Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ (Детерминированная финансовая математика. Простые проценты В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат. Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции ириска млн. руб, полученных через год, неравноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные. Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения – например, в бухучете (для получения итогов по периодами в финансовом контроле. В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов. Проценты и процентные ставки Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме предоставление денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.). При заключении финансового или кредитного соглашения стороны кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки – отношения суммы процентных денег, выплачиваемых зафиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью доили даже Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы. В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором – сложными процентными ставками. Процентные ставки могут быть постоянными (фиксированными) или переменными плавающими. В первом случае размер фиксированной ставки однозначно указывается в контракте. Во втором – указывается изменяющаяся во времени базовая ставка база) и размер надбавки к ней (маржи. Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком ссудной операции и т.д.). Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5-5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи. Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем. Формула наращения по простым процентам Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока. Пусть P – первоначальная сумма денег, i – ставка простых процентов ниже она выражена в долях, в частности десятичных, первоначальной суммы. Начисленные проценты за один период равны Pi, аза периодов Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i) и т.д. до Первый член этой прогрессии равен P, разность Pi, а последний член, определяемый как S = является наращенной суммой (суммой, наращенной к концу го промежутка начисления. Формула (2.1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых первоначальной суммы и суммы процентов I процентных денег) S=P+I, (2.2) где I=Pni. (2.3) Процесс роста суммы долга по простым процентам можно представить графически (см. Рис. 2.1). При начислении простых процентов поставке за базу берется первоначальная сумма долга – точка P на оси Полагая, что формула (2.1), выведенная для целых n, справедлива для любых нецелых промежутков начисления t, получаем линейный рост наращенной суммы S со временем Рис. 2.1. Наращение по простой процентной ставке Пример 2.1. Рассчитаем проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100000 руб, срок долга 1,5 года приставке простых процентов, равной 15% годовых. Решение. По формулами) находим = 100000 1,50,15 = 22500 руб. – проценты за 1,5 года = 100000+22500 = 122500 руб. – наращенная сумма. Практика начисления простых процентов. Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжитель- О 47 ности ссуды менее года необходимо выяснить какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби n=t/K, (2.4) где n - срок ссуды (измеренный в долях года - число дней в году (временная база - срок операции (ссуды) в днях. Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой. Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом. В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году 365 или 366. Расчет числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляется фактическое число дней между двумя датами, во втором – продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, при этом продолжительность всех месяцев приближенно полагается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день. Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике: а) точные проценты сточным числом дней ссуды (схема 365/365, британская практика); б) обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды (схема, французская практика); в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды схема 360/360, германская практика Вариант расчета сточными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется Пример 2.2. Ссуда размером 1000000 руб, выдана 21 января 2001 г. до 3 марта 2000 г. приставке простых процентов, равной 20% годовых. Найти а) точные проценты сточным числом дней ссуды б) обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Решение. Используя формулы (2.3) и (2.4) и I=Pni = Pit / K, получим: а) K = 365, t = 41, I = 1000000 0.241/365 = 22465,75 руб. б) K = 360, t = 41, I = 1000000 0.241/360 = 22777,78 руб. в) K = 360, t = 43, I = 1000000 0.243/360 = 23888,89 руб. Простые переменные ставки. Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид = P (1+n 1 i 1 +n 2 i 2 +...) = где P - первоначальная сумма (ссуда, i t - ставка простых процентов в периоде с номером t, n t - продолжительность периода с номером t, те. периода начисления поставке Пример 2.3. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим множитель наращения завесь срок договора 49 1+ 4 1 t t t i n = 1+0,25 0,10+0,250,09+0250,08+0,250,07 =1,085. 2.1.5. Дисконтирование и учет по простым ставкам В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности D = S - P называются дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов) путем наращения суммы ссуды и (2) вычислением скидки с конечной суммы долга. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование. Приведение – это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то – наращение. Известны два вида дисконтирования математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S=P(1+ni), то в обратной 50 P S ni 1 Дробь в правой части равенства (2.6) при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен = S - Пример 2.4. Через 90 дней после подписания договора, должник уплатит рублей. Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обыкновенные. Какова первоначальная сумма и дисконт? Решение. Применяя формулы (2.6) и (2.7), получим = S / (1 + ni) = 1000000 / (1+0.20 90/360) = 952380,95 руб = S – P = 1000000 - 952380,95 = 47619,05 руб. Банковский или коммерческий учет. Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, те. приобретает (учитывает) его с дискон- том. Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую мы обозначим символом По определению, простая годовая учетная ставка находится как Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен = откуда = S - D = S – Snd = S(1-nd). (2.10) Множитель (1-nd) называется дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням. Пример 2.5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель учетной ставке 20% годовых (год равен 360 дням. Определить полученную предприятием сумму и дисконт? Решение. Используем формулы (2.9) и (2.10): D = Snd = 1000000 0.290/360 = 50000 руб = S - D = 1000000 – 50000 = 950000 руб. Сложные проценты Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово- кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i) 2 , через n лет – P(1+i) n . Таким образом, формул наращения для сложных процентов имеет вид = где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+i) n – множитель наращения В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, те. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Пример 2.6. В кредитном договорена сумму 1000000 руби сроком на 4 года – зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Рассчитать наращенную сумму. Решение. Используя формулу (2.11), получим = 1000000 (1+0.2) 4 = 2073600 руб. Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид k ( ) ( ) . . . ( ) , 1 1 1 1 1 где i 1 , i 2 ,..., i k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1 , n 2 ,..., n k соответственно. Пример 2.7. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% впервые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Вычислить величину множителя наращения за 4 года. Решение. Следуя формуле (2.12), получим, что искомый множитель равен (1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704. 2.2.3. Номинальная и эффективная ставки процентов. Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капита- лизируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют поставке Ставка j называется номинальной Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле где N – число периодов начисления (N = mn, может быть и дробным чис- лом). Пример 2.8. Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка – 60% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Вычислить наращенную сумму. Решение. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется N = (28/3) кварталов. Число периодов начисления в году m = 4. По формуле (2.13) находим = 20000000 (1+ 0.60 / 4) (28/3) = 73712844,81. руб. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и разовое наращение в год поставке Если проценты капитализируются m разв год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения: (1+i э ) n =(1+j/m) mn , (2.14) где э- эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением i э =(1+j/m) m -1. (2.15) Обратная зависимость имеет вид j=m[(1+i э ) 1/m -1]. (2.16) Пример 2.9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых. Решение. По формуле (2.15) находим i э =(1+0,1/4) 4 – 1 = 0,1038, те. 10,38%. Пример 2.10. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых. Решение. По формуле (2.16) находим = 4 [(1+0,12) (1/4) – те. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов. Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных процентов S = и решим ее относительно P P S i S v n n 1 1 ( ) , (2.17) где v i i n n n 1 учетный или дисконтный множитель. Пример 2.11. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1000000 руб. Определить ее современную стоимость, при условии, что применяется ставка сложных процентов – 10 % годовых. Решение. По формуле (2.17) находим Р = 1000000 (1+0,10) -5 = 620 921,32 руб. Если проценты начисляются m разв году, то получим m Sv mn mn 1 1 ( / где m j m mn mn mn 1 1 1 ( / ) ( / дисконтный множитель Также, как ив случае начисления простых процентов, величину полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент. Разность D = S - P называют |