Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты

• Название: Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты
• Дата: 25.05.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: 723407.pdf
• Тип: Глава; #548268
• страница: 2 из 4

дисконтом.
Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле = S(1-d
сл
)
n
,
(2.21)
где
d
сл
- сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен = S – P = S - S(1 - d
сл
)
n
= S[1-(1-d
сл
)
n
].
(2.22)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Пример 2.12. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма
1000000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10 % годовых. Определить дисконт. Решение. По формуле (2.21) находим
Р = 1000000
(1 - 0,10)
5
= 590490,00 руб = S – P = 1000000 – 590490 = 409510 руб. Непрерывные проценты
2.3.1. Наращение и дисконтирование. Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле
S=P(1+j/m)
mn
,
где j - номинальная ставка процентов,
m - число периодов начисления процентов в году

Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m
 имеем
n
m
m
mn
m
m
j
P
m
j
P
S
]
)
/
1
[(
lim
)
/
1
(
lim






(2.23)
Используя известный из математического анализа второй замечательный предел, можно записать
j
j
j
m
m
m
m
e
m
j
m
j








]
)
/
1
[(
lim
)
/
1
(
lim
/
,
где e - основание натуральных логарифмов.
Подставляя полученное выражение в формулу (2.23), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов поставке равна
S=Pe
jn
(2.24)
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов отставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом
. С учетом введенного обозначения равенство (2.24) принимает вид
S=Pe
n
(2.25)
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок. Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретными наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения

Из записанного равенства следует, что
=ln(1+i),
(2.28)
i=e

-1.
(2.29)
Пример 2.13. Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?
Решение. Воспользуемся формулой (те. эквивалентная сила роста равна 13,976%.
2.3.3. Расчет срока ссуды и процентных ставок
В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.
Срок ссуды.
А) При наращивании по сложной годовой ставке Из исходной формулы наращения
S=P(1+i)
n
следует, что P
i


log( / где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, таки в знаменателе.
Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m разв году из формулы
S=P(1+j/m)
mn
получаем

58
n
S
P
m
j В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы
P=S(1-d)
n
имеем
n
P
S
d


lo g (
/
)
lo g (Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке m разв году. Используя равенство
P=S(1-f/m)
mn
,
приходим к формуле S
m
f
m


log( / )
log(
/ Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из
S=Pe
n
получаем
ln(S/P)=
n.
(2.34)
Расчет процентных ставок. Из тех же исходных формул, что ивы- ше, получим выражения для процентных ставок.
А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения
S=P(1+i)
n
следует, что Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m разв году из формулы

получаем n














1 1
/ (В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы
P=S(1-d)
n
имеем
 
d
P
S
n
 
1 Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке m разв году. Из
P=S(1-f/m)
mn
приходим к формуле n














1 1 / (Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из
S=Pe
n
,
получаем
 




1
n
S
P
ln
(2.39)
2.4. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения
Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J
n
. Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса центе. Напомним, что индекс цен показывает во сколько раз выросли цены за рассматриваемый промежуток времени

60
2.4.1. Наращение по простым процентам. Если наращенная залет сумма денег составляет S, а индекс цен равен J
p
, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна
C=S/J
p
(2.41)
Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост ценза год) равен h. Тогда годовой индекс цен составит Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит
C
P
ni
J
p


(
)
,
1
(2.42)
где в общем случае ив частности, при неизменном темпе роста цен Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-
ставкой. Брутто-ставка, которую мы будем обозначать символом r, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента 1

 откуда J
n
p



(
)
1 1
(2.47)

61
2.4.2. Наращение по сложным процентам. Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (те. в неизменных рублях) составит
C
P
i
J
n
p


(
)
,
1
(2.48)
где индекс цен определяется выражением (2.43) или (2.44), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.
В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется приставке Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.
А) Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r. Считая, что годовой темп инфляции равен можем написать равенство соответствующих множителей наращения 1
1


 где i - реальная ставка.
Отсюда
r=i+h+ih.
(2.50)
То есть инфляционная премия равна Б) Индексация первоначальной суммы P. В этом случае сумма корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда
S=PJ
p
(1+i)
n
(2.51)
Нетрудно заметить, что ив случае Аи в случае Б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (2.51). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два – корректировку ставки процента

62
2.4.3. Измерение реальной ставки процента. На практике приходится решать и обратную задачу – находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i поза- данной (или объявленной) брутто-ставке При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна 1 1 При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением h
h



 


1 1
1 1
(2.53)
2.4.4. Учет налогов. В ряде стран проценты, получаемые кредитором или вкладчиком, облагаются налогом. Это, конечно, уменьшает величину реально получаемой наращенной суммы. Расчет этой суммы можно представить следующим образом.
Обозначим наращенную сумму до уплаты налогов, как и раньше, через, а после уплаты через C. Пусть ставка налога равна Тогда при начислении простых процентов получаем, что сумма налога равна Ig = (S-P)g, а наращенная сумма после уплаты налогов = S-(S-P)g = S(1-g)+Pg = Это выражение означает, что при начислении простых процентов учет налога сводится к соответствующему сокращению процентной ставки для получения реального наращения следует вместо ставки i применять ставку При начислении налога на сложные проценты, применяемые обычно в среднесрочных и долгосрочных операциях, возможны два варианта

расчета определение налога завесь срок сразу или расчет процентов за каждый год в отдельности. Первый вариант удобен, когда налоговая ставка в пределах облагаемого налогом периода, остается неизменной. Второй оказывается единственно возможным, когда налоговая ставка из года в год меняется.
В первом варианте расчета сумма налога завесь срок равна а наращенная сумма после выплаты налога рассчитывается по формуле = S-(S-P)g = S(1-g)+Pg = Во втором варианте сумма налога рассчитывается за каждый истекший год. Поскольку речь идет о сложных процентах, ясно, что сумма процентов будет из года в год возрастать, соответственно будет изменяться и сумма налога. Обозначим сумму налога за год t через G
t
. Ее можно найти с помощью следующего рекуррентного соотношения
G
t
=I
t
g=(S
t
-S
t-1
)g=P[(1+i)
t
-(1+i)
t-1
]g.
(2.57)
Если налоговая ставка постоянна, то сумма налогов завесь срок, рассчитанная первым способом, равна сумме налогов, рассчитанных за соответствующие годы вторым способом. Потоки платежей
Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплати поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления – положи- тельными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.
Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки. Финансовые ренты и их классификация. Поток платежей,
все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры член ренты – величина каждого отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту

Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признаками. Рассмотрим их.
В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и срочные, где p – число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m разили непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.
По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты. По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты выступают, например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту времени ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, ау отложенных запаз- дывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся вначале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты. Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента.
Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по
R рублей, сложные проценты начисляются один разв год поставке. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины
R(1+i)
n-1
, так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится дои т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии. . . + в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Как известно из курса школьной алгебры, эта сумма равна s
n
n
n i



 




(
)
(
)
(
)
;
1 1
1 1
1 где
s
i
i
n i
n
;
(
)



1 называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами.
Пример 2.13. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб, на которые 1 разв год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение. По формуле (2.58) находим

67 1
,
33 1
,
0 1
)
1
,
0 1
(
10 Годовая рента с начислением процентов m разв году. Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один разв конце года, а проценты начисляют m разв году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
R(1+j/m)
m(n-1)
, R(1+j/m)
m(n-2)
, . . . , Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)
m
, а число членов равно n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна n
m





(
/
)
(
/
)
1 1
1 Пример 2.14. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб, на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

1   2   3   4