Методы обработки ЭД. Методы обработки экспериментальных данных

• Название: Методы обработки экспериментальных данных
• Дата: 28.04.2022
• Размер: 5.37 Mb.
• Имя файла: Методы обработки ЭД.ppt
• Тип: Документы; #503438
• страница: 10 из 10

ВОПРОСЫ ?

АНАЛИЗ ТРЕНДОВ И ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Введение

Временные ряды отличаются от обычных данных об одном временном срезе в том отношении, что в случае временных рядов сама последовательность наблюдений несет в себе важную информацию.


Теперь чтобы охарактеризовать совокупность данных в целом, уже недостаточно знать лишь типичное значение этих данных (среднее значение) или даже изменчивость этой совокупности данных (дисперсия). В этом случае желательно знать, что, скорее всего, произойдет дальше. НУЖЕН ПРОГНОЗ!

Введение

ПРИМЕР. Чтобы составить бюджет на следующий квартал, требуется достоверная оценка ожидаемого объема продаж. Этот прогноз послужит основой для прогнозирования других показателей бюджета (возможно, с помощью регрессионного анализа). Проанализировав временной ряд фактических квартальных объемов продажи за последние несколько лет, можно выдать прогноз, который будет представлять собой наиболее достоверную оценку, базирующуюся на общих тенденциях продаж, с учетом любых сезонных колебаний спроса.


Анализ трендов и сезонности представляет собой непосредственный, интуитивный подход к оцениванию четырех базовых компонентов помесячных или поквартальных временных рядов: долгосрочный тренд (тенденция), сезонность, циклическая вариация и нерегулярный компонент.
Базовая модель временного ряда представляет числа в этом ряде в виде произведения, получаемого путем умножения перечисленных компонентов.


Тренд и циклический компонент: скользящее среднее


Скользящее среднее представляет собой новый ряд, полученный путем усреднения соседних наблюдений временного ряда и перехода к следующему периоду времени – в итоге получается более гладкий ряд.


Сезонный индекс: среднее значение отношения к скользящему среднему отражает сезонное поведение


Чтобы выделить сезонное поведение, прежде всего, следует получить отношение исходных значений к скользящему среднему. Полученный результат будет включать сезонный и нерегулярный компоненты, поскольку скользящее среднее исключает из данных тренд и циклический компонент.


Затем, чтобы устранить нерегулярный компонент, надо усреднить эти значения для каждого сезона. Сезонный компонент проявляется, поскольку он присутствует ежегодно, тогда как нерегулярный компонент, как правило, удается усреднить.


Поправка на сезон: деление ряда на сезонный индекс.


Поправка на сезонные колебания устраняет из результатов измерения ожидаемый сезонный компонент (путем деления ряда на сезонный индекс для соответствующего периода), что позволяет нам непосредственно сравнивать один квартал или месяц с другим (после внесения поправки на сезон), выявляя те или иные скрытые тенденции.


Долгосрочный тренд и прогноз с поправкой на сезонные колебания: линия регрессии


Когда временной ряд демонстрирует долгосрочную линейную тенденцию к нарастанию или снижению, для оценки этой тенденции и прогнозирования будущего можно воспользоваться регрессионным анализом.


Прогноз: тренд с учетом сезонности


Чтобы прогнозировать будущее, надо учесть сезонность в долгосрочном тренде, вернув ему ожидаемую сезонную вариацию. Для этого достаточно умножить значение тренда на значение сезонного индекса для того периода времени, который вы прогнозируете. Этот процесс является обратным по отношению к внесению поправки на сезонные колебания. Результирующий прогноз включает долгосрочный тренд и сезонную вариацию.


АRIМА-процессы Бокса-Дженкинса представляют собой семейство линейных статистических моделей, основанных на нормальном распределении, которые позволяют имитировать поведение множества различных реальных временных рядов путем комбинирования процессов авторегрессии, процессов интегрирования и процессов скользящего среднего.


ARIMA - сокращение от Autoregressive Integrated Moving Average


Процесс случайного шума не обладает памятью: отправная точка


Процесс случайного шума состоит из случайной выборки (независимых наблюдений) из нормального распределения с постоянным средним и стандартным отклонением. Какие-либо тенденции (тренды) в этом случае отсутствуют, поскольку – по причине независимости - наблюдения не помнят о прошлом поведении ряда.


Процесс авторегрессии (AR) обладает памятью о своем прошлом


Любое наблюдение процесса авторегрессии (часть "AR" названия ARIMA) представляет собой линейную функцию от предыдущего наблюдения плюс случайный шум. Таким образом, процесс авторегрессии помнит о своем предыдущем состоянии и использует эту информацию для определения своего дальнейшего поведения.


Процесс скользящего среднего (МА) имеет ограниченную память


Любое наблюдение процесса скользящего среднего состоит из константы, (долгосрочное среднее значение процесса), плюс независимый случайный шум минус часть предыдущего случайного шума. Процесс скользящего среднего не помнит в точности своего прошлого, но помнит компонент случайного шума того состояния, в котором он (процесс) находился. Таким образом, его память ограничена одним шагом в будущее; за пределами этого шага для процесса все начинается заново.


Процесс авторегрессии и скользящего среднего (ARMA) сочетает в себе AR и МА


Любое наблюдение процесса авторегрессии и скользящего среднего состоит из линейной функции от предыдущего наблюдения плюс независимый случайный шум минус некоторая доля предыдущего случайного шума. Процесс авторегрессии и скользящего среднего запоминает как свое предыдущее состояние, так и компонент случайного шума предыдущего состояния. Таким образом, его память сочетает в себе память процесса авторегрессии с памятью процесса скользящего среднего.


Чистый интегрированный (I) процесс помнит, где он находился, и затем движется случайно


Каждое наблюдение чистого интегрированного (I) процесса (pure integrated (I) process), называемого также случайным блужданием, заключается в случайном шаге в сторону от текущего наблюдения. Этот процесс знает, где он находится, но забыл, как он попал туда.


Процесс авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) помнит свои изменения


Процесс состоит из линейной функции предыдущего изменения плюс независимый случайный шум минус определенная доля предыдущего случайного шума. Этот процесс знает, где он находится, помнит, как он попал в это состояние, и помнит даже часть предыдущего шумового компонента.

ВОПРОСЫ ?

ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ

Общие понятия

Идентификация – это процесс построения моделей объектов различной природы. Теория идентификации имеет в своем арсенале достаточно эффективные методы и алгоритмы, на базе которых разработаны и широко используются программные комплексы.


Модели делятся на статические и динамические. Первые из них описывают объекты в стационарных режимах их работы. Динамические модели описывают переходные процессы в объектах, например, возникающие при переходе с одного стационарного режима работы объекта на другой.


Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов: идентификации структуры моделей и идентификации параметров в моделях выбранной структуры. При построении структуры модели (или набора конкурирующих либо взаимодополняющих структур) используется априорная информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки структур с сопутствующей информацией.

Постановка задачи подстройки параметров нелинейных моделей

Модель объекта берем в виде функции η(u, α). Основная задача теперь сводится к расчету параметров α модели.
Алгоритмы расчета будем строить, используя критерий наименьших квадратов и близкие к нему критерии, например наименьших модулей невязок. В зависимости от свойств помехи критерий наименьших квадратов приобретает различные формы – от простейшей до самой общей.


Считаем, что выход объекта состоит из полезного сигнала η(u, a) и центрированной помехи ξ.
Сигнальная часть выхода представляет собой известную функцию от входа с неизвестными параметрами a. В структуру функции η(u, a) . Все, что не удается описать в объекте, относят к помехе.


При равноточных измерениях весовые коэффициенты 1/σi2, характеризующие информативность измерений, одинаковы. Тогда критерий имеет вид:


Считаем, что в каждый момент времени ti (момент измерения входа и выхода объекта) помехи ξi, являются центрированными случайными величинами с дисперсиями σi2. Если дисперсии различны, то измерения называются неравноточными.
Тогда критерий наименьших квадратов имеет вид:


то критерий наименьших квадратов базируется на элементах cij матрицы, обратной корреляционной:


Если все помехи ξi коррелированны, т. е:


Это общая форма критерия. Она включает в себя (при соответствующих упрощениях) все предыдущие формы. Запишем критерий в матричной форме.


Модель объекта задана в виде линейной комбинации известных (базисных) функций φ1(u),…, φm(u):


Параметры α находим по критерию наименьших квадратов:


Пример расчета параметров:

Метод последовательной линеаризации при подстройке параметров на основе критерия наименьших квадратов

Построим итерационную процедуру расчета параметров α модели в соответствии с критерием наименьших квадратов. Так как функционал квадратичный, то первая стадия метода не реализуется и на каждой итерации используется только линейная аппроксимация выхода модели по параметрам:


Необходимое условие минимума приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

Робастные оценки параметров

Параметры модели (которые являются оценками параметров объекта), полученные на основе критерия наименьших квадратов, сильно реагируют на выбросы помех. Аномальные отклонения в измерениях очень редки, но амплитуда их велика.


Так же существуют другие критерии вида:


Примеры функции ψ(e):


Линейная параметризация модели:


На каждой итерации, например n и n-1, параметры модели находим из условия равенства выходов модели и объекта:


Каждому уравнению в пространстве параметров соответствует своя линия


Нелинейная модель: На каждом шаге линеаризуем модель и приращения параметров отыскиваем из равенства выхода модели и линеаризованной модели:


В итоге получаем алгоритм перестройки параметров нелинейной модели:

ВОПРОСЫ ?

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Дискретные динамические модели стохастических объектов

В динамическом режиме поведение объектов описывается различными динамическими уравнениями: обыкновенными дифференциальными, интегральными, интегродифференциальными уравнениями; уравнениями с запаздываниями; уравнениями в частных производных и их дискретными аналогами. С целью упрощения будем рассматривать наиболее простые дискретные модели. Последние выбраны именно потому, что получаемые алгоритмы идентификации и управления напрямую реализуемы на цифровой вычислительной технике (мини-,микро-ЭВМ, микропроцессоры).


Дискретные модели привязаны к номерам дискретных моментов времени и поэтому основным аргументом для входных u(t) и выходных x(t), y(t) переменных является номер дискреты t = 0, 1, 2,…
Например:


Считаем, что объект описывается дискретным уравнением:


Модель имеет вид:


Если объект имеет вид:


То оптимальная модель имеет вид:


Для примера рассмотрим модель:


Построим алгоритм расчета параметров:


Линеаризуем модель относительно параметров α(t-1) , вычисленных в предыдущий момент времени:


Здесь y(t|α(t-1)) – выход модели в момент времени t при значениях параметров, полученных в предыдущий момент времени t-1


ω(t) – вектор-столбец функций чувствительности выхода модели к параметрам модели.


Функции чувствительности удовлетворяют уравнениям чувствительности:


Каждое уравнение чувствительности получается дифференцированием уравнения модели по соответствующему параметру.


Для расчета параметров α(t) можно использовать, например, простейший адаптивный алгоритм:


Рассчитаем параметры линейных и нелинейных динамических моделей на основе простейшего адаптивного алгоритма.


Пример: Рассмотрим модель без обратной связи:


Функциями чувствительности выхода модели к ее параметрам являются измеренные значения выхода и входа объекта:


В каждый текущий момент времени t на основе измерений x(t); x(t-1), u(t-1); x(t-2), u(t-2) параметры корректируем по простейшему адаптивному алгоритму:


Рассмотрим нелинейную модель без обратной связи:


Алгоритм перестройки параметров:


Получаем следующие выход модели и функции чувствительности:

Адаптивные системы обработки информации

В адаптивных системах обработки информации и управления происходит приспособление к изменяющимся условиям и неизвестным характеристикам объекта.

Постановка задачи адаптивного управления

Рассматриваем адаптивную систему с идентификацией (АСИ). Синтезируем алгоритм расчета управления (алгоритм работы устройства управления) u(t) в каждый текущий момент времени t. Исходными экспериментальными данными о входе и выходе объекта.
Необходимо рассчитать управляющее воздействие u(t) , обеспечивающее достижение следующей цели: наименьшего уклонения выхода системы x от заданной траектории x* в каждый текущий момент времени.


Считаем, что поведение объекта в динамическом режиме описывается разностным уравнением:


Обозначим через y(k|α(t)) выход модели в момент времени k при значении вектора параметров α(t), вычисленных в момент времени. Если шум – белый, то


Формируем модель объекта:


Пример 1. Считаем, что объект описывается уравнением:


Находим параметры:


Из локального квадратичного критерия оптимальности


Рассчитываем оптимальное управление:


Модель объекта:


Пример 2. Объект описывается уравнением:


Параметры:


Находим управляющее воздействие :

Синтез алгоритмов управления для линейных систем

Объект:

Алгоритмы адаптивного управления для нелинейных систем

Объект описывается нелинейным разностным уравнением:


Рассматриваем объект, описываемый разностным уравнением:


Строим модель объекта:


Выход модели находим из критерия наименьших квадратов:


Решение получается в форме


Пример: на примере гальванической ванны одного из заводов при однопроцентном уровне помех приведены входная и выходная переменные замкнутой системы управления, а также кусочно-постоянный заданный температурный режим x*(t). В начальный момент температура ванны равна 20 С. На первых двадцати тактах происходит основная настройка параметров модели, хотя и далее алгоритм коррекции параметров продолжает непрерывно работать. Если в объекте произойдут какие-либо изменения, то идентификатор отследит их. После основной коррекции параметров алгоритм управления обеспечивает перевод системы на новый уровень стабилизации за минимальное время и без перерегулирования.

ВОПРОСЫ ?