Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты

• Название: Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты
• Дата: 25.05.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: 723407.pdf
• Тип: Глава; #548268
• страница: 4 из 4

сложных процентов. Ограничимся одним вариантом.
ВАРИАНТ: ВАЛЮТА РУБЛИ  РУБЛИ ВАЛЮТА
Три этапа такой операции описываются следующей формулой для наращенной суммы K
i
K
v
v
n


0 1
1 где i – ставка сложных процентов.
Множитель наращения 


(
)
(
)
1 1
0 где
k

K
K
1 0
– темп роста валютного курса за период операции.
Определим доходность операции в целом в виде годовой ставки сложных процентов i
э
Из формулы наращения по сложным процентам
S=P(1+i)
n
следует, что
i
S
P
э
v
v
n

 1 Подставив в эту формулу значение из формулы (2.88), получим
i
P
i
K
K
P
i
k
э
v
n
v
n
n


 


(
)
1 1
1 1
0 Из этого выражения видно, что с увеличением темпа роста k эффективность i
э
падает. Это показано на графике (см. рис. 2.4)

Рис. Зависимость доходности i
э
от темпа роста обменного курса соотношение (2.89) Анализ показывает, что при k = 1 э i, при k>1 э, а при k<1 i
э
>i.
Критическое значение k = k
*
, при котором эффективность операции равна нулю, те. э 0, определяется как
k
*
= (что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке ВЫВОД 5: Если ожидаемые величины k или K
1
больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конверсией явно убыточна (i
э
<0).
Максимально допустимое значение k, при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств поставке (точка k = a на рис. 2.4), находится из равенства соответствующих множителей наращения откуда 1
или max
K
K
i
j
n
1 0
1 1









(2.92)
a
1
k
*
k
i
э
j
i
О

ВЫВОД 6: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K
1
2.6.2. Погашение задолженности частями. Контур финансовой операции. Контур финансовой операции это графическое изображение процесса погашения краткосрочной задолженности частичными (промежуточными) платежами.
Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике (см. рис. Пусть ссуда в размере D
0
выдана на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа R
1
и R
2
, а в конце срока выплачивается остаток задолженности, подводящий баланс операции (фрагмента) рисунка 2.5).
D
0
R
1
R
2
R
3
а)
O
t
1
t
2
t
3
=T
t
D
1
б)
O
t
1
t
2
t
3
= Рис. 2.5. К понятию контура финансовой операции

На интервале времени t
[0;t
1
] задолженность возрастает до величины. В момент долг уменьшается до величины K
1
= D
1
-R
1
и т.д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R
3
. В этот момент задолженность полностью погашается.
Назовем график типа б) контуром финансовой операции. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, те. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами. С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года. Второй метод назван правилом торговца. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года.
Замечание: При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных перио- дов.
Актуарный метод. Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.
Для случая, показанного на фрагменте б) рисунка 2.5, получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности

83
K
1
= D
0
(1+t
1
i)-R
1
; K
2
= K
1
(1+t
2
i)-R
2
; K
2
(1+t
3
i)-R
3
= где периоды времени t
1
, t
2
, t
3
- заданы в годах, процентная ставка i - годовая.
Правило торговца. Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации. Если срок ссуды не превышает года, сумма долга с начисленными завесь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами) В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.
При общем сроке ссуды T
1 алгоритм можно записать следующим образом i
R
t i
j
j
j
m








(
)
(
)
1 где - остаток долга наконец срока - наращенная сумма долга - наращенная сумма платежей- сумма частичного платежа- интервал времени от момента платежа до конца срока - число частичных (промежуточных) платежей. Переменная сумма счета и расчет процентов
Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегательный счет, ив течение срока хранения денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. В этом случаев банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел. Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число C
j
за прошедший период j, в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по формуле t
j
j где t
j
– длительность го периода в днях. Для определения суммы процентов, начисленной завесь срок, все процентные числа складываются, и их сумма делится на постоянный делитель где K - временная база (число дней в году, те. 360 либо 365 или же 366), i - годовая ставка простых процентов (в При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.
Пример 15. Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P
1
= 3000 руб, процентная ставка по вкладу равнялась i = 20% годовых. Дополнительный взнос насчет составил R
1
= 2000 руби был сделан августа. Снятие со счета в размере R
2
= - 4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.
Решение. Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной с 20 февраля по 15 августа (P
1
= 3000, t
1
= 10+5
30+15=175), с 15 августа по 1 октября (P
2
= P
1
+R
1
= 3000+2000 = 5000 руб, t
2
= 15+30+1 = 46), с 1 октября по 21 ноября (P
3
= P
2
+R
2
= 5000-4000 = 1000 руб, t
3
= 29+21 = Найдем соответствующие процентные числа 100 175 3000 100 1
1 1





t
P
C
,
2300 100 46 5000 100 2
2 2





t
P
C
,

85 500 100 50 1000 100 3
3 Вычислим постоянный делитель = K/i = 360/20 = Сумма процентов равна 447 18 500 2300 5250
/
)
(
3 2
1
коп
руб
D
C
C
C
I







Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна = 1000+447.22 = 1447 руб. 22 коп.
Теперь покажем связь этой методики с формулой простых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представленный выше пример.
Cумму, выплачиваемую при закрытии счета, можно рассчитать последующей схеме t
P
R
R t
i
K
3 1
1 2
1 1 1
1 2
1 1
2 3
100
  








(
)
(
)


 

















P
t
t
t
K
i
R
t
t
K
i
R
t
K
i
1 1
2 3
1 2
3 2
3 1
100 1
100 Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца, рассмотренному в пункте
2.6.2.
2.6.4. Изменение условий контракта. В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств водно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так

называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных – сложные ставки. Если в контрактах фигурируют потоки платежей, то при их пересмотре (например, при изменении частоты или размера выплат, сокращении или увеличении срока ренты, отсрочке платежей, выкупе или досрочном погашении остатка ренты) составляется уравнение эквивалентности для приведенных величин потоков по старым условиями по новым условиям. Эквивалентный переход от одной ставки к другой
В связи стем, что контракты могут быть составлены с использованием различных видов ставок, то для сопоставления их доходности возникает необходимость в установлении правил эквивалентного приведения различных ставок к ставке одного вида. Формулы, устанавливающие правила эквивалентного перехода от одной ставки к другой, выводятся на основе принципа финансовой эквивалентности результатов наращения (или дисконтирования) по этим ставкам. Следовательно, для их получения достаточно приравнять соответствующие множители наращения (или дисконтирования. Например, для того, чтобы установить эквивалентность между простой ставкой наращения i и простой учетной ставкой d, воспользуемся исходными формулами
S=P(1+ni)
и Из второй формулы следует, что Приравняем множители наращения
1+ni=1/(1-nd),
откуда получаем две формулы эквивалентного перехода

Заметим, что соотношения между этими ставками зависят от срока n.
Точно также можно вывести формулы эквивалентного перехода для любой другой пары ставок

Задачи к главе Задача 1.1.1. Клиент поместил на депозитный счет 2 000 000 руб, на
2,5 года приставке простых процентов, равной 18% годовых. Определить проценты и наращенную сумму.
Ответ: проценты за 2,5 года I= 900000 руб. наращенная сумма.
S= 2900000 руб Задача 1.2.. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 4 000 000 руб, на срок с 5 января 2000 г. до 20 марта 2000 г. приставке простых процентов, равной 25 % годовых. Рассчитать проценты за пользование кредитом при следующих вариантах их начисления а) точные проценты сточным числом дней ссуды б) обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды Ответа руб б) 243333,33 руб в 246666,67 руб
Задача 1.3. В договоре принята ставка простых процентов на первые
0,5 года в размере 15% годовых, а каждые последующие 0,5 года ставка увеличивается на 5% по сравнению с предыдущей. Срок договора равен 2 годам. Определим множитель наращения завесь срок договора.
Ответ : 1,45

Задача 1.4. Через 180 дней после подписания договора, должник уплатит 2000000 рублей. Кредит выдан под 40 % годовых (проценты обыкновенные. Какова первоначальная сумма долга и дисконт?
Ответ : первоначальная сумма долга P= руб дисконт D=
333333,33 руб
Задача 1.5. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю рублей. Предприятие продало этот вексель в банку. Последний учел вексель по простой учетной ставке 40 % годовых (год равен 360 дням. Определить полученную предприятием сумму и дисконт?
Ответ : полученная сумма P= 1600000,00 руб дисконт D= 400000 руб Задача 1.6. Какой величин достигнет долг 2 000 000 руб , взятый под сложные 30% годовых через 5 лет Ответ : 7 425 860 руб Задача 1.7. В кредитном договоре, сроком на 4 года, зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 10% годовых и маржа 10% в первый год, увеличивающаяся на 5% в каждый последующий год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Ответ : множителя наращения за 4 года равен Задача 1.8. Ссуда размером 1 000 000. руб. предоставлена на 3 года под 60% годовых. Проценты начисляются ежеквартально и капитализи- руются. Вычислить наращенную сумму.
Ответ : 53 50 250,11 руб Задача 1.9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет и капитализирует проценты ежемесячно, исходя из номинальной ставки 10% годовых

Ответ : 0,1047131 те. 10.47131 %
Задача 1.10. Определить какой должна быть номинальная ставка при ежемесячном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 30 % годовых.
Ответ : 0,265253 те. 26.5253%
Задача 1.11. Через 6 лет по обязательству будет будет выплачена сумма 2 000 000 руб. Определить современную стоимость обязательства, при условии, что применяется ставка сложных процентов 15 % годовых. Ответ : 994 353,47 руб.
Задача 1.12. Вексель на сумму 2 000 000 руб, срок погашения которого наступит через 6 лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Определить по какой цене продан вексель и дисконт. Ответ : вексель продан за Р = 754 299,03 руб дисконт D = 1 245
700,97 руб.
Задача 1.13. В фонд ежегодно постнумерандо вносится по 10 000 руб. в течение 10 лет, на которые начисляются сложные проценты 15 % годовых один разв году. Определить сумму наконец срока Ответ : 203 037,18 руб.
Задача 1.14. В фонд ежегодно постнумерандо вносится по 10 000 руб. в течение 10 лет, на которые ежеквартально (m=4) начисляются сложные проценты 15 % годовых . Определить сумму наконец срока Ответ : 211 810,27 руб

Задача 1.15. В фонд ежегодно вносится по 10 000 руб. в течение 10 лет. Платежи производят равными долями в конце каждого квартала. В конце года начисляют сложные проценты поставке годовых . Определить сумму наконец срока Ответ : 214 125,60 руб Задача 1.16. В фонд ежегодно вносится по 10 000 руб. в течение
10 лет. Платежи производят равными долями в конце каждого квартала. На поступления ежеквартально начисляют сложные проценты поставке годовых . Определить сумму наконец срока Ответ : 224 025,25 руб Задача 1.17. В фонд ежегодно вносится по 10 000 руб. в течение 10 лет. Платежи производят равными долями в конце каждого квартала. На поступления ежемесячно начисляют сложные проценты поставке годовых. Определить сумму наконец срока Ответ : 226 504,44 руб Задача 1.18. Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами ежегодные платежи R=10 000 руб, период ренты n = 10 лет. Дисконтирование производится по сложные процентной ставке 15 % годовых. Определить современную стоимость ренты Ответ : 50 187,69 руб.
Тесты к главе Тест 1.1. Что понимают под процентами в финансовых расчетах а) сотую долю от суммы долга б) отношения суммы, выплаченной за пользованием кредита к величине долга

92
в) абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг. Ответ : в)
Тест 1.2. Что понимают под процентной ставкой?
а) сумма , начисляемая за один годна каждые 100 рублей основного долга б) отношения суммы процентных денег, выплачиваемых зафиксированный отрезок времени к величине ссуды ;
в) абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг. Ответ : б)
Тест 1.3. Что понимают под периодом начисления?
а) один год б) интервал времени от момента получения кредита до полного погашения долга в) интервал времени, к которому относится процентная ставка.
Ответ : в)
Тест 1.4. Что понимают под наращенной суммой?
а) первоначальную сумму долга вместе с начисленными на нее процентами к концу срока б) сумму, начисленную за пользование кредитом ;
в) доход, получаемый кредитором, за год. Ответа) Тест 1.5. Укажите формулу наращения по простым процентам.
(а) б) в) P=S(1-ni)
-1

г) Ответ : а)
Тест 1.6. Что понимают под обыкновенным процентом?
а) вариант расчета процентов, при котором за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 365 или 366 дней б) вариант расчета процентов, при котором за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней ;
в) вариантов расчета процентов, когда число дней в каждом месяце принимают равным 30 дрям.
Ответ : б Тест 1.7. Что понимают под точным процентом?
а) вариант расчета процентов, при котором за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 365 или 366 дней б) вариант расчета процентов, при котором за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней в) вариантов расчета процентов, когда число дней пользования кредитом рассчитывают точно.
Ответ : а)
Тест 1.8. Укажите формулу математического дисконтирования в случае применения простой процентной ставки.
(а) б) в) г) Ответ : а)
Тест 1.9. Укажите формулу банковского учета по простой учетной ставке

а) б) в) г) Ответ : г Тест 1.10. Что понимают под сложными процентами?
а) вариант расчета процентов, при котором за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 365 или 366 дней , а число дней ссуды в каждый месяц принимается равным б) вариант расчета, при котором начисленные проценты присоединяют к сумме долга, а полученная сумма служит базой для очередного расчета процентов;
в) вариантов расчета процентов, при котором производят капитализацию процентов.
Ответ : б) и в)
Тест 1.11. Укажите формулу наращения по сложным процентам.
(а) б) в) г) Ответ в)
Тест 1.12. Укажите формулу математического дисконтирования по сложной ставке.
(а) б) в) г) P=S(1-d)
n

Ответ а)
Тест 1.13. Укажите формулу банковского учета по сложной учетной став- ке.
(а) б) в) г) Ответ : г)
Тест 1.14. Что такое рента постнумерандо?
(а) Рента, образуемая платежами после некоторого указанного момента времени.
(б) Рента, платежи которой поступают в конце каждого периода.
(в) Рента, платежи которой скорректированы с учетом инфляции.
(г) Рента, платежи которой скорректированы на величину налога.
Ответ : б)
Тест 1.15. Что такое рента пренумерандо?
(а) Рента, образуемая платежами до некоторого указанного момента времени.
(б) Рента, платежи которой поступают вначале каждого периода.
(в) Рента, платежи которой поступают до корректировки на инфля- цию.
(г) Рента, платежи которой поступают до корректировки на величину налога
Ответ : б)
1.
Тест 1.16. Что такое срочная рента

а) Рента со сроком p лет.
(б) Рента с периодом начисления процентов p лет.
(в) Рента с p платежами в году.
(г) Рента с p начислениями процентов в году.
Ответ : в)
Список рекомендуемой литературы
Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. -изд. испр. и доп. -М Дело Лтд, 1995. -320 с.
Четыркин ЕМ. Финансовая математика. Учебник. М АНХ, «ДЕЛО».-
2000.
Малыхин В.И. Финансовая математика. М ЮНИТИ, 1999 247 с.
Кочович Е. Финансовая математика Теория и практика финансово- банковских расчетов Перс серб Предисловие Е.М.Четыркина. -М Финансы и статистика, 1995.
Ковалев В.В. Сборник задач по финансовому анализу Учеб. пособие. -М Финансы и статистика, 1997.-128 с.
Соболева ТО. Сборник задач по банковскому делу. -М МЭСИ, 1997.-37 с.
Балабанов И.Т. Сборник задач по финансами финансовому менеджменту. М Финансы и статистика, 1997.-78 с

1   2   3   4