Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты

• Название: Методы финансовых расчетов детерминированная финансовая математика. Простые проценты
• Дата: 25.05.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: 723407.pdf
• Тип: Глава; #548268
• страница: 3 из 4

Решение. По формуле (2.60) находим = 10
[(1+0,1/4)
3
4
– 1] / [(1+0,1/4)
4
– 1] = 33.222 млн. руб.
Рента срочная, m=1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p разв году равными платежами, а проценты начисляются один разв конце года. Если R – годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей сна- численными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке

68
R
p
i
R
p
i
R
p
i
R
p
n
p
n
p
n
p
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
1 1
1 1
2 у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)
1/p
, общее число членов Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
)
(
;
/
1
/
1
)
/
1
(
]
1
)
1
[(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
p
i
n
p
n
p
np
p
Rs
i
p
i
R
i
i
p
R
S












,
(2.61)
где коэффициент наращения срочной ренты при m = Пример 2.15. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год те. по 10/4 млн. руб. в квартал, на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение. По формуле (2.61) находим = (10/4)
[(1+0,1)
3
– 1] / [(1+0,1)
1/4
– 1] = 34.317 млн. руб.
Рента срочная, p = m. В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей в году и число начислений процентов m совпадают, те. p = m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за периода не за год. Таким образом получаем

69
S
R
m
j m
j m
R
j m
j
mn
mn







(
/
)
/
(
/
)
1 1
1 Пример 2.16. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год те. по 10/4 млн. руб. в квартал, на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение. По формуле (2.63) находим = 10
[(1+0,1/4)
3
4
– 1] / 0,1 = 34.489 млн. руб.
Рента срочная, p
1, m1. Это самый общий случай срочной ренты с начислением процентов m разв году, причем, возможно p
 Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
R
p
j
m
R
p
j
m
m n
p
mn m p
1 Второй член ренты к концу срока возрастет дои т.д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель – (1+j/m)
m/p
, число членов – В результате получаем наращенную сумму
]
1
)
/
1
[(
1
)
/
1
(
1
)
/
1
(
1
)
/
1
(
/
/
)
/
(











p
m
mn
p
m
np
p
m
m
j
p
m
j
R
m
j
m
j
p
R
S
(2.64)
Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и Пример 2.17. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (p = 4) равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (те. по 10/4 млн. руб. в квартал, на которые ежемесячно

70
(m = 12) начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых . Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение. По формуле (2.64) находим = (10/4)
[(1+0,10/4)
3
4
– 1] / [(1+0,10/4)
12/4
– 1] = 34.5296 млн. руб. Формулы современной величины. Обычная годовая рента.
Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один разв конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
R
i
R v
1 где
v
i


1 1
- дисконтный множитель.
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию Rv,
Rv
2
, Rv
3
, ..., Rv
n
, сумма которой равна v
v
v
R
i
i
R a
n
n
n i




 


1 1
1 где
a
i
i
n i
n
;
(
)

 

1 1
(2.66)
– коэффициент приведения ренты.
Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим на компьютере.
Пример 2.18. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.
Решение. По формуле (2.65) находим
А = 10
[1- (1+0.1)
-3
]/0.1 =24.868 млн. руб

Рента срочная, p
1, m1. Рассуждения, аналогичные выполненным в предыдущем пункте, позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений и m
A
R
j m
p
j m
mn
m p

 



1 1
1 от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных p и m.
2.5.4. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты. Пусть A – современная величина годовой ренты постнуме- рандо, а S – ее наращенная стоимость к концу срока n, p = 1, m = Покажем, что наращение процентов на сумму A залет дает сумму, равную S:
A
i
R
i
i
i
R
i
i
S
n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
1 1


 Отсюда же следует, что дисконтирование S дает а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями Определение параметров финансовой ренты. Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости A остальных параметров ренты R, n, i, p, m. Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.
Определение размера ежегодной суммы платежа R. В зависимости оттого, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана –
S или A, – возможны два следующих варианта расчета
R=S/s
n;i
(2.72)
или
R=A/a
n;i
(2.73)
Определение срока постоянной ренты. Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Разрешая исходные формулы для S и A
S
R
i
i
n



(
)
1 1
и
A
R
i
i
n

 

1 относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения и ln(
)
1 Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при Определение ставки процентов. Для того чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида или
A
R
i
i
n




1 которые эквивалентны двум другим или
1 1
 



(
)
;
i
i
A
R
a
n
n i
(2.75)

В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка
i. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений метод линейной интерполяции, метод Ньютона-Рафсона и др. Мы рассмотрим только первый из них.
Прежде всего нужно найти с помощью прикидочных расчетов нижнюю (ни верхнюю (в) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (2.75) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится последующей интерполяционной формуле
i
i
s
s
s
s
i
i
н
н
в
н
в
н





(
)
,
(2.76)
в которой s
в
и в- значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок нив соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (2.76), заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение коэффициента наращения (или приведения. Практические приложения теории Рассмотрим некоторые практические приложения изложенной выше теории. Покажем, как полученные нами формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов. Конверсия валюты и начисление процентов. Рассмотрим совмещение конверсии (обмена) валюты и наращение простых процентов,
сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов. Без конверсии. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов. С конверсией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту. Без конверсии. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов. С конверсией. Рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли.
Операции без конверсии не представляют сложности. В операции наращения с двойной конверсией имеются два источника дохода начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем. Изменение же обменного курса может быть как в ту, таки в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, таки приводить к потерям. Далее мы конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конверсию.
Предварительно введем следующие обозначения- сумма депозита в валюте- сумма депозита в рублях- наращенная сумма в валюте- наращенная сумма в рублях- курс обмена вначале операции (курс валюты в руб

75
K
1
- курс обмена в конце операции - срок депозита - ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби - ставка наращения для конкретной валюты. ВАРИАНТ ВАЛЮТА РУБЛИ  РУБЛИ ВАЛЮТА
Операция состоит из трех этапов обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит K
n i
K
v
v


0 1
1 Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей.
Множитель наращения с учетом двойного конвертирования равен 1
1 0
1 где k=K
1
/K
0
- темп роста обменного курса за срок операции.
Мы видим, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной с обменным курсом в конце операции или с темпом роста обменного курса Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конверсией по схеме ВАЛЮТА РУБЛИ  РУБЛИ ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна n
эфф
v
v
v


Подставим в эту формулу записанное ранее выражение для S
v

76
i
K
K
ni
n
k
ni
n
n
эфф






0 1
1 1
1 1 Таким образом с увеличением k доходность i
эфф
падает по гиперболе с асимптотой -1/n. См. рис. Рис. Зависимость доходности i
эфф
от темпа роста обменного курса Исследуем особые точки этой кривой. Отметим, что при k=1 доходность операции равна рублевой ставке, те. i
эфф
=i. При k>1 i
эфф
, а при
k<1 i
эфф
>i. На рис. 1 видно, при некотором критическом значении k, которое мы обозначим как k
*
, доходность (эффективность) операции оказывается равной нулю. Из равенства i
эфф
= 0 находим, что что в свою очередь означает ВЫВОД 1: Если ожидаемые величины k или K
1
превышают свои критические значения, то операция явно убыточна (i
эфф
<0).
Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K
1
, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойного конвертирования не даст никакой дополнительной выгоды. Для нахождения такого обменного курса, приравняем множители наращения для двух альтернативных операций 1
i i
1+ni
i
эфф
k

77 1
1 Из записанного равенства следует, что max K
K
ni
nj
1 0
1 или ВЫВОД 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max ВАРИАНТ РУБЛИ
 ВАЛЮТА  ВАЛЮТА  РУБЛИ
Рассмотрим теперь вариант с двойной конверсией, когда исходная сумма дана в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы K
P
nj
K
K
r
r
r




0 1
1 0
1 Здесь также множитель наращения линейно зависит отставки, ноте- перь от валютной ставки процентов. От конечного курса обмена он также зависит линейно.
Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конверсией и определим критические точки.
Доходность операции в целом определяется по формуле n
эфф
r
r
r


Отсюда, подставив выражение для S
r
, получаем
i
K
K
nj
n
k
nj
n
эфф






1 0
1 1
1 1
(
)
(
)
(2.85)

Зависимость показателя эффективности i
эфф
от k линейная, она представлена на рис. 2.3.
i
эфф
Рис. Зависимость доходности i
эфф
от темпа роста обменного курса соотношение (2.84) При k = 1 i
эфф
= j, при k>1 i
эфф
>j, при k<1 i
эфф
.
Найдем теперь критическое значение k
*
, при котором i
эфф
= 0. Оно оказывается равным 1
или
nj
K
K



1 ВЫВОД 3: Если ожидаемые величины k или K
1
меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (i
эфф
<0).
Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса завесь срок операции, обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства i
эфф
=i)
K
K
n j
n i
1 0
1 1
(
)

 откуда min
k
ni
nj



1 1
или min
K
K
ni
nj
1 0
1 1



(2.87)
j
1
k*
О

ВЫВОД 4: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min Теперь рассмотрим совмещение конверсии валюты и наращение