к временным рядам как к исходной информации при прогнозировании? 4. Как рассчитываются средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста? Когда правомерно использовать средний абсолютный прирост и средний темп роста для расчета прогнозов? 5. Как на стадии графического анализа динамики временного ряда можно определить характер сезонности (аддитивный или мультипликативный)? 6. Охарактеризуйте компоненты временных рядов. Что такое мультипликативная (ад- дитивная) модель временного ряда? 7. Объясните назначение скользящих средних. Влияние каких компонент временного ряда устраняется с их помощью? 8. Поясните, когда целесообразно использовать простые скользящие средние, а для ка- ких временных рядов предпочтительнее применение взвешенных. 9. Приведите алгоритм расчета простых скользящих средних. 10. В чем отличие алгоритма расчета взвешенных скользящих средних от простых? 11. Сколько значений теряется при использовании скользящей средней с длиной интер- вала сглаживания 1 2 + = p l ? Какие приемы восстановления потерянных уровней по- сле реализации процедур сглаживания используются на практике? 12. Как рассчитываются простые скользящие средние при четной длине интервала сгла- живания? 13. Каким образом определены весовые коэффициенты, используемые для расчета взве- шенных скользящих средних? 14. Охарактеризуйте основные типы кривых роста, наиболее часто используемые на практике при построении трендовых моделей. 15. Назовите важнейшие характеристики точности моделей прогнозирования. 16. Каким образом определяется значение критической статистики в тесте Дарбина- Уотсона? 17. Опишите алгоритм проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции первого по- рядка в остатках модели с помощью критерия Дарбина-Уотсона. 18. Поясните, почему при отсутствии автокорреляции в остатках расчетное значение статистики Дарбина-Уотсона «не слишком отличается» от 2. 19. Какова интерпретация коэффициентов линейной трендовой модели? ПРАКТИКУМ 86 20. Какова интерпретация коэффициентов показательной трендовой модели t t ab y = ) ? 21. Для каких целей может быть использован метод Фостера-Стюарта? 22. Укажите характерные особенности адаптивных методов прогнозирования. 23. Какие типы адаптивных моделей вы знаете? 24. Чем объясняется название «экспоненциальная средняя»? 25. Какую роль играет параметр адаптации α в процедуре экспоненциального сглажи- вания? Как влияет значение параметра адаптации α на характер сглаженного ряда? 87 Тесты |